高中数学圆锥曲线的知识点总结

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

方程的曲线:

在平面直角坐标系中，如果某曲线.（看作适合某种条件的点的集合或轨.）上的点与一个二元方程的实数解建立

了如工的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这

个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

点与曲线的关系：若曲线的方程是，则点在曲线上；点不在曲线上.

两条曲线的交点：若曲线，的方程分别为，，则点是，的交点｛方程组有个不同的实数解，两

条曲线就有个不同的交点：方程组没有实数解.曲线就没有交点.

二、圆：

1.定义：点集，其中定点为圆心，定长为半径.

2.方卷：（1）标准方程：圆心在，半径为的圆方程是

圆心在坐标原点，半径为的圆方程是

（2）一般方程：①当时，一元二次方程叫做圆的一般方程，圆心为半径是.配方，将方程化为

②当时，方程表示一个点

（3）③当时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关.已知圆心，半径为，点的坐标为，则.点在圆内，点在圆上，点在圆外，

其中.

直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆

相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点.

②直线和圆的位置关系的判定：（i）判别式法；（ii）利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定.

三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点到一个定点的距离与到不通过这个定点的一条定直线的距离之比是一个常数，则动点的轨

迹叫做圆锥曲线.其中定点称为焦点，定直线称为准线，正常数称为离心率.当时，轨迹为桶圆；当时，

轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.

四、椭

圆、双

由线、

椭圆双曲线抛物线

抛物

线：

1.到两定点，的距离之和为1.到两定点，的距离之差

定值的点的轨迹的绝对值为定值的点的轨迹

2.与定点和直线的距离之比为2.与定点和直线的距离之比为

与定点和直线的距离

定值的点的轨迹.定值的点的轨迹.

定义相等的点的轨迹.

2.与定点和直线的距离之比为2.与定点和直线的距离之比为

定值的点的轨迹.定值的点的轨迹.

2.与定点和直线的距离之比为2.与定点和直线的距离之比为

定值c的点的轨迹.（Ovcvl）定值c的点的轨迹.（e>\）

八占、、X集T*-•点集：点集：

轨迹

{M\\MF}\+\MF2\=2a,{M\\MF\-\MF\=±2a,{M\|加尸|=点时

条件l2

14―K2a}1£61>冽到直线/的距离）

r

l^iM31

1

图形

~xA------1—/------------►'

cr

x=-

标

方

22

准厂y-

—+Ar=\{a>b>0)「普=1(〃>(),〃>())y2=2P/

方/b2crb~

程

程

参

数x=acos3x-asec0

y=bsinOy=btan0•（，为参数）

方(参数以离心角)(参数明离心角)[y=2p/

程

范围-a<x<a,-b<y<b\x\>a,yeRx>0

中心原点0(0,0)原点0(0.0)

3,0）,（—。,0）

顶点30),(t7,0)(0,0)

（（）*）,（（）,—力

对称轴，轴；轴，轴；x轴

轴长轴长，短轴长实轴长.虚轴长.

长轴长2。，短轴长2b实轴长，虚轴长.

实轴长2。，虚轴长2b.

焦点嘴，。)

x=-E

____2_

准线与焦点位于顶点

C

两侧，且到顶点的距离

x=±—_准线垂直于实轴，且在两顶点

c相等.

准的内侧.

准线垂直于长轴，且在椭圆外.准线与焦点位于顶点

线准线垂直于实轴，且在两顶点

准线垂直于长轴，且在椭圆外.两侧，且到顶点的距

的内侧.

准线垂直于长轴，且在椭圆外.离相等.

准线垂直于实轴，且在两顶点

准线与焦点位于顶点

的内侧.

两侧，且到顶点的距离

相等.

渐近,b

无y=±-x无

线a

焦距2c(c=[a1-b2)2c(c=\ja2+b2)

左支：

|PF1|=-(ex+a)

焦半\PF2\=-(ex-a)

|PF1\=a+ex,|PF?\=a-ex\PF\=x+^

径右支：

|PFy\=ex^a

IPF2\=ex-a

2b22b2

通径2P

aa

离心c/八

e=-(O<e<i)e=—(e>1)e=\

率aa

【备注1】双曲线:

(I)等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

(2)共朝双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共朝双曲线.与互为

共施双曲线，它们具有共同的渐近线:

(3)共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为：如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.

【备注2】抛物线：

(1)抛物线的焦点坐标是(，0),准线方程.，开口向右；抛物线的焦点坐标是(，0),准线方程，开口向

左；抛物线的焦点坐标是(0,),准线方程，开口向上；抛物线的焦点坐标是(0,),准线方程，开口向

下.

(2)抛物线V=2px[p>0)上的点M(x0,y0)与焦点M的距离明月=%+";

2

(3)设抛物线的标准方程为，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为

五、坐标的变换：

(I)坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐

标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

(2)坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,

简称移轴.

(3)坐标轴的平移公式：设平面内任意一点，它在原坐标系中的坐标是，在新坐标系中的坐标是.设新

坐标系的原点在原坐标系中的坐标是一

叫做立移(或移轴)公式.

1.六、椭圆的常用结论：

点处的切线平分在点处的外角.

证明：如图，设，，.

对椭圆方程两边求导得，

b2x

•1•)'=

左=女卬=y(.%,%)

力)，

乂K=kpR=———,k2=kPF

%+c%一0

2

-k2-(-k)b

tanN2=tan(NP鸟片-NPTF2)=

1+俟Oo

同理tanZ4=—

G'o

故N2=N4

总结：角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率，多利用几何方法

补充角平分线定理

若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是•(和圆上点的切线做比较)

解析：对椭圆方程两边求导得,

•b-x...

,),=Fk=kpT=y^}=__

故直线方程为芈+誓=1

crb~

2.总结：常见的求切线的方法

若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.

补充圆的切线公式：

圆的切点弦公式：

3.总结：知识点的对比性记忆

椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

证明：设，则由余弦定理可得

4c2=m2+/-2/n/?cos0

4c2=(m+n)2-2/〃〃(cos0+1)

2b2

inn=

1+cos0

♦1.八sin。…0

8,.„=—innsin0=b~-------------=b~tan—

F内F2l+cos6>2

4.总结：求面积的方法：底乘高、大减小、割补法、

椭圆的焦半径公式，，其中

(•♦»)•

22

解析：|MK|2=(C+/)2+%2=/2+2cH0+Xo+b—容="♦+,")一

a~a~

.JMFX|=a+ex()

同理|MF；|=a+气

是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即.

解析：设直线方程为•联立可得，

若在椭圆内，则被所平分的中点弦的方程是；

8、已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上两动点，且.(1);(2)的最小值为；的最小值是.

解析：设直线方程为，联立可得

a2m2-a2b2

2

可得=Y%=公*工2+七〃（内+x2）+m

a2k?+b2

nra2h2

由WZ+y〉、=0n

l+k2aL+b2

11\0P^^\0Q|2\PQ|2a2+b2I1

________________________________________________+__

|O尸『|OQ『一|O尸~|FCI2J2-a2b2~a2b2

（2）|OP『+1OQF=（3+-^）（10Pl2|OQ『）K（二+

ab~ab2

42»22r2

IOPF+IOQFNY4r（3）同理可求SAOPQN-^Z

a-+b-'a~+b~

七、双曲线的常用结论：

1.点处的切线平分在点处的内角.

2.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是.

3.若在双曲线.，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是.

4.双曲线的左右焦点分别为，点为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.

5、双曲线的焦半径公式:（，）当在右支上时，，；当在左支上时，，.

6.是双曲线的不平行于对称轴的弦，为的中点，则.

7、若在双曲线内，则被所平分的中点弦的方程.

八、8、已知双曲线，为坐标原点，为双曲线上两动点，且.

九、（1）;（2）的最小值为；（3）的最小值是.

抛物线的常用结论：

I.顶点.

2、设是过抛物线的焦点的弦，，则

P22

（1）玉i二7，y）'2=一”"

（2）弦长|4例=玉+&+〃=口一（。为弦^跻1勺倾斜角）

sirra

解析：（一）设直线为，代入抛物线方程可得：

4k2d-（4区2+8p）x+p2k2=0

则X1+x2=...,xlx2=...

IA81=Jl+公+/)2—4中2=2P+D

（二）利用定义|A8|=R—（一一（一5）

112

(3)同十两一万

解析：」一十二—=」—十