高中数学快速解题公式

高中数学快速解题公式

集合

1.集合子集的个数：若一个集合有n个元素，则子集有2n个，真子集有2n7个，非空子集

有2n-l个,非空真子集有2n-2个。

2.集合里几个常用结论：

①AnB-A=Aj6UB-A=③=④0A=

函数

1.几个常用近似值：兀心3.142,e^2.718,V2«1.414,6七1.732,逐念2.236。

2.分数指数暴：〃2二"。

3.对数换底公式：

n

log.b=；bg—=—；log,b=—log6Z?；loga/?loghelogcJ=logflJo

bgjlog/,〃m

4.单调性的快速判定法：①增+增一增；②减+减一减；

③乘正加常，单调不变；④乘负取倒，单调不变。

5.奇偶性快速判定法：

奇土奇f奇；偶土偶一偶；奇x(+)奇一偶；偶x(+)偶一偶：奇x(2)偶一奇.

f

6.函数的切线方程：y-y0=f(x0Xx-x())o

7.函数有零点=<函数没有零点O/(X)max<0或=/(X)*之。，

八孙田—。

8.函数的周期性：f(a+x)=/S+x)的周期丁=1一4。

9.函数的对称性：f(a+r)=f(h-x),则/&)的对•称轴x=巴记.

1().抽象函数对■数型：若/(◎)=/0)+/(丁)，则/'(x)=bg“x。

11.抽象函数指数型：若/(x+y)=/(x)•/()，)，则/(x)="。

12.抽象函数正比型:若/*+)，)=/*)+/()，)，»lf(x)=kxo

13.抽象函数一次型：若/'(x)=c,则/(x)=cx+〃。

14.抽象函数导数型：若r(x)=/(x),则/(X)=R/W(.K)=O。

15.恒成立的问题：①。2/(X)恒成立<=>a>f(x)max；

②aW/'(x)恒成立<^>a<f(x)mir。

数列

1.等差数列通项公式：。〃=4+列—1)(

2.等差数列求和公式：s〃=〃a+4)=〃q+」“Li)d。

22

3.等比数列通项公式：。“=4p”7。

4.等比数列求和公式：S”="«—Q="U/。

1-q1-q

5.等差数列的性质：若机+〃=〃+夕，则q”+a”=与+4夕。

6.等比数列的性质：若m+n=p+q，则am-an=ap-aq。

7.等差中项:若a,A,b成等差数列，则2A=a+b;

等比中项：若4G〃成等差数列，则不=”〃；

8.裂项相消法1：若一!-=-一——,则有。=1—--=—

〃(〃+1)nn+\〃+1n+\

]1I__1_

裂项相消法2：若则有0=不1

〃(〃+2)22〃+1

裂项相消法3：若」一二!」——-,则有1=2,--L

d\a〃dvl\4m

II则有7“=11

裂项相消法4：若

(2H-1)(2/?+1)2n+l2/2+1

9.错位相减法求和通项：1=幺也L+华一姐£

"q(1-力-I

三角函数

1.三角函数定义:

yxy22

正弦：sincz=—；余弦：coscr=—；正切：lana二一；其中r=^x+y。

rrx

2.诱导公式：几倍加减名不变，符号只需看象限；工加减名要变，符号还是要看象限，

2

sin(a+2^)=sina.sin(乃+a)=-sina.

(1)诱导公式一：cos(a+Ik7i)=cosar,(2)诱导公式二：cos(乃+a)=-coscr,

tan(a+2k")=tana.tan((r+tz)=tantz.

sin(-a)=-sincr,sina,

(3)诱导公式三：cos(-«)=cosa,(4)诱导公式四:-C0S6Z,

tan(-6Z)=-tano<.一tana.

sinl-y-a1=cosa,.兀

sin—+a=cosa,

lol

(5)诱导公式五:(6)诱导公式六：

(n\

cos—+a=-sina.

\2)

3.和差公式:

sin(a+/)=sintzcos/7+cosasinftsin(a—/7)=sinacos/一cosasin/3

cos(a+/?)-cosacosy9-sinasin/7cos(a-⑶-cosacos+sinasin/3

tan(a+£)=tana+ian/?tan(cr-/?)=tana-tan/

l-tanrztan/7l+tan«tan/7

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin2a=2sinacosa,sinacosa=±sin2a.

(2)cos2a=cosa-sin-«=2cos~a-\=1—2sin-a.

cos2a=J(l+cos2a)

一一，.1+cos2a=2cos-a

升嘉公式：，降幕公式:

1-cos2a=2sin~asin26z=^-(l-cos2a)

)tan2a=2tan^sin2a1-cos2a

tana=---------=----------

l-tan2a1+cos2asin2a

5.辅助角公式：asm+Z?cosVRV=-Ja2+h2sin(vv^:+(p).(tan^p=—,«>0)。

a

h

6.正弦定理：——=2R（R为三角形外接圆的半径）。

sinAsinBsinC

7.余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA；CM二匕!X

2bc

b~-a2+c2-laccosB；c3正j

2ac

c2=a2+b2-2abcosC；£i^iz£i

cosC=lab

8.三角形最值原理：三角形中一个角及其对边已知时，另外两边相等或两角相等时周长取得

最小值，面积取得最大值,

向量

1.向量加法的作图:上终下起，中间消去：AB+BC=AC-,

2.向量减法的作图:起点相同，倒回来读：AC-AB=BC-,

.向量平行的判定:

3a//h<=>b=Aaxty2—戈2y=。：

.向量垂直的判定:

4a_Lboa/?=()ox1x2+y1y2=0；

5.向量的数量积公式:

-£一工八-；八abx,1x^+y,y^

ab=abcos®；a^=x}x2+y{y2；cos0=,;7\

nb\仙+乂"也2+%

6.。方向上的单位向量:：e

7.证明A,B,C三点共线的方法：（1）两个向量瓦公共线且有一个公共点A;

(2)PA=xPB+yPC(x+y=l)o

立体几何

—♦—♦

ab

1.线线角向量法公式:；cos<9=—

ab

2.线面角：(1)向量法公式:(2)几何法公式：sin0=

a

m-ns

3.二面角：(1)向量法公式：cosg=±;"r：(2)几何法公式：cos0=」^

mnS原图

AB.川sh

4.点面距：(1)向量法公式：4=^q」；(2)几何法公式：儿=一」。

\n

3V

5.多面体的内切球半径:

S1+S2+--+S„

6.长方体的外接球半径：2R7a°

7.直棱锥的外接球半径:

/?2=r2+(/?-/?)2

8.正棱锥的外接球半径：\0

2r=-^—

sinA

9.正三角形的性质：高：h=—ax面积：S=­a\

24

%/o/??

10.正三角形与圆：内切圆的半径：r=—«；外接圆半径：R=且2=W

63r1

11.正四面体的高：斜高：h斜二^^-a,正局：h正=ao

Dq

12.正四面体与球：内切球半径r,外接球半径R,一二三且r+/?=〃正。

解析几何

1.圆的定义：若PA_LPB,则P的轨迹为以AB为直径的圆。

2.椭圆的定义:若仍用+|P闾=2a(2o>闺闯)，则P的轨迹为以&、F2为焦点,2a为长轴

的椭圆。

3.双曲线的定义:若仍用一归用=2.(2〃(忻周)，则P的轨迹为以R、&为焦点，2。为实

轴长的双曲线。

4.抛物线的定义：到定点F和到定直线的距离相等的点P的轨迹为抛物线。

5.直线的纵斜截式方程：y=kx+b；直线过y轴上点为B(O,b)且不垂直于x轴。

6.直线的横斜截式方程：x=my+a,直线过x轴上点为B(0,b)且不垂直于工轴。

7.直线平行：[〃3=『2(4工"2)；或A]B2-&B]=0。

8.直线垂直：l1A,l2<^>k]-k2=-\；或A4+B]B2=0。

22

9.点点距公式：|=yj(x2-xi)+(y2-y[).

io.点线距公式：]』，•%+」.%+)；平行线距离公式：d=。

VA2+B2VA2+B2

IL点差法的斜率公式：A楙二一"殳，七=冬,k迪二J

4")'。>0

12.通用弦长公式：|A耳=J1+/-|X1-x2\=J1+攵2-+石)2—4工|工2。

|^|=-对=jl+[4(.+%)2-4%)，2o

13.圆的弦长公式：1=2/2—([2。

1(焦半径公式(有坐标)：

⑴椭圆：眼目=4土”亦⑵双曲线：明月=%±4;⑶抛物线：|/3月=%+。

15.焦半径公式(倾斜角)：

(1)椭圆：------------；(2)双曲线：-------------；(3)抛物线：-2-o

a(l±ecosa)a(l±ecosa)l±cosa

16.焦点弦公式（倾斜角）:

（1）椭圆：------；---；；（2）双曲线：------2---2；（3）抛物线：!-o

a（\-ecos-a）a（\-ecosa）sin'a

2k2+2

17.抛物线的焦点弦长：l=X,+x2+p=—「〃=」"一.

椭圆的焦点三角形面积：$刖"="tan-.

19.双曲线的焦渐距为：b3

渐

21.双曲线的离心率公式：6=1+'=J"/2°

22.椭圆、双曲线通径公式：一；抛物线的通径公式：2P.

a

23.以抛物线焦点弦为直行的圆必与准线相切。

117

24.抛物线焦点弦性质：

卜4尸||6日P

2

25.抛物线焦点直线的韦达定理：M+x>=k〃,司子,=4_.乂+v,=孕.“），2=-po

k4k

26.解析几何中的向量问题：OA-OB=x1x2+yly2,OA+OB=Cxl+x2,y+必）。

27.向量与夹角问题：⑴NAOB为钝角：OAOB<0；

(2)NAOB为钝角：OAOB<0-

(3)NAOB为直角：OAOB=0o

28.向量与圆的问题（AB为直径，P不与A、B重合）:

（1）P在圆内:NAPB钝角:PAPBvO；

（2）P在圆上：NAPB直角:PAPB=0;

(3)P在圆外：NAPB锐角：PAPB>0;

概率统计

1.频方图的频率;小矩形的面积：f.=Si=yixd=^-（频率:蟠当）；