高中数学选修22知识点总结版

数学选修2-2学问点总结

一、导数

1,函数的平均变更率为包=竺二=/（片+At）-人』）

A.vArx2-x}AY

£1：其中以是自变量的变更量，可正，可负，可零。

£2：函数的平均变更率可以看作是物体运动的壬均速度。

2、导函数的概念：函数），=八#在%=/处的瞬时变更率是|淅包=Iim5四二3,则

AXTOZAv->oAx

称函数y=/（x）在点与处可导，并把这个极限叫做），=/3在q处的导数，记径/&O）或

丁晨，即/.。。尸扁?二府军乎外叱

"AtrOAx&TOAr

3.函数的平均变更率的几何意义是割线的斜率；

函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

5.常见的函数导数

函数导函数

y=cy=0

y=x"£N")y=nxn~x

x

y=a(4>0,々01)y=av\na

y=exy=ex

1

)=log“x(a>O,awl,x>O)y

x\na

j=Inxy

X

y=sinxy=cosx

J=COSXy=-sinx

6、常见的导数和定积分运算公式:若““，g（x）均可导（可积），则有:

和差的导数运算[f(x)±g(x)]=fXx)±g\x)

[/W-g(x)]=/(x)g(x)±f(x)g(x)

积的导数运算

特殊地：[00)1=qr(x)

3二低⑴,0)

述3」［以切

商的导数运算

特殊地：

复合函数的导数

J：/(浜=

微积分根本定理

(其中F(x)=〃x))

J："(x)±f2(x)]dx=£f\(x)dx±^f2(x)dx

和差的积分运算

特殊地：f蛆(x)公="f/(x)d『伏为常数)

积分的区间可加性[f(x)dx=[f(x)dx+f/(x)加(其中avc<〃)

JaJaJc

用导数求函数单调区间的步骤：

①求函数火X)的导数/口)

②令/%)>(),解不等式，得X的范围就是递增区间.

③令/")<0,解不等式，得工的范围，就是递减区间；

［注］:求单调区间之前确定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数兀0的极值的步骤：

(1)确定函数的定义域。

(2)求函数段)的导数尸(x)

(3)求方程厂(©=0的根

(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，

检查了'(X)在方程根左右的值的符号，假如左正右负，则兀0在这个根处获得极大值；假如

左负右正，则7(x)在这个根处获得微小值；假如左右不变更符号，则人幻在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求在［。,向上的最大值及最小值的步骤如下：

⑴求/(X)在LU上的极值；

⑵将f(x)的各极值及/(a),fS)比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

［注］:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9.求曲边梯形的思想和步骤历画一近似代替I.欣利fI取极限|(“以直代曲”的思想)

及定枳分的性质

依据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质:

性质1j\dx=b-a

性质5若/")2(),则0

①推广：J："(x)士力(x)士…士fm(x)\dx=［：工(x)cZr土J：f2(x)cbc±…±J：fmM

②推广:Cf(x)dx=「f(x)dx+J"f(x)dx+•••+f；，f(x)clx

J”JqJq

+定积分的取值状况。定积分的值可能取正值,也可能取

负值，还可能是0.

（1）当对应的曲边梯形位于X轴上方时，定积分的

值取正值,R等于x轴上方的图形面积;

（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的

值取负值,且等于x轴上方图形面积的相反数;

（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x

轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为。，且等于建

上方图形的面积减去卜方的图形的面积.

12.物理中常用的微积分学问（1）位移的导数为速度,

速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

二、推理及证明学问点

13.归纳推理的定义：

从个•别•事•实•中推演出一♦般•性•的结论，像这样的推理通常称为归

纳推理。

归纳推理是由局部到举您，由个别到：解的推理。

14.归纳推理的思维过甚致如图：

试验、视察概括、推广揣测一般性结论

15.归纳推理的特点：

①归纳推理的前提是儿个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有揣测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和试验检验,

因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创建性的推理，通过归纳推理的猜测，可以作为进一步探讨的起点,

扶植人们发觉问题和提出问题。

16.类比推理的定义：

依据两个（或两类）对象之间在某些方面的相像或一样，推演出它们在其他方面也相像或

一样，这样的推理称为类比推理。类比推理是由-特-殊.到-特-殊-的推理。

17.类比推理的思维过程

视察、比拟联想、类推推想新的结论

18.演绎推理的定义：

演绎推理是依据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）依据严格的逻辑法

则得到新结论的推理过程。演绎推理是由二艘到特然的推理。

19.演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是P。

其中①是大前提，它供应了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象;

③是结论，它是依据一般性原理，对特殊状况做出的推断。

21.干脆证明是从命题的条件或结论动身，依据己知的定义、公理、定理，干脆推证结论的

真实性。干脆证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件动身，不断用必要条件代替前面的条件，直至推

出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论动身，不断地用充分条件交换前面的条件或者确定成立的

式子，可称为“由果索因”。

要留意叙述的形式：要证4只要证6,3应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合

运用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否认的结论动身，经过逻辑推理，导出冲突，证明结论的否认是错误的,

从而确定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤

(1)假设命题结论不成立，即假设结论的反而成立；

(2)从假设动身，经过推理论证，得出冲突；

(3)从冲突断定假设不正硬,即所求证命题正确。

26常见的“结论词”及“反义词”

原结论词反义词原结论词反义词

至少有一个一个也没有对全部的X都成立存在x使不成立

至多有一个至少有两个对随意X不成立存在X使成立

至少布*n个至多有个p或q―且一q

至多有n个至少有n+1个〃且夕~或-、q

27.反证法的思维方法:正•难♦则•反♦

28.归缪冲突

(1)及已♦知♦条・件♦冲突:

(2)及已•有•公•理•、••定•理•、•定•义冲突;

(3)目相冲突.

29.数学归纳法(只能证明及正・整・数・有关的数学命题)的步骤

⑴证明：当〃取第二个3时(〃o£N*)时命题成立；

⑵假设当n=k(k£N*,且/〃。)时命题成立，证明当nzktL时命题也成立.

由(1),(2)可知，命题对于从〃。开场的全部正整数〃都正确

・［注］:常用于证明不完全归纳法推想所得命题的正确性的证明。

三、数系的扩大和复数的概念学问点

30.复数的概念：形如甘旦的数叫做复数，其中i叫虚数单位，。叫实部，〃叫虚部，数

集。={〃+历|4〃£母叫做复数集。

规定：a+bi=c+di<=>a=cMb=d,

强调：两复数不能比拟三小,F有相等或不相等。

实数S=o)

31.数集的关系：复数Z一般虚数沁工。

虚数("0),

纯虚数（〃=0）

32.复数的几何意义：复数及平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：依据复数相等的定义，任何一个复数z=a+都可以由一个有序实数对（。向

唯一确定。

由于有序实数对（。力）及平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集及平面直角坐标

系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复王面，

/轴叫做实轴,y轴叫做虚轴。