2026年辽宁省九年级结束课程考试数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页丹东七中2026年结束课程考试数学试卷（本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟）第一部分选择题一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分．）1．-2的绝对值是（

）A．2 B． C． D．2．下列几何图形中，是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．3．下列计算正确的是（

）A． B．C． D．4．将一块直角三角尺按如图方式放置，、两点分别落在直线、上，已知直线，且，则的度数为（

）A． B． C． D．5．下列事件，是必然事件的为（

）A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B．打开电视正在播放世界杯C．是无理数 D．明天太阳从西方升起6．为了培养学生的阅读兴趣，提升学生的文学素养，某区举行了一场初中学生文学知识竞赛，共有30人进入决赛，以下是决赛成绩的分布情况：成绩/分100999897人数510123则本次文学知识竞赛决赛成绩的中位数和众数分别是（

）A．98.5，98 B．10，12 C．98.6，98 D．98，987．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（

）A． B．且C．且 D．8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是（

）A． B． C． D．9．如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（）A． B． C． D．10．如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为（

）A． B． C． D．第二部分非选择题请用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的位置上．二、填空题（本题共5道小题，每小题3分，共15分）11．因式分解：______．12．在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______．13．若关于的分式方程有增根，则的值为_____．14．如图，函数与函数的图象交于点A，C，垂直于y轴，垂足为点B，连接，已知的面积为1，则k的值为______．15．如图，在长方形中,，，，则CE+DF的最小值是________．三、简答题，写出必要的解答过程．（共8题75分，16题10分，17、19、20、21题各8分，18题9分，22题12分，23题12分）16．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中．17．为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《昆虫记》和《经典常谈》两种书籍，分别花费了1400元和700元，已知《昆虫记》的订购单价是《经典常谈》订购单价的倍，并且订购的《昆虫记》的数量比《经典常谈》的数量多30本．(1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元．(2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《昆虫记》最多购买多少本．18．为传承国学经典，弘扬传统文化，学期初某中学启动了“品古典文学之美，悟中华文化之魂”经典诵读活动，学生根据自己的爱好从以下四本书中选择其中一本进行阅读：A．《论语》B．《楚辞》C．《西游记》D．《红楼梦》，为更好的了解学生选择阅读书目情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)学校此次被调查的学生总人数为_______人，并根据题意补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，所对应的圆心角度数是______；(3)9年级1班选派甲、乙两位同学参加学期末全校组织的经典诵读汇报活动，请用画树状图或者列表法，求甲、乙两位同学选择同一种经典书籍进行汇报的概率．19．根据以下素材，探索完成以下任务：任务背景2025年春节档，《哪吒之魔童闹海》燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志．在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮．数据信息素材1：经公司销售部统计，该系列手办在2月份销售1500件，4月份销售2160件，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同．素材2：根据市场部反馈，当每个手办售价为40元时，月销售量为6000件，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100件．问题解决任务1：分析数量关系根据素材1中的信息，请求出“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率．任务2：分析变量关系根据素材2中的信息，设该系列手办的售价为a元/件，月销售量为y件，请直接写出y（件）关于a（元/件）的函数关系式．任务3：探索销售方案解决问题从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件30元，为使月销售利润w达到最大值，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元/件？20．如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．(1)求平台的高度；(2)求建筑物的高度（即的长）．21．如图，在中，，平分交于点，点是斜边上一点，以为直径的经过点，交于点，连接．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）．22．已知点A(2，－3)是二次函数图象上的点．(1)求二次函数图象的顶点坐标：(2)当时，求函数的最大值与最小值的差：(3)当时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．23．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点．(1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程；(2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）；②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)若，，请直接写出的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，故选：A．2．C【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可．【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．3．B【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，掌握整式的混合运算法则是关键．根据整式的混合运算法则计算计算即可．【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意；B、，计算正确，符合题意；C、，原选项计算错误，不符合题意；D、，原选项计算错误，不符合题意；故选：B．4．B【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，代入计算即可得解，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，故选：B．5．C【分析】利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分别分析得出答案．【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；B、打开电视正在播放世界杯，是随机事件，故不符合题意；C、是无理数，是必然事件，故符合题意；D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意，故选：C．【点睛】此题考查了随机事件以及不可能事件、必然事件的定义，解题的关键是掌握：在一定条件下，必然发生的事情叫做必然事件，不可能发生的事情叫做不可能事件，可能发生也可能不发生的事情叫做随机事件．6．A【分析】本题考查了中位数和众数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数（或最中间位置的两个数的平均数）叫做这组数据的中位数，众数是在一组数据中出现次数最多的数据．根据众数，中位数的定义计算即可．【详解】∵出现的次数最多，∴众数为；∵数据有个，∴中位数是第个和第个数据的平均数，即．故选：A．7．B【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，需同时满足二次项系数不为0和判别式非负来确定k的取值范围．【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴，∵方程有实数根，∴判别式，其中，，，∴，解不等式，得，综上，k的取值范围是且，故选：B8．D【分析】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化对称，勾股定理，根据折叠可得，而的长度根据已知可以求出，所以点的坐标由此求出；又由于折叠得到，在直角中根据勾股定理可以求出，进而求出的坐标，掌握折叠性质是解题的关键．【详解】解：由折叠可知：，，，，点的坐标为：，设点坐标为，则，，，，，故选：D．9．D【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图及圆周角的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图及圆周角的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据同弧所对圆周角相等可进行求解．【详解】解：∵为半圆的直径，∴，∵，∴，由尺规作图可知：平分，∴，∴；故选：D．10．C【分析】根据已知条件得到AB=OB=4，∠AOB=45°，求得BC=3，OD=BD=2，得到D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为y=x+2，解方程组即可得到结论．【详解】∵在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4，4），∴AB=OB=4，∠AOB=45°，∵，点D为OB的中点，∴BC=3，OD=BD=2，∴D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），∵直线OA的解析式为y=x，设直线EC的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线EC的解析式为y=x+2，解得，，∴P（，），故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键．11．【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：故答案为：12．【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据点A及点的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题．【详解】

解：∵，且平移后点A的对应点的坐标为，∴线段向右平移了2个单位，向下平移了一个单位，∴的对应点的坐标为，即．故答案为：．13．【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．将分式方程去分母得，由分式方程的增根是，代入计算即可．【详解】解：关于的分式方程，去分母，得，整理可得，由于分式方程的增根是，将代入，得，解得：．故答案为：．14．【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质．过点C作轴于点D，根据反比例函数的性质可得，从而得到，即可求解．【详解】解：如图，过点C作轴于点D，∵函数与函数的图象交于点A，C，∴点A，C两点关于坐标原点对称，∵轴，∴，∴，即，∴，∴．故答案为：15．【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可．【详解】解：延长到点M，使得，连接，∵矩形，，，∴，，，∴，∵，∴，∴，连接∵，∴，故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为故答案为：．16．（1）；（2），【分析】本题主要考查实数的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是关键．（1）先算负指数幂，特殊角的三角函数值，立方根的结果，最后再根据实数的混合运算法则计算即可；（2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算化简，再代入求值即可．【详解】解：（1）；（2），当时，原式．17．(1)该校八年级订购的《经典常谈》的单价是10元，《昆虫记》的单价是14元(2)《昆虫记》最多购买50本【分析】（1）设该校八年级订购的《经典常谈》的单价是x元，则《昆虫记》的单价是元，根据订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多30本．列出分式方程，解方程即可；（2）设《朝花夕拾》购买本，则《经典常谈》购买本，根据两种书总花费不超过1200元，列出一元一次不等式，解不等式即可．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．【详解】（1）解：设该校八年级订购《经典常谈》的单价是元，则《昆虫记》的单价是元，由题意得：，解得：，检验，将代入，所以是原方程的解，且符合题意．∴，答：该校八年级订购的《经典常谈》的单价是10元，《昆虫记》的单价是14元；（2）设《昆虫记》购买本，则《经典常谈》购买本，由题意得：，解得：，答：《昆虫记》最多购买50本．18．(1)100，图见解析(2)(3)【分析】本题考查条形图和扇形图得综合应用，列表法求概率，从统计表中有效的获取信息，是解题的关键：（1）用的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出的人数，补全条形图即可；（2）用360度乘以的人数所占的比例，求解即可；（3）列出表格，利用概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：（人），，补全条形图如下：故答案为：100；（2）；故答案为：（3）甲乙共16种结果，符合条件的有4种，所以（甲乙选同一种书籍）．19．任务1：任务2：任务3：65元/件【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数、一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．任务1：设“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率为，利用4月份的销售量月份的销售量，解方程取符合题意的解即可得出结论；任务：利用月销售量（该系列手办的售价，可找出关于的函数关系式；任务：利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的二次函数，再由二次函数的性质求解即可．【详解】解：任务1：设从2月份到4月份销售量的月增长率为，，解得：，（不符合题意，舍去）．答：“魔童觉醒”系列手办在2月份到4月份销售量的月增长率为；任务2：根据题意得，由得，，解得，∵，∴，∴；任务三：由题意得，，∵∴当时，w取得最大值答：该文创公司应将手办的实际售价定为65元/件．20．(1)10米(2)米【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质．（1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可；（2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可．【详解】（1）解：过点B作于点E，则∵斜坡的坡度，∴，∵在中，，即，∴米，∴平台的高度是10米．（2）解：延长交于点F，∵，，∴，∴四边形是矩形，∴米，，设米，则（米），∵在中，，∴（米），∵在中，，∴（米），∴米，由（1）有（米），∵，∴，解得，∴（米），即建筑物的高度（即的长）为米．21．(1)详见解析(2)8π【分析】本题考查切线的判定，扇形面积的计算，解直角三角形，圆周角定理，角平分线定义，关键是证明；推出．（1）连接，由，得到，由角平分线定义得到，因此推出，得到半径，即可证明问题；（2）连接，，由，得到，由直角三角形的性质求出长，由锐角的余弦求出长，得到圆的半径长，由，推出阴影的面积扇形的面积，由扇形面积公式即可解决问题．【详解】（1）证明：连接，，，平分，，，∴，，半径于点，是的切线；（2）解：连接，，，，，，，，是的直径，，平分，，在中，，，，，平分，，，是等边三角形，，∵，，．22．(1)(3，－4)(2)当－1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16(3)t＝1或2【分析】（1）把点A代入解析式中，解得，再利用配方法化成顶点式解析式即可解得顶点坐标；（2）分别解得当－1≤x≤4时，函数的最大值与最小值，再求差；（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小；②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内；③当t>3时，y随着x的增大而增大，分别解得函数对应的最大值，再由函数的最大值与最小值的差为4，列方程，解方程即可解答．【详解】（1）解：∵已知A(2，-3)是二次函数图象上的点∴解得∴此二次函数的解析式为：∴顶点坐标为（3，－4）；（2）∵顶点坐标为（3，－4），∴当x＝3时，y最小值＝－4，当x＝－1时，y最大值＝12∴当－1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，当x＝t时，y最大值＝t2-6t+5当x＝t+3时，y最小值＝（t