黄金卷01-【赢在高考黄金8卷】2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅱ卷专用）（含解析）

【赢在高考・黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷

（新高考H卷专用）

黄金卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设集合A=H（x+l）（x-4）<。},B={x\2x+a<0],且Ac3={x[T<x<3},则”=（）

A.6B.4C.-4D.-6

2.已知备=1一：，则同=（）.

A.72B.—C.2D.1

2

3.已知/（x）=sin,or-§|（3WN）的图象与直线），=〃在区间[0,可上存在两个交点，则当。最大时，曲线

）=f（x）的对称轴为（）

*域+与，*

A，eZB.x=—+—,keZ

305

j韦吟‘-zc兀依,~

D.x=—+——，kGZ

65

2X+2T

尔函数x）的图像大致为（）

5.如图，正方形/WCO中，OE=2EC,2是线段跳:上的动点，£.AP=xAB+yAD（x>0.y>0）,则g+；的

最小值为（）

4+2行

cD.4

,-3-

6.谢尔宾斯基（Sicrpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图I）,沿

三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2）,对剩下的三个小三角形维续以上

操作（如图3）,按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形.如果图1三角形的边长为2,则图4

378

64

、c5,

x'-2ax+—,x<I

2

7.已知函数/（%）=满足对于任意实数为，修，都有/：//（毛）<0成立,则实数。的

2-a,

------1用一占

取值范围是（）

A.(1,2)B.[1,2)C.1,胃D.1,1

8.已知双曲线吠。）右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为女为双曲线的右焦点，若

AFLBF,设乙46"=a,且（去：），则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A.(1,72)B.(72,2)D.(2,+oo)

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆M：x2+/-4y-5=0,则下列关于圆M的结论正确的是（）

A.点（3,1）在圆M内

B.圆M关于直线X+y—2=0对称

C.圆M与圆O：/+）,2=］相切

D.若直线/过点（1.0）,且被圆M截得的弦长为4&，则/的方程为31-4），+3=0

10.下列说法正确的是（）

A.若数据王,%，…，冷的方差为I，则新数据M+1，/+1，…，/+1的方差为1

B.已知随机事件4和8互斥，且P（AU3）=0.8,P（8）=0.3,贝!P（不等于0.5.

C.“。=一1”是直线〃、-），+1=0与直线x-a），-2=0互相垂直的充要条件

D.无论实数2取何值，直线（24-1b+（/1+3）），-（4-11）=0恒过定点（2,-3）

11.如图，在校长为2的正方体A8CD-A8£R中，M,N分别是核人罔，A0的中点，点E在8。上,

点厂在用。上，且=点P在线段CM上运动，下列说法正确的有（）

A.当点E是3。中点时，直线EF〃平而QCGA：

B.直线HQ到平面CMN的距离是立；

2

C.存在点尸，使得/BJR=90。；

D.△PDR面积的最小值是拽

6

12.已知/（X）、g（x）都是定义在R上的函数,且〃力为奇函数，g（“的图像关于直线陛=1对称,则下列

说法中一定正确的是（）

A./（0）=0B.g⑴=0

C.y=g［〃x）］为奇函数D.尸/|＞（切的图像关于直线”1对称

第II卷（非选择题）

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知（3x-［的展开式中各项系数的和为4,则实数〃的值为.

S2〃5«

14.已知等差数列{4},{2}的前，，项和分别为％7；,且广景p则/=.

15.在中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知c=4,C=60°,BD=—+DA，则。人

2

的最大值为.

16.在棱长为2的正方体ABC。-A8GR中，点例是对角线A。上的点（点M与A、&不重合），则下列

结论正确的是.（请填写序号）

①存在点M,使得平面ADM1平面BCQ：

②存在点M,使得0M〃平面与CR：

③若AADW的面积为S,则Se中,26

④若，、邑分别是,4。"在平面ABC"］与平面8片CC的正投影的面积，则存在点M,使得$=*.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.(10分)已知点(-2,1)是角a终边上一点.

sin(7r-«)+cos(7i+tz)

⑴求.(n―1一有的值：

sinl--al-cosla-—I

(2)若将角“终边绕着坐标原点逆时到旋转g得到角/?的终边，求cos,的值.

18.(12分)已知正项数列｛4｝的前〃项和工，满足：,［明出

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记勿=共二，设数列也,｝的前〃项和为小求证7；＜盘.

19.(12分)如图，在四棱柱A8CD-A8cA中，四棱锥R-八3C。是正四棱锥，AD,±D,C.

(1)求AG与平面8CG修所成角的止弦值:

—*?

(2)若四极柱AM?。-AqG"的体积为16,点E在极A3上，且AE=A8,求点C1到平面吊庭的距离.

20.(12分)第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务

亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办“心心相融•爱答亚运”知识挑战赛.挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战

者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜.若赛制要求挑战者先答题，守擂者和

挑战者每次答对问题的概率都是0.5,且每次答题互不影响.

(I)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少？

(2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少？

(3)现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之

二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利.若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增力口?并

说明理由.

21.112分)已知椭圆二点£(—1.0)、C(—2,0)分别是椭圆M的左焦点、左顶点，

a"b"

过点”的直线/(不与x轴重合)交椭圆M于A,8两点.

(I)求椭圆M的标准方程；

(2)若A(0,6),求/QB的面积；

(3)是否存在直线/,使得点8在以线段AC为直径的圆匕若存在，求出直线/的方程：若不存在，请说明

理由.

22.（12分）已知函数〃x）=hu=〃优+2.

⑴求f(x)的极值;

⑵若/(尤)在区间有2个零点，求〃的取值范围.

【赢在高考・黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷

(新高考H卷专用)

黄金卷01

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.设集合A={x[(x+l)(x-4)<。},B={x\2x+a<0},且Ac8={x|-1vx<3},则〃=()

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】D

【解析】A={x|-l<x<4),3=卜卜<胃，

V=<x<3},一]=3,a=-6,

故选:D.

zI

2.已知百；=「；，则同=().

A.72B.—C.2D.I

2

【答案】C

【解析】由==，得z=(l+i/=2i,

则5=-2i,所以同=2.

故选：C.

3.已知f(x)=sin公r-（J（3GN）的图象与直线y=a在区间[0,兀]上存在两个交点，则当0最大时，曲线

y=f（x）的对称轴为（）

A，*或+柴2冗依，~

B.x=----1------,keZ

305

TCkrc,~

C]=家与，屣ZD.x=—+——,kwZ

65

【答案】D

n

【解析】当xe[0，句时@%一1s—,KCO——

33

要使得/（弓的图象与直线＞'="存在两个交点,

nn1In535

则nil一<Tl(D--<---,解/寸—<<---

23266

又因为＜yeN,所以0G{1,2,3,4,5},所以利皿=5,

此时曲线1y=/W的对称轴为5x-g=g+E,k.Z,

解得x=?十竺，keZ,

65

故选：D

2k+2"

4.函数/（幻的图像天致为（)

【答案】c

【解析】设g(x)=ln(/?TT—q,

对任意xeR,Jx2+1>|A|>x,

所以&+17>0,

所以雇X）的定义域为R,

g(T)=ln(6+l+x

尸+X）（标T）

In

\lx2+\-x

=In/」—=-ln(&+17)=-g(x),

Vx+1-x'/

所以函数鼠1）=1|1（＞/./+1-q为奇函数.

令g㈤=ln(&+1-X)=0,

可得Jx2+1-X=1，即Jf+l=X+1'

所以x+120,可得xN-1,

由J7Ti=x+l可得f+1=(%+1『，解得x=0,

2X+2~X

所以小"对时工）的定义域为卜打工0卜

d「、2-X+2X2-r+2v，/、

又八2=而=一^=一'3'

所以函数/（X）为奇函数，排除BD选项,

当、＞。时，m（闪.。/"不；是减函数,

则ln（&+lT）<m（N/iJTT-O）=lnl=O,2x+2~x>0,

所以〃x）<0,排除A选项.

故选：C

5.如图，正方形48。中，DE=2EC.P是线段8E上的动点，旦AP=xA8+.vAO（x>0,y>0）,则：+（的

最小值为（）

A.141B.2百C.D.4

【答案】C

______―.2一__2

【解析】正方形A8C。中，DE=2EC^则A。=4E+七。=+=4七一§A3,

22

而AP=xAB+yAD,则AP=xAB+y[AE一二48）=（x—二y）AB+yAE,

33

又点B,RE共线,于是（x_,）+y=i,即x+]=l,而x>0,y>0,

当且仅当土=：,即），=Gr=迈3时取等号，

y3x2

所以当X=三3,>，=坦2时，取得最小值士!心叵.

22Xy3

故选:C

6.谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：以一个实心等边三角形（如图I）,沿

三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2）,对剩下的三个小三角形继续以上

操作（如图3）,按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形.如果图1三角形的边长为2,则图4

被挖去的三角形面积之和是（）

27%/3

BE64

【答案】D

【解析】第一种挖掉的三角形边长为2x；=l,

共1个,

第二种挖掉的三角形边长为以：=3,共3个'面积为3x

第三种挖掉的三角形边长为=共9个,

面积为9x96

~64~

故被挖去的三角形面积之和4+浮等=等.

故选：D

7.已知函数/（%）=•满足对于任意实数七/天，都有：）＜0成立,则实数〃的

取值范围是（)

A.(1,2)B.[1,2)C.D.

【答案】D

对于任意实数王工公，都有丛止3＜。成立,

【解析】依题意,

百一工

不妨设-v.＜x2,则/（%）—/（玉）＞0,/（玉）＞/（七），

所以，（x）在R上单调递减，

23

所以2-4＞0,解得IWaq.

21

故选：D

8.己知双曲线1=1（。＞0力＞0）右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为8,厂为双曲线的右焦点，若

a'h-

AFLBF,设NAM=a，且则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A.（1,V2）B.（V2,2）C.（上,口）D.（2,+oo）

【答案】C

【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为“'，连接AU，BF',

因为A尸则四边形4用尸为矩形,

所以|明=|尸产1=2小

则14尸|=2csina,\BF|=2ccosa.

\AF\-\AF\=2a.

2ccosa-2csina=2a.

艮［Jc(cosa-sina)=a,

则acosa-sina

因为"信,3则"+%第｝

可得cos（a+：）G（0,；）,即&cos（a+：）c°、乎，

所以"京岗1三

即双曲线离心率的取值范围是（血,y）,

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知圆M：x2+/-4y-5=0,则下列关于圆M的结论正确的是（）

A.点（3,1）在圆M内

B.圆M关于直线%+）」2=0对称

C.圆M与圆O：F+）,2=］相切

D.若直线/过点（1,0）,且被圆M截得的弦长为4&，则/的方程为标-4），+3=0

【答案】BC

【解析】圆例的方程为V+（y-2）2=9,即圆心为（0,2）,半径为3,

对于A：因为32+（1—2『=10>9,所以点（3,1）在圆M外，故选项A错误：

对于B：因为0+2-2=0,所以圆心在直线匕故选项B正确：

对于C：因为圆0、圆M的圆心距为J（0-2『+0=2,两圆的半径差为3-1=2,

所以两圆内切，故选项c正确;

对于D：当直线/的斜率不存在时，其方程为x=l,圆心（0,2）到直线i的距离为1,

直线被圆所截得的弦长为27?二1=4及，

\kx0-2-k\

当直线/的斜率存在时，设其方程为3=&（x-1），圆心（0,2）到直线/的距离为

J1+K

解得可得直线/的方程为31,，+3=。，综上所述，直线/的方程为31），+3=。或I,故选

项D错误.

故选：BC.

10.下列说法正确的是（）

A.若数据王,孙，心的方差为1，则新数据玉+1，七卜】，…，&+1的方差为1

B.已知随机事件4和8互斥,且尸（4UB）=0.8,P（3）=0.3,贝!尸（可等于0.5.

C.=是直线片工―），+1=0与直线工-0-2=0互相垂直的充要条件

D.无论实数2取何值，直线（22-1卜+（4+3）〉，-（"11）=0恒过定点（2,-3）

【答案】ABD

【解析】对于A：若数据不修，，%的方差为1，则新数据X+I，匕+L…，0+1的稳定程度没有发生

改变，方差还是1,A正确；

对于B：随机事件A和8互斥，且尸（A团=0.8,P（5）=03,

则P[A}=P（AUB）-P（«）=0.8-0.3=0.5,

则R：^）=l—P（A）=0.5,B正确；

对于C：若直线a、-y+l=0与直线x-ay—2=0互相垂直，则/+（T）x（—a）=0,

解得4=0或〃=一1,

故“a=T”是直线。与-丁+1=0与直线=0互相垂直的充分不必要条件，C错误:

对于D：直线（2%—l）x+（夭+3）），_（/1_11）=0

2x+y-\=0x=2

即为（2x+y-l）4-x+3y+l1=0,令，解得

-x+3y+l1=0y=-3

即无论实数4取何值,直线(2/1-1)%+(2+3))，-(4-11)=()恒过定点(2,-3),D正确.

故选：ABD.

II.如图，在棱长为2的正方体48。/)-4四。1。中，M,N分别是棱斗出，4。的中点，点£在8。上,

点尸在4c上，且=点?在线段CM上运动，下列说法正确的有()

A.当点E是应)中点时，直线麻〃平面OCGR；

B.直线4"到平面CMN的距离是立：

2

C.存在点尸，使得/APR=90。；

D.△P。。面积的最小值是拽

6

【答案】AC

【解析】对于A,由E是8。中点，BE=CF,得点尸是4。的中点，连接8G，显然”也是8G的中点,

连接。G，

于是EF7/CQ,而政＜Z平面。CGQ,OGu平面。CGQ，所以直线即〃平面，A正确:

对于B,M.N分别是棱A4,的中点，则与Z)"/A/N,%Ra平面CMN,MNu平面CMN,于是BQJ/

平面CMN,

因此直线BR到平面CMN的距离等于点2到平面CMN的距离h,

MN=e、CM=CN=QCD；+D\N2=J(2&)2+T=3,

小叫=；xgxlxl)x2=；,sCMN=；XgX卜二=孚'V0rCMN=('^~h，

由VjMNn=%-CMN，得力=—♦B错误：

以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则M(1.0,2),0(220),勺(2,0,2),。(0,2,2),

对于C,设MP=/MC=/(l,2,—2),则尸。+1,2人-27+2),/坐=(1-z,-2r,2r),PR=(-/-l,2-2z,2/)f/e[OJ],

由NB/〃=90。，得PB/PR=(l-/)p-l)+(-2r)(2-2r)+2z-2/=9/2-4/-l=0,解得/=笠叵,

由于，="卢e[0』，因此存在点尸，使得N8JA=90。，C正确；

对于D,由选项C得PQ+12,—2f+2)在I)1的投影点为(0,2,—2/+2),

则P到皿的距离d=而+1尸+(2-2；)2=^5(/-1)2+y,

△产叫面积为S=；2d=.-|)2邛(，€[()』)，所以当，=1时，S取得最小值为竽，D错误.

故选：AC

12.已知/(X)、g(x)都是定义在R上的函数,且为奇函数，g(»的图像关于直线x=l对称,则下列

说法中一定正确的是()

A./(0)=0B.g⑴=0

C.产g[/(初为奇函数D.,=的图像关于直线x=l对称

【答案】AD

【解析】解：因为/W是定义在R上的函数，且/(x)为奇函数，所以〃。)=0,故A正确：

因为g(x)是定义在R上的函数，且g(x)的图像关于直线x=l对称，所以g(l-x)=g(l+x),g⑴不一定为

0,故B错误；C明显错误；

因为g(17)=g(l+”,所以y=/[g(x)]的图像关于直线x=l对称，故D正确.

故选：AD

第H卷(非选择题)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.己知(3x-2)(*-：)的展开式中各项系数的和为4,则实数"的值为.

【答案】7

【解析】因为卜勺卜一：)的展开式中各项系数的和为4,

令x=l,可得(3-a)(-l)=4,解得a=7.

故答案为：7.

且尹2〃-5

14.已知等差数列｛〃"｝,｛”｝的前〃项和分别为邑,「,则〉

4〃+3

【答案】1

47

,「、S”2〃一5

【解析】等差数列｛叫,也｝的前〃项和分别为S",,且宁=京口,

U(4+qJ

延二2a6_4+4i2二S”2x11-5二17

所以

h6生4+生ll(Z>i+ih„)-TT-4X11+3—47

~1T

17

故答案为：—

DC

15.在中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,已知c=4,C=600,BD---+，则ZMD8

2

的最大值为.

【答案】-竺/-3.52

【解析】由题意,

nr-.3―..

BD=-+DA=-DC+CA

22

.?

BD=BC+CD，所以消去BD得CD=-(CA+CB)

DAD«=(DC+CA)-(DC+C/?)=^|cA-|c^^|c^-|cAj=-^(6?:+/?2)4-i|«/?cos600,

2

由cos60="-?二6,得a+b?=ab+16之2ab,当旦仅当a=〃时等号成立，

2ah

：.0<ab<\6,

.26八N13.1,96,88

••奴式=---(16+cib)+—ah=—ah------4-

2550502525

.,AI88

故答案为：-不

16.在棱长为2的正方体ABC。-ABC2中，点M是对角线AG上的点（点M与A、G不重合），则下列

结论正确的是.（请填写序号）

①存在点M,使得平面\DM1平面BCQ；

②存在点M,使得0M〃平面4CR：

③若AA。例的面积为5,则Se-^-,273

④若3、邑分别是，A。例在平而A8G"与平面38CC的正投影的面枳，则存在点M,使得.$=$.

【答案】①@④

【解析】连接4c1G,

①设平面A.B.CD与对角线AG交于M.

由8c_L8G,OC_L8G，

且用Cu平面A^CO,C£）U平面AMCO,且4CcCO=C,

所以3Gl平面A4CQ,即8Gl平面ADM,

所以存在点M,使得平面AQM_L平而8G。，所以①正确：

②连接BD、BPi,

由BD//RR,8O（z平面CBR,BRu平面CBR,

所以BDH平面CBR,同理由A。/用。可得A。〃平而CBR,

又％DcBD=D,AOu平面4。4,£）3u平面4。5,

所以平面A力"〃平面CR",

设平而入。8与AG交于点M,则。Mu平面4。8,

所以QM〃平面。用。「所以②正确：

③连接AR交A。于点。，过0点作-L4G,

|C

在正方体ABCO-AMGA中，

由①5al平面A#C。，同理可证4R1平面48GR,

且OMu平面A8CQ,

所以AR_LOM，所以OM为异面直线A。与AC,的公垂线，

OMOA

根据/OMSJCQ,所以eV|Z-/i一/I了v.，

即。*空殁=与=逅，

AC2x/33

此时y\DM的面积为S,他“=；xAOxOM=gx2&x手=手,

所以③不正确：

④设点”在平面A耳GQ的正投影为例一在平面BKGC的正投影为

如图，因为仪平面4始。出,

则A0在平面内的射影为AC,

由MeAC-则MeAC，

故在点M从AG的中点向着点A运动的过程中，

点必也从AG的中点向着点A运动.

由M%_L平面ASGA，则

故当M为AG中点时，正投影M,也为AG中点，

此时,、A/W在平面4.B.C.D,的正投影的面积S1=S,,©%=gx2x1=1,

因此，在点M从AG的中点向着点A运动的过程中，

,ANM的面积即S从I减少到趋向于0,即，w(0,1),

同理，在点M从AC；的中点向着点4运动的过程中，

点M2也从BG的中点向着点8运动，的面积即邑从0开始增加，

当M与A重合时，正投影A/：与B重合，

此时A.DM在平面BB«C的正投影的面积S?=S%/,=4x2&x&=2,

所以与€(0⑵，

故在此过程中,必存在某个点M使得£=包,所以④正确，

故答案为：①②④.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

17.(10分)已知点(-2,1)是角a终边上一点.

sin（兀一a）+cos（7i+a）

（2）若将角a终边绕着坐标原点逆时针旋转g得到角夕的终边，求cos/?的值.

【答案】（1）一3

0275+715

（2）――

【解析】（1）因为点（-2,1）是角a终边上一点，

W^=——T，cosa=

sin（7t-a）+cos（7t+a）_sina-cosa_tana-1_2

cosa+sina1+tana]_1

（2）将角。终边绕着坐标原点逆时针旋转3得到角夕的终边，

故…+冬

n..n2布1#出2石+后

所以cosp=cosa+—=cosacos---sinasin—=cosof=----X------X---=-----------

335252

18.（12分）已知正项数列｛4｝的前〃项和S”，满足：S”=（铝

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）记久=兵工,设数列｛4｝的前〃项和为1,求证看＜9.

16

【答案】（1）4,=2〃-1

【解析】（1）当〃=1时,a，解得4=1.

当此2时，由号）①，可得S.T=（是±1],②

①-②得：4q=a：—七+24一2，%,即(4+%)(可一%-2)=0.

4＞。，

，a「%=2.

...｛4｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列也｝的通项公式为=1+(〃-1)x2=2〃-1.

(2)由(1)可得S.=a+2；1)」二,2,

L〃+1if11)

/(“+2)24(/5+2)2)

4中+＞，『心/，4=心等,L'如仪高-高/

T…入1J1111111111

.UM+4+于+落：T?下++涯17一许/+而一值两4

if,1111155

4(4(“+1)2(〃+2)2j4416

19.(12分)如图，在四棱柱A8CD-A向GA中，四棱锥。一八8C。是正四棱锥，AR_LRC.

⑴求AG与平面ACGq所成角的止弦值：

3

(2)若四棱柱"CO-4&CQ的体积为16,点E在棱相上，且AE=gA8,求点G到平面4。七的距离.

【答案】(1

⑵嗜

【解析】(1)因为四棱锥。LABC。是正四梭锥，连接AC、8£>交于点。，则AC上B。,

连接Q。，则平面人3C。，所以0A。比。。两两垂直.

如图所示，以点。为坐标原点，04。员OA所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系。一町2,

设OA=a(a>0),因为AR1DtC,=RC厕OR=a,

设BA与4G交于点尸，则厂为3。的中点，

所以0(0,0,0),A(a,0,0),3(0,0),C(-«,0.0),D(Q,-a,0).D,(0,0,a),

吟f，

n-BC=0

所以8。=(一4一4,0),。。］=。2=(0,60),设平面8CC/1的•个法向量为。=(x,y,z),则有

〃CG=0,

-ax-ay=0

得

a4v+az=0

取z=l,得〃=(1,-1,1),

2

直线AC；的一个方向向量为/=一"=(-211),

设与平面8CC由所成角为e,

|(-2)xl+lx(-l)+lxl|V2

则sinJ=口♦司

丽7(-2)2+12+12^/|2+(-1)2+123

所以直线何与平迹所成角的正弦值为今

(2)因为四棱柱ABCD-ABC］。的体积为V=S3c・O/)i=(>/5«)，=16,所以a=2,

由(1)知，0(0,0,0),A(NO,0),8(0,2,0),C(—2,0,0),0(0,—20)，A(0,0,2),

AB=(-2,2,0),BC=(-2,-2,0),DD1=(0,2,2),CC,=DD,=(0,2,2).

3一—-2―

因为4E=」A8,则=

55

所以AK=AK-AA=IA3一叫

ECEB+BC=-AB+BC=

5I55J

X*-—y*-2zz=0

/、m-AE=055-

设平面AEC的一个法向量为〃?=(<)、',/),则有,〃2c_0得

=0

55,

取z=l,得m—(3,-7,l),

所以点，到平面位的距离为管二号署罕二誓.

20.(12分)第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州举行，某学校为持续营造全民参与亚运、服务

亚运、奉献亚运的浓厚氛围举办'‘心心相融・爱答亚运''知识挑战赛.挑战者向守擂者提出挑战，规则为挑战

者和守擂者轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜.若赛制要求挑战者先答题，守擂者和

挑战者每次答对问题的概率都是0.5,且每次答题互不影响.

(1)若在不多于两次答题就决出胜负，则挑战者获胜的概率是多少?

(2)在此次比赛中，挑战者获胜的概率是多少?

（3）现赛制改革，挑战者需要按上述方式连续挑战8位守擂者，每次挑战之间相互独立，当战胜至少三分之

二以上的守擂者时，则称该挑战者胜利.若再增加1位守擂者时，试分析该挑战者胜利的概率是否增加?并

说明理由.

【答案】（1）0.25

*

（3）没有增加，理由见解析

【解析】（1）设事件A为挑战者获胜，事件8为不多于两次答题比赛结束.

P（AIB）=0.5x0.5=0.25.

（2）设P为先答题者获胜的概率，则P=O.5x（O.5+O.5P）,解得P=g,

所以挑战者获胜的概率是

（3）设随机变量X为挑战者连续挑战8人时战胜得守擂者人数，R为此时挑战者获胜的概率：

丫为挑战者连续挑战9人时战胜得守擂者人数，鸟为此时挑战者获胜的概率.

—联外鸣卯鸣号

卜士咐©+明即明哼

显然，匕>鸟，即该挑战者胜利的概率没有增加.

21.11