高中数学知识点总结1

必修5知识点总结

1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为AABC的外接圆的半径，则

有，一=上-=」一=2R.

sinAsinBsinC

2、正弦定理的变形公式：①〃=2RsinA,〃=2RsinB,c=2/?sinC；

②sinA=&,sinB=—,sinC=—：（3）«:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

2R2R2R

④々+b+c_a_b_c

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

（正弦定理主要用来解决两类问题：1、己知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边,

求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）

如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想

画中图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点:

当无交点则B无解、

当有一个交点则B有一解、

当有两个交点则B有两个解。

法二:是算出CD二si是,看a的情况：

当a〈bsinA,则B无解

当bsinA<aWb,则B有两解

当a=bsinA或a〉b时,B有一解

注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式:=—bcsinA=—"sinC=—acsinB.

222

4、余弦定理：在AABC中，有。2二尸+c，2-2/JCCOSA,b2=a2+c2-2accosB,

c2=a2+b2-2abcosC.

_人―…35*b~^c~-a~cCl+c~-b~「a~+b--c~

5、余弦定理的推论：cosA=----------,cosB=----------,cosC=-----------.

2bclaclab

（余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角）

6、如何判断三角形的形状：设。、b、c是AABC的角A、B、。的对边，贝的①若a2-^b2=,则C=90°：

②若则。<90°；③若/+从<。2,则C>90°.

A

正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,

但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，

并测得/ACB=75°,ZBCD=45°,/ADC=30°,

NA1）B=45"（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离。

本邈解答过程略

附：三角形的五个“心”；

重心：三角形三条中线交点.

外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点.

垂心：三角形三边上的高相交于一点.

7、数列：按照一定顺序排列着的一列数.

8、数列的项：数列中的每一个数.

9、有穷数列：项数有限的数列.

10、无穷数列：项数无限的数列.

11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：anH>an）.

12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：即“3）.

13、常数列：各项相等的数列（即：a<.H=an）.

14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

15、数列的通项公式：表示数列｛4｝的第〃项与序号〃之间的关系的公式.

16、数列的递推公式：表示任一项凡与它的前一项（或前几项）间的关系的公式.

17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这

个常数称为等差数列的公差.符号表示：《川-/=4。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①4〃—〃〃-1=，/（">2,"为常数）②2an=an+i（/?>2）®=kn+h（n,k为常数

18、由三个数。，A,〃组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为。与人的等差中项.若

a+c

b=—,则称人为。与c的等差中项.

2

19、若等差数列｛4｝的首项是q,公差是d,则4=q+（〃一1”.

a—a

20、通项公式的变形：①卬=4+（"加）d；②q=q_（〃T）d；③d=」——.

一4,_,7_4—am

④"7+1；⑤d-不/

21、若也｝是等差数列，且6+〃=〃+“（〃?、〃、P、qwN）,则+4二册+4；若｛4｝是等

差数列，且2〃=〃+夕（〃、P'夕wN"）,则2%=册+47.

S〃（4+%）c"（"T）’

22、等差数列的前〃项和的公式：①S”=--—；②S”=㈣+\'d.③

1乙

①若项数为则S2〃=〃（q+q+J,且S偶-S奇二血，

23、等差数列的前〃项和的性质:

S奇二可

S儡an+\

②若顶数为2〃-16£N'），则§2,1=（2〃-1）%，且S价一%.=」一（其中S苛=zz〃，

S偶〃T

S偈=（，—1）4）・

24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这

个常数称为等比数列的公比.符号表示：4包=9（注：①等匕数列中不会出现值为0的项；②同号位上

%

的值同号）

注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：

①。〃=〃“一闯（〃22,夕为常数,且¥0）②=册+1•«„_i（n>2,*0）

③a“=«"（c国为非零常数）.

④正数列｛〃”｝成等比的充要条件是数列｛log、％｝（x>l）成等比数列.

25、在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则G称为a与力的等比中项.若G?=ab,

则称G为。与/?的等比中项.（注：由G2="不能得出。，G,人成等比，由。，G,b=>G2=ab）

26、若等比数列｛凡｝的首项是q,公比是小则

n-m—（〃一I）,aln-m

27、通项公式的变形：①。〃=q/；②4=anq'，；③q〃T=2；®q=—.

“a„,

28、若｛4｝是等比数列，且m+〃=〃+“（〃7、fl>p、［cN*）,则若｛《J是等比

7

数列，且2〃=〃+q（〃、p、^GN'）,则

〃4（4=1）

29、等比数列｛勺｝的前〃项和的公式：①S〃=4（1一右）a「%q.②*=4+%+…+%

\-q="q./0

,4=4］（〃=1）

30、对任意的数列｛6｝的前〃项和S”与通项册的关系：。〃=<（…

S“一S“T（〃22）

［注］:①〃“=丐十（〃-1）/=向十（4-〃）（”可为零也可不为零一为等差数列充耍条件（即常数列也是等差数

列）一若d不为0,则是等差数列充分条件）.

②等差｛册）前〃项和5“=命+胡=图斗「升一髀以为零也可不为零一为等差的充要条件一若

d为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

③法等常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）

附：几种常见的数列的思想方法：

⑴等差数列的前〃项和为S“，在dY（州4,有最大值.如何确定使S”取最大值时的〃值，有两种方法：

一是求使4〃20,册+1YO，成立的〃值；二是由S〃=^M+（aI_f〃利用二次函数的性质求〃的值.

数列通项公式、求和公式与函数对应关系如卜.：

数列通项公式对应函数

等差数列y=+B（d=0时为一次函数）

an=4]+(力—l)d=d八+(«]-d)

等比数列=ax

n-1a\ny^（指数型函数）

=a1q=­q

q

一一一一..............

数列前n项和公式对应函数

n(n-1),d2/d、2

等差数列sn-⑶1~--d=2加+312”y=ax+6工（《=o时为二次函数）

等比数列y=&/+&（指数型函数）

1

sn——-q十

\-q\-q\-q

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为

我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例迎：1、等差数列"｝中，即=冽，。斌=%（加工力）则时刊=

分析；因为卜J是等差数列，所以/是关于n的一次函数，

一次函数图像是一条直线,则（n,m）,（m,n）,（m+n,%«+“）三点共线,

n-m•»*»•*-n

所以利用每两点形成直线斜率相等，即活一凶（利+〃）-雁，得%（图像如上），这里利用等差数

列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例题：2、等差数列中，=25,前n项和为%,若$9二①7,n为何值时％最大？

d,d、

u—n2+（%---）n

分析：等差数列前n项和*可以看成关于n的二次函数22

（as.是抛物线/"）二5'+同一万"上的离散点，根据题意，/（9）=/（17）,

9+17

则因为欲求之最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为2,即当甩二13时,

凡最大。

例题：3递增数列LJ,对任意工整数n,%="+”力恒成立，求N

分析：T构造一次函数，由数列｛°』递增得到：即+1一%>°对于一切％任旷恒成立，即2"+1+2>0

恒成立，所以“>一（2"+1）对-切甩eN•♦恒成立，设-（2凶+1）,则只需求出了（比的最大值即

可，显然了5）有最大值/（D=-3,所以4的取值范围是：4>-3。

20构造二次函数，%=/+'”看成函数/（乃=，+为\它的定义域是凶"）,因为是递

增数列，即函数/。）二父+；^为递增函数，单调增区间为［1,例），抛物线对称轴'―2,因为函数f（x）

为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴

的左侧

43

一<一

也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，22,得4>一3.

⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘枳，求此数列前〃项和可依照等比数列前

〃项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：1」,3，,...（2〃-1）,,..

242〃

⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，

公差是两个数列公差小，刈的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n22的任意自然数，验证

。“一式巴」）为同一常数。⑵通项公式法。（3）中项公式法：验证

%一

2册+i=4,+%-2£N都成立。

3.在等差数列｛〃“｝中，有关，的最值问题：⑴当q>O,d<。时.满足J""'""的项数m使得S,.取最

&+I<。

a<0

大值.（2）当4<0,d>0时，满足一的项数m使得％取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,

〔4向2°

注意转化思想的应用。

附：数列求和的常用方法

1.公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于其中｛%｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘

的数列等。

例题：已知数列｛a„｝的通项为即=―!一,求这个数列的前n项和S,

解：观察后发现：a„=--——

n〃+1

S〃=a\+a2+…

=(八1---1)、+(/----1)、+…+/(------1-)、

223n〃+1

〃+1

3.错位相减法:适用于｛〃/”｝其中｛七｝是等差数列，也“｝是各项不为0的等比数歹h

例题：已知数列EJ的通项公式为求这个数列的前n项之和s.。

解：由题设得：

$〃=q+生+%+…+4

=l-2,+2-22+3-23+--+n-2M

即

=1,21+2•2~+3•2?+…+〃•2”①

把①式两边同乘2后得

234H+,

25n=l-2+2-2+3-24---+n-2②

用①-②，即：

=。〃・①

5〃1♦2'+/z2•2~+/3•2+•//•+/2”

/✓✓/////

/////✓//

234,,+,

2sn=1-2+2-2+3-2+•••+/?-2②

得

23zn+,

-5Z1=l-2+24-24----+2-/7-2

=2(1-22zp2，J+1

1-2

=2n+1-2-/?-2,,+l

=(l-/?)2n+,-2

n+i

：.sn=(n-])2+2

4.倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

2

1):1+2+3+...+n='""I)2)1+3+5+...+(2n-l)=n:3)13+23+---+H3=-n(n+l)

2

4)[2+2?+32+…+〃2」〃s+D(2〃+l)5)，

n[n+1)n〃+1

n(n+2)2nn+2

I

6)(p<q)

pqq-ppq

31、a-b>0<^>a>b；a-b=0oa=b；a-b<0<^>a<b.

32、不等式的性质：®a>b<^>b<ax®a>b,b>c=>a>c；③a>〃=a+c>〃+c；

@a>b,c>0=>ac>be,a>b,c<0=>etc<bc；®a>byc>d=>a+c>b-¥d；

⑥。>〃>(),c>d>0nac>；®a>b>0=>an>〃"(〃sN,«>1)；

⑧a>b>0=&i>啊n£N,n>l).

33、一元二次不等式；只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式.

34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式（高次不等式）的解法

穿根法（零点分段法）

n

求解不等式：aQx++02fL2+•..+"〃＞（）（＜o）（6o＞0）

解法：①将不等式化为或6』）仁』＞・（一,）＞0«0）形式，并将各因式x的系数化“+”；（为了统一

方便）

②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；

③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各

根的点（为什么？）；

④若不等式（x的系数化“+”后）是“＞0”，则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“＜0”，则

（自右向左正负相间）

例题：求不等式d—3d—6x+8＞0的解集。

解:将原不等式因式分解为：（x+2）（x-l）（x-4）＞0

由方程：（x+2）（x-l）（x-4）=0解得内=-2,々=1,刍=4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图

+

24

由图可看出不等式/一3f-6x+8>0的解集为:

卜|-2vxvl,或r>4}

(X+l)(X-2)(X+5)门…”4

例题：求解不等式1——----------1cO的解集。

。+6)。-4)

解：略

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

②一元二次不等式axJ+hx+c>0(a>0)解的讨论.

A>0A=0△<()

二次函数,Iu

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象-------5

一元二次方程

有两相异实根有两相等实根

ax1+bx+c=Ob

%,工2。1<々)无实根

(〃>0酌根-2=W

ax2+bx+c>0b

<xx^------

3>0)的解集2aR

av2+bx+c<0

｛小］<X<¥,)0

(a>0)的解集0

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。

2.分式不等式的解法

(1)标准化：移项通分化为四〉0(或dZc)；&20(或的形式,

gMg(x)g(x)g(x)

(2)转化为整式不等式(组)4^>0o/(x)g0)>0;/^N0u>,f(x)g(x)>0

g(x)g。)g(x)工o

例题：求解不等式：-<-1

X

解：略

Y

例题：求不等式上21的解集。

x+1

3.含绝对值不等式的解法：

基本形式：

①型如：|x|<a(a>0)的不等式的解集为：｛x\-a<x<a]

②型如：|x|>a(a>0)的不等式的解集为：｛x\x<-a9^bc>a｝

变型：

\ax+b\<c(c>())型的不等式的解集可以由｛x｝-c<cix+h<c]解得。其中-c<ax+b〈c等价于不等

式组+"<,在解-c<ax+b<c得注意a的符号

ax+b>-c

麻+4>c(c>0)型的不等式的解法可以由｛戈|or+〃>G或"+b<-c｝来解。

③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.

④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

例题：求解不等式I、-2|>1

解：略

例题:求解不等式：|x-2|+|x+3|<10

解：零点分类讨论法：I

分别令工一2=0和x+3=0-32

解得：％二—3和工=2

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图

①当xS-3时，(去绝对值符号〉原不等式化为：

—(x—2)—(x+3)410x----

-2=>--<x<-3

—

xW3」父2

x<-3

②当—3vx42时，(去绝对值符号)原不等式化为:

-3<x<2J-3<x<2

-(x-2)+(x+3)W10=xeR=>—3<x<2

③当x>2时，(去绝对值符号)原不等式化为:

%>2

x>2

9=>2<x<-

(x—2)+(x+3)K10x<-2

2

119

由①②③得原不等式的解集为：x|-----0X0—，(注：是把①②③的解集并在一起)

22J

函数图像法：_

令/(x)=|x-2|+|x+3]

-2x-1(x<-3)

则有：f(x)=•5(-3<x<2)

2x+1(x>2)

在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)=1()的图像如图

A>0

②若两根都小于0,即则有，-A<

2a0

/(0)>0

③若两根有一根小于0一根大于0,即二<0<〃，则有/(0)<0

④若两根在两实数m,n之间，即加<a«/7V〃，

A>0

b

则有12a

f(m)>0

f(n)>0

⑤若两个根在三个实数之间，即〃<a

/(〃?)>0

则有，/(r)<0

/(〃)〉()

常由根的分布情况来求解出现在a、b、C位置上的参数

例如：若方程X2-2(/7?+1U+病-2加-3=0有两个正实数根,求的取值范围。

A>04(/«+1)2-4(W2-2/«-3)>0m>-1

解：由①型得<a+〃>0=«2(7724-1)>0=>m>-\=>3

。•夕〉0nr-2m-3>0m<一1,或加>3

所以方程有两个正实数根时，相>3。

又如：方程/一工十加2-1=0的一根大于1,另一根小于1,求，〃的范围。

A>0(-1)2-4(W2-1)>0

2m2

解:因为有两个不同的根,所以由J⑴<0==>-1</H<1

l2-l+/n2-l<0

-1<zw<1

35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.

36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.

37、二元一次不等式(组)的解集：满足二元一次不等式组的工和)，的取值构成有序数对(乂)，)，所有这

样的有序数对(x,y)构成的集合.

38、在平面直角生标系中，已知直线Ar+B），+C=O,坐标平面内的点「（事,阳）.

①若B>0,Ax（）+By0+C>0,则点「（七,%