工程管理专业专升本高等数学线性代数基础卷

工程管理专业专升本高等数学线性代数基础卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：工程管理专业专升本

工程管理专业专升本高等数学线性代数基础卷

一、选择题

1.设矩阵A为3阶矩阵，若|A|=2，则矩阵2A的行列式为（）

A.2

B.4

C.6

D.8

2.向量α=(1,2,3)与向量β=(1,-1,1)的向量积为（）

A.(1,2,3)

B.(1,-1,1)

C.(-5,2,3)

D.(2,4,6)

3.设矩阵A为2×3矩阵，矩阵B为3×2矩阵，则矩阵AB的秩最大为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.方程x^2+2xy+y^2=1表示的曲线是（）

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

5.设向量α=(1,0,-1)，向量β=(2,1,1)，则向量α与向量β的夹角余弦值为（）

A.1/3

B.2/3

C.-1/3

D.-2/3

6.若矩阵A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A*的逆矩阵为（）

A.A

B.A^(-1)

C.|A|A^(-1)

D.|A|^2A^(-1)

7.设向量组α1=(1,0,1)，α2=(1,1,0)，α3=(0,1,1)，则该向量组的秩为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

8.方程x^2-y^2=0表示的曲线是（）

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.直线

9.设矩阵A为3阶矩阵，且A的秩为2，则矩阵A的伴随矩阵A*的秩为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,6)线性无关，则向量β=(1,2,4)可以由α1，α2，α3线性表示为（）

A.β=α1+α2

B.β=α1+2α2

C.β=α2+2α3

D.β=α1+α3

11.设矩阵A为2×3矩阵，矩阵B为3×2矩阵，则矩阵BA的秩最大为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

12.方程x^2+4xy+4y^2=1表示的曲线是（）

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

13.设向量α=(1,1,1)，向量β=(1,1,0)，则向量α与向量β的向量积为（）

A.(0,1,0)

B.(0,0,1)

C.(1,0,0)

D.(0,0,0)

14.若矩阵A为可逆矩阵，则矩阵A的转置矩阵A^T的逆矩阵为（）

A.A^T

B.A^(-1)^T

C.|A|A^(-1)^T

D.|A|^2A^(-1)^T

15.设向量组α1=(1,0,0)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)，则该向量组为（）

A.线性相关

B.线性无关

C.垂直

D.平行

16.方程x^2+xy+y^2=1表示的曲线是（）

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

17.设矩阵A为3阶矩阵，且A的秩为3，则矩阵A的伴随矩阵A*的逆矩阵为（）

A.A

B.A^(-1)

C.|A|A^(-1)

D.|A|^2A^(-1)

18.若向量组α1=(1,0,1)，α2=(1,1,1)，α3=(0,1,1)线性相关，则向量β=(1,1,2)可以由α1，α2，α3线性表示为（）

A.β=α1+α2

B.β=α1+α3

C.β=2α2+α3

D.β=α1+2α2

19.设矩阵A为2×3矩阵，矩阵B为3×2矩阵，则矩阵AB的转置矩阵为（）

A.BA

B.(BA)^T

C.A^TB^T

D.B^TA^T

20.方程x^2-4xy+4y^2=1表示的曲线是（）

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.圆

二、填空题

1.设矩阵A为3阶矩阵，若|A|=3，则矩阵A的逆矩阵A^(-1)的行列式为______。

2.向量α=(1,2,3)与向量β=(1,0,1)的点积为______。

3.设矩阵A为2×3矩阵，矩阵B为3×2矩阵，则矩阵AB的秩最小为______。

4.方程x^2+xy+y^2=1表示的曲线是______。

5.设向量α=(1,0,-1)，向量β=(2,1,1)，则向量α与向量β的夹角正弦值为______。

6.若矩阵A可逆，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式为______。

7.设向量组α1=(1,0,1)，α2=(1,1,0)，α3=(0,1,1)，则该向量组的秩为______。

8.方程x^2-y^2=0表示的曲线是______。

9.设矩阵A为3阶矩阵，且A的秩为2，则矩阵A的伴随矩阵A*的秩为______。

10.若向量组α1=(1,1,1)，α2=(1,2,3)，α3=(1,3,6)线性无关，则向量β=(1,2,4)可以由α1，α2，α3线性表示为______。

11.设矩阵A为2×3矩阵，矩阵B为3×2矩阵，则矩阵BA的秩最大为______。

12.方程x^2+4xy+4y^2=1表示的曲线是______。

13.设向量α=(1,1,1)，向量β=(1,1,0)，则向量α与向量β的向量积为______。

14.若矩阵A为可逆矩阵，则矩阵A的转置矩阵A^T的行列式为______。

15.设向量组α1=(1,0,0)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)，则该向量组为______。

16.方程x^2+xy+y^2=1表示的曲线是______。

17.设矩阵A为3阶矩阵，且A的秩为3，则矩阵A的伴随矩阵A*的逆矩阵为______。

18.若向量组α1=(1,0,1)，α2=(1,1,1)，α3=(0,1,1)线性相关，则向量β=(1,1,2)可以由α1，α2，α3线性表示为______。

19.设矩阵A为2×3矩阵，矩阵B为3×2矩阵，则矩阵AB的转置矩阵为______。

20.方程x^2-4xy+4y^2=1表示的曲线是______。

三、多选题

1.下列向量组中，线性无关的是（）

A.(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)

B.(1,1,1)，(1,2,3)，(1,3,6)

C.(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)

D.(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)

2.下列方程表示的曲线中，为椭圆的是（）

A.x^2+4xy+4y^2=1

B.x^2-y^2=1

C.x^2+xy+y^2=1

D.x^2-4xy+4y^2=1

3.下列矩阵中，可逆的是（）

A.

(10)

(01)

B.

(10)

(00)

C.

(11)

(11)

D.

(12)

(24)

4.下列向量组中，线性相关的是（）

A.(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)

B.(1,1,1)，(1,2,3)，(1,3,6)

C.(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)

D.(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)

5.下列矩阵中，秩为3的是（）

A.

(100)

(010)

(001)

B.

(101)

(111)

(011)

C.

(111)

(123)

(136)

D.

(123)

(234)

(345)

6.下列方程表示的曲线中，为双曲线的是（）

A.x^2+4xy+4y^2=1

B.x^2-y^2=1

C.x^2+xy+y^2=1

D.x^2-4xy+4y^2=1

7.下列矩阵中，不可逆的是（）

A.

(10)

(01)

B.

(10)

(00)

C.

(11)

(11)

D.

(12)

(24)

8.下列向量组中，线性无关的是（）

A.(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)

B.(1,1,1)，(1,2,3)，(1,3,6)

C.(1,0,1)，(1,1,1)，(0,1,1)

D.(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)

9.下列方程表示的曲线中，为抛物线的是（）

A.x^2+4xy+4y^2=1

B.x^2-y^2=1

C.x^2+xy+y^2=1

D.x^2-4xy+4y^2=1

10.下列矩阵中，秩为2的是（）

A.

(100)

(010)

(001)

B.

(101)

(111)

(011)

C.

(111)

(123)

(136)

D.

(123)

(234)

(345)

四、判断题

1.设矩阵A为3阶矩阵，若A的秩为3，则矩阵A的伴随矩阵A*可逆。

2.向量α=(1,2,3)与向量β=(1,0,1)线性无关。

3.方程x^2+xy+y^2=1表示的曲线是椭圆。

4.若向量组α1=(1,0,0)，α2=(0,1,0)，α3=(0,0,1)线性无关，则任何三维向量都可以由该向量组线性表示。

5.设矩阵A为2×3矩阵，矩阵B为3×2矩阵，则矩阵AB的秩等于矩阵A的秩。

6.方程x^2-y^2=0表示的曲线是两条相交的直线。

7.若矩阵A可逆，则矩阵A的转置矩阵A^T也可逆。

8.设向量组α1=(1,0,1)，α2=(1,1,1)，α3=(0,1,1)线性相关，则向量β=(1,1,2)可以由α1，α2，α3线性表示。

9.设矩阵A为3阶矩阵，且A的秩为2，则矩阵A的伴随矩阵A*的秩为0。

10.方程x^2+4xy+4y^2=1表示的曲线是双曲线。

五、问答题

1.已知向量组α1=(1,0,1)，α2=(1,1,0)，α3=(0,1,1)，请判断该向量组的线性相关性，并说明理由。

2.设矩阵A为2×3矩阵，矩阵B为3×2矩阵，请证明矩阵AB的秩不超过矩阵A的秩和矩阵B的秩中的较小者。

3.请解释什么是矩阵的伴随矩阵，并说明如何利用伴随矩阵求逆矩阵。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.B

解析：矩阵2A的行列式为|2A|=2^3|A|=8|A|，由于|A|=2，所以|2A|=8*2=16，选项B为4。

2.C

解析：向量积计算为(2,-4,-2)，选项C为(-5,2,3)。

3.B

解析：矩阵AB的秩最大为min(秩A,秩B)，秩A最大为2，秩B最大为2，所以最大秩为2。

4.A

解析：方程表示椭圆，因为x^2和y^2的系数相同且为正。

5.√3/3

解析：点积为1*2+2*1+(-1)*1=2，模长分别为√6，向量积为(1,-3,1)，模长为√11，余弦值为2/√66=√3/3。

6.C

解析：伴随矩阵A*的逆矩阵为|A|A^(-1)，由于|A|非零，所以|A|A^(-1)可逆。

7.C

解析：向量组秩为3，因为三个向量线性无关。

8.D

解析：方程表示两条相交的直线，因为可以分解为(x-y)(x+y)=0。

9.0

解析：秩为2的矩阵，其伴随矩阵秩为0，因为所有2阶子式为0。

10.B

解析：β=α1+2α2，因为1=1*1+0*2+1*0，2=1*0+1*2+1*1，4=1*1+2*2+3*1。

11.B

解析：BA的秩最大为min(秩B,秩A)，秩B最大为2，秩A最大为2，所以最大秩为2。

12.A

解析：方程表示椭圆，因为x^2和4y^2的系数相同且为正。

13.B

解析：向量积为(-1,-1,1)，模长为√3，余弦值为1/√6=√3/3，正弦值为√(1-(√3/3)^2)=√(2/3)=√6/3。

14.B

解析：转置矩阵的逆矩阵为转置的逆矩阵，即A^(-1)^T。

15.B

解析：标准正交基，线性无关。

16.A

解析：方程表示椭圆，因为x^2和y^2的系数相同且为正。

17.C

解析：秩为3的矩阵，其伴随矩阵逆矩阵为|A|A^(-1)。

18.C

解析：β=2α2+α3，因为1=0*2+1*2+1*1，1=0*1+1*2+1*1，2=0*1+2*2+1*1。

19.C

解析：转置矩阵性质，(AB)^T=B^TA^T。

20.A

解析：方程表示椭圆，因为x^2和4y^2的系数相同且为正。

二、填空题答案及解析

1.1/3

解析：A^(-1)的行列式为1/|A|，所以为1/3。

2.3

解析：点积为1*1+2*0+3*1=3。

3.2

解析：秩最小为min(秩A,秩B)，秩A最小为2，秩B最小为2，所以最小秩为2。

4.椭圆

解析：方程表示椭圆，因为x^2和y^2的系数相同且为正。

5.√6/√66

解析：点积为2，模长分别为√6，向量积为(1,-3,1)，模长为√11，正弦值为√(1-(2/√66)^2)=√(1-4/36)=√(32/36)=4√2/6=√2/3。

6.|A|^2

解析：伴随矩阵A*的行列式为|A|^2。

7.3

解析：向量组秩为3，因为三个向量线性无关。

8.两条相交的直线

解析：方程表示两条相交的直线，因为可以分解为(x-y)(x+y)=0。

9.0

解析：秩为2的矩阵，其伴随矩阵秩为0，因为所有2阶子式为0。

10.β=α1+2α2

解析：β=α1+2α2，因为1=1*1+0*2+1*0，2=1*0+1*2+1*1，4=1*1+2*2+3*1。

11.2

解析：BA的秩最大为min(秩B,秩A)，秩B最大为2，秩A最大为2，所以最大秩为2。

12.椭圆

解析：方程表示椭圆，因为x^2和4y^2的系数相同且为正。

13.(-1,-1,1)

解析：向量积为(-1,-1,1)，模长为√3。

14.|A|

解析：转置矩阵的行列式与原矩阵相同，即|A^T|=|A|。

15.标准正交基

解析：标准正交基，线性无关。

16.椭圆

解析：方程表示椭圆，因为x^2和y^2的系数相同且为正。

17.|A|A^(-1)

解析：秩为3的矩阵，其伴随矩阵逆矩阵为|A|A^(-1)。

18.β=2α2+α3

解析：β=2α2+α3，因为1=0*2+1*2+1*1，1=0*1+1*2+1*1，2=0*1+2*2+1*1。

19.(BA)^T

解析：转置矩阵性质，(AB)^T=B^TA^T。

20.椭圆

解析：方程表示椭圆，因为x^2和4y^2的系数相同且为正。

三、多选题答案及解析

1.A,B

解析：A为标准正交基，线性无关；B为线性无关，因为第三个向量不能由前两个向量线性表示。

2.A,D

解析：A和D表示椭圆，因为x^2和y^2的系数相同且为正。

3.A,C

解析：A和C为可逆矩阵，因为行列式非零。

4.C,D

解析：C和D线性相关，因为第三个向量可以由前两个向量线性表示。

5.A,C

解析：A和C的秩为3，因为三个向量线性无关。

6.B,D

解析：B和D表示双曲线，因为x^2和y^2的系数异号。

7.B,D

解析：B和D不可逆，因为行列式为零。

8.A,B

解析：A和B线性无关，因为三个向量线性无关。

9.无

解析：所有选项表示椭圆。

10.A,C

解析：A和C的秩为2，因为两个向量线性无关。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：秩为3的矩阵，其伴随矩阵可逆。

2.正确

解析：两个向量线性无关，因为它们的比例不同。

3.正确