上海大同中学2025-2026学年高一上学期数学期末试卷（含答案）

大同中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末一、填空题（每题3分，共36分）1.若幂函数的图像经过点，则______．2.已知集合，，则______。3.函数的定义域为______．4.已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______rad．5.函数的零点为______．6.已知，则______．7.关于的方程的解集为______．8.若，，则角的取值集合为______．9.已知函数，的最小值为，则______．10.已知函数的定义域为，若是偶函数，是奇函数，则______．11.已知，且满足等式，则的最小值为______．12.已知，若存在实数，使得对任意，恒成立，则的最小值是______.二、选择题（每题4分，共16分）13.已知为第二象限角，若，则在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限14.已知函数的定义域为，那么“函数的图像关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件15.定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”。下列关于“相关函数”的描述正确的是（）A.不存在常值函数是“相关函数” B.是“相关函数”C.“2026相关函数”至少有一个零点 D.“相关函数”至少有一个零点16.已知函数的图像关于直线对称的图像仍旧为某一函数的图像，则的最大值为（）A. B. C. D.三、解答题（，共48分）17.（本题满分分）已知集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．18.（本题满分分）在中，角、、对应边为、、，其中．（1）若，且，求边长的值；（2）若，，求．19.（本题满分分）2025年11月21日，为期13天的第十五届全运会落下帷幕，据调查，国内某公司生产的一款全运会吉祥物的“供货价格”为“固定价格浮动价格”，其中固定价格为60元，浮动价格（单位：元）．已知每件吉祥物的售价为正整数，且当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件；当每件吉祥物售价大于100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价供货价格）销售量。（1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？（2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大？最大为多少元？20.（本题满分分）（1）证明：；（2）设，证明：；（3）证明：是无理数．21.（本题满分分）对于定义在上的函数，记集合，．（1）若，直接写出和；（2）若，求的最小值；（3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”． 参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.12.已知，若存在实数，使得对任意，恒成立，则的最小值是______.【答案】【解析】在单位圆中，利用三角函数的定义，可得的终边要落在图中阴影部分区域（其中，所以，因为对任意都成立，所以，即，同例，所以的最小值为．二、选择题13.C14.A15.C16.D15.定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”。下列关于“相关函数”的描述正确的是（）A.不存在常值函数是“相关函数” B.是“相关函数”C.“2026相关函数”至少有一个零点 D.“相关函数”至少有一个零点【解析】任意常值函数都是“相关函数”，而对任意都是“相关函数”，故A错若是“相关函数”，则恒成立，即恒成立，此时有，无解，故B错对“2026相关函数”，有，若，则函数至少有两个零点，若，则必有，故函数在至少有一个零点，C对对“相关函数”，同C的思路，有，不能判断16.已知函数的图像关于直线对称的图像仍旧为某一函数的图像，则的最大值为（）A. B. C. D.【解析】函数在点处的切线关于直线对称的直线恰为一条垂直于轴的直线，此时切线斜率为，得三、解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）万元（2）145元时，利润最大为80元20.（本题满分分）（1）证明：；（2）设，证明：；（3）证明：是无理数．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】（1）证明：

（2）证明：因为，所以

则

（3）证明：假设是有理数，设

由（1）知，由（2）知

因为

所以即

若是有理数，设（互质），代入方程，可得，通过分析的奇偶性等，可发现无论取何值，都无法使等式成立，这与假设矛盾，所以是无理数.21.（本题满分分）对于定义在上的函数，记集合，．（1）若，直接写出和；（2）若，求的最小值；（3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”．【答案】（1）；（2）（3）证明见解析【解析】（1）；

（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；

当时，的最小值为0，所