命题点2一次方程(组)的实际应用

第二章方程(组)与不等式(组)课标要求①能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；②能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.命题点2一次方程(组)的实际应用要点归纳

1.

根据实际问题列一次方程(组)列一次方程(组)解应用题的一般步骤：①审：审清题意，分清题中的已知量和未知量，明确各数量之间的

关系.②设：设出关键未知数(可设直接或间接未知数)；一般用x表示一个未

知数，其他未知数用含x的代数式或y来表示.注意：条件较少而涉及量较多时，可设辅助未知数，该未知数可在解方

程的过程中消元，是设而不求.③列：根据题中的等量关系，列方程(组).④解：解方程(组).⑤验：双重检验，检验所解答案是否满足方程组，是否符合题意和实际

情况.⑥答：规范作答，注意单位名称.提分技巧：一次方程(组)实际应用题的解题思路(1)设元的方法.①直接设元法：直接设要求的量为未知数.②间接设元法：当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的一些量

为未知数，即为间接设元.无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程.(2)用一次方程组求解的应用题，一般有两个相等关系，若列一元一次方

程求解，则这两个相等关系一个用来设出未知数后表示另一个未知数，

另一个相等关系用来列方程；若列二元一次方程组，则这两个相等关系

均用来列方程.2.

一次方程(组)的实际应用常见类型基本关系和差倍分问题较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×单份的量；抓住反映等量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等购买、分配类问题①甲的量＋乙的量＝总量(或根据甲、乙的数量关系列等式)；②甲的量×甲的单位费用＋乙的量×乙的单位费用＝总费用；③若题干中明确给出

则直接设甲、乙为未知数求解等积变换问题根据图形面积或体积的不变性列方程(组)求解即可常见类型基本关系增长率问题增长率＝增长量÷原有量×100％，现产量＝原产量×(1＋增长率).如原产量为a，产量提高10％后为(1＋10％)a

打折销售问题①利润＝售价－成本价，总利润＝单件的利润×销售量；②售价＝原价(标价)×折扣，如打八折，折扣就是80％；③利润率＝

×100％；④总价＝单价×数量常见类型基本关系工程问题总工作量未定时，可设总工作量为单位1.①总工作量＝工作效率×工作时间；②总工作量＝各单位工作量之和；③工作效率＝

数字问题数字问题常间接设未知数，如十位、个位上的数字分

别为a，b的两位数为

；百

位、十位、个位上的数字分别为a，b，c的三位数

为

⁠数字问题：10a＋b100a＋10b＋c常见类型基本关系比赛积分问题总场数＝胜场数＋负场数＋平场数；总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分鸡兔同笼问题鸡的头数＋兔的头数＝总头数；鸡脚的总数＋兔脚的总数＝脚数和常见类型基本关系日历问题日历中的数量关系每一横排相邻两个数字之差为1；每一竖列相邻两个数字之差为7；左上到右下相邻两个数字之差为8；右上到左下相邻两个数字之差为6日历中矩形框内的数量关系落在矩形框内的9个数字，中间一个数字是这9个数字

的平均值；矩形框内，每一横排、竖列、斜排，中间

的数字都是它们的平均值

常见类型基本关系行程问题相遇问题(同时出发)s甲＋s乙＝

，t甲＝t乙

追及问题同时不同地：s甲＝s乙＋

，t甲＝t乙

同地不同时：甲出发t小时后乙出发，在B处乙追上

甲，s甲＝s乙，t甲＝

⁠

相遇问题：sAB追及问题：sACt乙＋t常见类型基本关系行程问题环形跑道问题关键是抓住各物体的运动时间和路程关系航行问题顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆水速度＝静水速度－水流速度命题点2一次方程(组)的实际应用随堂检测

1.

(2025河北保定一模)古书《四元玉鉴》中有记载：“酒分醇醨，醇酒

一升醉三客，醨酒三升醉一人.共通饮了一斗九，三十三客醉醺醺.欲问

高明能算士，几何醨酒几多醇？(一斗为十升)”，译文：“酒分为醇酒

和醨酒(醇酒是浓酒，醨酒是淡酒)，醇酒1升可以醉倒3位客人，醨酒3升

可以醉倒1位客人.总共饮用了‘一斗九’的酒(即19升)，醉倒了33位客

人.问：饮用了多少醇酒和多少醨酒？(注：1斗10升)”，则下列说法错

误的是(

D

)A.

设饮用了x升醇酒，y升醨酒.列出方程组为

B.

设饮用了x升醇酒，则饮用了(19－x)升醨酒.列出方程为3x＋

(19

－x)＝33C.

饮用了10升醇酒D.

饮用了10升醨酒答案：D

解得：x＝10，则19－x＝9，∴饮用了10升醇酒，饮用了9升醨酒故选项B、C正确，不符合题意；选项D错误符合题意.2.

(2024宿迁)我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；

若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？这段话的意思是：用

绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳

一尺.绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为(

A

)A.

x－4＝

x－1B.

x＋4＝

x－1C.

x－4＝

x＋1D.

x＋4＝

x＋1A3.

(2024南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三

公，众客都来到店中.一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两

句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间

客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房x间，客人y人，则可列方

程组为(

D

)A.

B.

C.

D.

D4.

(2025河北唐山二模)如图，数轴上(每格表示一个单位长度)点A，

B，C，D对应的整数分别为a，b，c，d，已知b－3c＝9，则数轴上

原点的位置在(

D

)A.

点A处B.

点B处C.

点C处D.

点D处解析：设B表示的数为x，则A，C，D分别表示x－4，x－1，x＋3，x－3（x－1）＝9，解得：x＝－3，即x＋3＝0，则数轴上原点的位置在D处.D5.

(2024陕西)星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫

除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4

h；若爸爸单独完

成，需2

h.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接

着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3

h，求这次小峰打扫了多长时间.解：设这次小峰打扫了x

h，则爸爸打扫了（3－x）h，

解得：x＝2