第9节平面直角坐标系及函数的概念

第三章函数[学习目标]1．体会一次函数、二次函数、反比例函数的意义，会用待定系数法确定它们的表达式．2．类比一次函数的研究方法，探究分析二次函数、反比例函数的图象与性质；体会类比和转化思想．3．会用数形结合的方法研究函数的图象和性质，能用函数的观点认识方程、不等式．4．能建立函数模型，并应用函数模型解决简单的实际问题，提高综合运用函数知识解决实际问题的能力．第9节平面直角坐标系及函数的概念一、平面直角坐标系1．各象限内点的坐标特征2．坐标轴上点的坐标特征(1)点P(x，y)在x轴上⇔y＝0．(2)点P(x，y)在y轴上⇔x＝0．(3)点P(x，y)在原点处⇔x＝0，y＝0．提示坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上．3．各象限角平分线上点的坐标特征(1)点P(x，y)在第一、三象限角平分线上⇔_________．(2)点P(x，y)在第二、四象限角平分线上⇔_________．4．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等．(2)平行于y轴的直线上的点的横坐标相等．x＝yx＝－y5．点到坐标轴的距离及两点间的距离(1)点P(x，y)到x轴的距离为_________，到y轴的距离为_________．(2)在x轴或平行于x轴的直线l上两点P1(x1，y)，P2(x2，y)之间的距离为_________．

(3)在y轴或平行于y轴的直线l上两点P3(x，y1)，P4(x，y2)之间的距离为_________．|y||x||x1－x2||y1－y2|6．平面直角坐标系中点的平移与对称用坐标表示平移

口诀左右平移，横坐标左减右加；上下平移，纵坐标上加下减用坐标表示对称点P(x，y)关于x轴的对称点的坐标为___________；点P(x，y)关于y轴的对称点的坐标为___________；点P(x，y)关于原点的对称点的坐标为___________口诀关于谁轴对称谁不变，另一个变号，关于原点对称都变号(x，－y)(－x，y)(－x，－y)二、函数及其相关概念1．函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有_________确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．唯一2．函数自变量取值范围的确定3．函数的三种表示法(1)解析式法：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系．(2)列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表格来表示函数关系．(3)图象法：把自变量和函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，用坐标平面内由这些点组成的图形表示函数关系．×√1．判断下列说法正误，正确的画“√”，错误的画“×”．(1)(3，2)与(2，3)表示的位置相同．(

)(2)平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系．(

)(3)坐标轴上的点不属于任何象限．(

)(4)坐标平面内任意一点M与有序数对(x，y)的关系是一一对应的．(

)×√2．(2025·西宁三模)如图，正方形ABCD的边长为4，点P从点A出发，沿正方形的边AB，BC，CD移动，运动路线为A→B→C→D．设点P经过的路程为x，△APD的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是(

)√3．(2025·青海)在平面直角坐标系中，点P(a－2，1＋a)在第三象限，则a的取值范围是________．答案：a<－1考点一平面直角坐标系及点的坐标变换√√√4．在平面直角坐标系中，点A(1，0)第一次向左跳动至A1(－1，1)，第二次向右跳动至A2(2，1)，第三次向左跳动至A3(－2，2)，第四次向右跳动至A4(3，2)，……，按照此规律，点A第2026次跳动至A2026的坐标是(

)A．(－1014，1013) B．(1014，1013)C．(－1013，1013) D．(1013，1012)√√6．(2024·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，点M(3，－4)关于y轴对称的点的坐标为(

)A．(－3，－4) B．(3，－4)C．(3，4) D．(－3，4)√7．(2024·青海一模)已知点A(－2，a)关于原点的对称点A′的坐标是(b，－3)，则ba的结果是________．答案：88．(2025·陕西模拟预测)在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把P′(y－1，x－1)叫作点P的“伴随点”．已知点A1的“伴随点”为A2，点A2的“伴随点”为A3，点A3的“伴随点”为A4，……，这样依次得到点A1，A2，A3，…，若点A1的坐标为(1，2)，则点A5的坐标为________．答案：(－3，－2)两点的位置坐标特征关于x轴对称横坐标相同，纵坐标互为相反数关于y轴对称横坐标互为相反数，纵坐标相同关于原点对称横、纵坐标都互为相反数两点连线与x轴平行纵坐标相同两点连线与y轴平行横坐标相同2．平移变换与点的坐标特征(1)左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变．(2)上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变．考点二确定函数自变量的取值范围考点三用函数图象分析几何图形动态问题√A

BCD[练习1]

(2024·武汉)如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是(

)√A

BCD√A

BCD考点四用函数图象分析实际问题√[练习1]甲、乙两人在绿道上同时从同一起点以各自的速度匀速同向而行，步行一段时间后，甲因有事按原速度原路返回，此时乙仍按原速度继续前行．甲、乙两人之间的距离s(米)与他们出发后的时间t(分)的函数关系如图所示，已知甲步行速度比乙快．由图象可知，甲、乙的速度分别是(

)A．60米/分，40米/分B．80米/分，60米/分C．80米/分，40米/分D．120米/分，80米/分√[练习2]

(2025·格尔木一模)小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h(米)与时间t(秒)之间的函数关系图象如图所示，则下列结论错误的是(

)A．当t＝41时，h＝15B．这60秒内，过山车距水平地面的最高高度为98米C．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30D．当41≤t≤53时，高度h(米)随时间t(秒)的增大而增大√解析：A．结合题中图象，当t＝41时，h＝15，故该选项正确，不符合题意；B．结合题中图象，这60秒内，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意；C．在0≤t≤60范围内，当过山车的高度是80米时，t的值有3个，故该选项错误，符合题意；D．当41≤t≤53时，高度h(米)随时间t(秒)的增大而增大，故该选项正确，不符合题意．故选C．1．(2025·西宁三模)象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞·招魂》中就有“菎蔽象棋，有六簙些”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对弈图(部分)，若棋子“帅”表示点(0，－3)，棋子“仕”表示点(－1，－3)，则棋子“马”所在点的坐标是____________________________________________________．数学文化、新定义2．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10)，经过第2次运算得到点(10，5)，以此类推．则点(1，4)经过2024次运算后得到点________．解析：点(1，4)经过1次运算后得到点(1×3＋1，4÷2)，即为(4，2)，经过2次运算后得到点(4÷2，2÷1)，即为(2，1)，经过3次运算后得到点(2÷2，1×3＋1)，即为(1，4)，……发现规律：点(1，4)经过3次运算后得到的点还是(1，4)．因为2024÷3＝674……2，所以点(1，4)经过2024次运算后得到点(2，1)．答案：(2，1)√√解析：上坡路速度慢，那么上坡阶段随着时间的推移，s逐渐变大；下坡路速度较快，那么下坡阶段随着时间的推移，s逐渐变大，且变大的速度比上坡阶段的快，即对应的函数图象更陡，所以四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意．√√图1图25．(2025·海东一模)光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在0℃至50℃的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度(单位：℃)对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是(

)A．草莓的光合作用产氧速率先增大后减小B．当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大D．草莓中有机物积累最快时的温度约为35℃解析：由题图，可知草莓的光合作用产氧速率曲线先升后降，故A正确；当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，故B正确；由题图可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故C不正确；当温度约为35℃时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时有机物积累最快，故D正确．故选C．√6．(2024·河南)把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象如图1，插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象如图2．下列结论中错误的是(

)A．当P＝440W时，I＝2AB．Q随I的增大而增大C．I每增加1A，Q的增加量相同D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多解析：由题图1，得当P＝440W时，I＝2A，A正确；由题图2知，Q随I的增大而增大，B正确；根据焦耳定律Q＝I2Rt(R为电源线电阻，t为时间，且R，t不变)，Q是关于I的二次函数，二次函数图象是抛物线，其增长速度是变化的，即I每增加1A，Q的增加量是不同的，C错误；因为P越大，I越大；I越大，Q越大，所以P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，D正确．√9．(2024·银川一模)如图，把“QQ”笑脸放在平面直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(－2，3)，右