第5节一元二次方程不等式课件-高三数学三轮复习

数学第5节一元二次方程、不等式目录123基础满分练课前

自检自测·夯基固本能力高分练课中关键能力·可视思维素养提升练课中高考定向·捕捉热点基础

满分练

课前

自检自测·夯基固本四个高考关键点关键点1一元二次不等式的解法1.(人教A版必修第一册教材习题改编)不等式-x2+3x+10>0的解集为(

)[命题点❶]A.{x|-2<x<5} B.{x|x<-2或x>5}C.{x|-5<x<2} D.{x|x<-5或x>2}A2.(人教B版必修第一册教材习题改编)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(

)[命题点❶]A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m}C.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m<x<n}B解析:不等式变形为(x-m)(x+n)<0,方程(x-m)(x+n)=0的两根为m,-n,显然由m+n>0得m>-n,所以不等式的解集为{x|-n<x<m}.3.若a∈R,则关于x的不等式4x2-4ax+a2-1<0的解集为

.[命题点❶]

关键点2三个二次之间的关系4.(湘教版必修第一册教材习题改编)已知不等式x2+ax+b<0的解集为(-3,-1),则实数a=

,b=

.[命题点❷❸]43

-14

关键点3分式不等式的解法

BC

A

关键点4不等式恒成立问题8.(人教A版必修第一册教材习题改编)若关于x的不等式x2-2ax+18>0恒成立,则实数a的取值范围为

.[命题点❶❷]

(-3,0)

回归教材•考教衔接1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.2.三个“二次”间的关系[❶]判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x>x2,或x<x1}{x|x≠}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀3.三个“二次”联系与要点[❷](1)联系:二次函数图象决定一元二次方程的根和一元二次不等式解集,判别式Δ是关键桥梁.(2)易错点:忽略二次函数图象开口方向(a的符号),当a<0时需转化为a>0并改变不等号方向.(3)易混点:注意当Δ=0时,解集是否含端点.(4)关注点:数形结合分析,优先画图辅助判断解集范围.4.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解集[❸]不等式(x-a)(x-b)>0(x-a)(x-b)<0解集a<b{x|x<a,或x>b}{x|a<x<b}a=b{x|x≠a}⌀a>b{x|x<b,或x>a}{x|b<x<a}

能力高分练课中关键能力•可视思维考点1一元二次不等式的解法命题视角:聚焦一元二次方程根的判别式、二次函数开口方向及参数分类讨论,分式不等式注重等价变形与符号分析.角度1不含参的一元二次不等式的解法

ABD

对点训练1

不等式-1<x2+2x-1≤2的解集是

.

{x|-3≤x<-2或0<x≤1}

角度2含参一元二次不等式的解法

例2

若a>0,解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4<0.

变式探究

(原创)本例中,若“a>0”改为“a∈R”,再解不等式.

对点训练2

(原创)设函数g(x)=kx2+(1-k)x+k-2(k∈R).(1)若k=2,求g(x)<0的解集;(2)解关于x的不等式g(x)<k-1.

解题思维路径解题思维路径能力要语1.定类型:首要讨论二次项系数,为零时化为一元一次不等式,不为零时再按一元二次不等式求解.2.判根况:计算判别式,根据其符号确定对应方程根的存在性与图象形态.3.比大小:若有根,需依据参数范围比较两根大小,结合开口方向,最终分类写出解集.考点2三个“二次”之间的关系

ACD

对点训练3

(多选)已知关于x的不等式a(x+1)(x-3)+1>0(a≠0)的解集是(x1,x2)(x1<x2),则下列结论正确的是(

)A.x1+x2=2 B.x1x2<-3C.-1<x1<x2<3 D.x2-x1>4ABD

解题思维路径考点3一元二次不等式的恒成立问题角度1命题视角:聚焦二次函数图象分析,结合判别式、最值与区间端点,考查参数分类讨论与转化思想,强调数形结合与逻辑的严密性.在R上的恒成立问题

例4

若不等式kx2+(k-6)x+2>0的解为全体实数,则实数k的取值范围是(

)A.[2,18] B.(-18,-2) C.(2,18) D.(0,2)C

B

角度2在给定区间上的恒成立问题

例5(2025·陕西西安模拟)若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是(

)A.(-∞,-3] B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,1]A解析:当x∈[-1,2]时,不等式x2-2x+a≤0恒成立等价于a≤-x2+2x恒成立,则由题意,得a≤(-x2+2x)min(x∈[-1,2]).而-x2+2x=-(x-1)2+1,则当x=-1时,(-x2+2x)min=-3,所以a≤-3.故选A.对点训练5

(2025·辽宁铁岭协作校调研)已知∀x∈[1,2],∀y∈[2,3],y2-xy-mx2≤0,则实数m的取值范围是(

)A.[4,+∞) B.[0,+∞) C.[6,+∞) D.[8,+∞)C

角度3给定参数范围的恒成立问题

例6

若不等式x2+px>4x+p-3,当0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是(

)A.[-1,3] B.(-∞,-1]C.[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)D

解题思维路径解题思维路径解题思维路径素养提升练课中高考定向•捕捉热点命题趋势1:重点考查二次函数图象特征(开口、对称轴、最值)与不等式解集的动态关联.1.(2025·浙江阶段练习)对于一个函数:当自变量x取a时,其函数值等于2a,则称a为这个函数的H数.若二次函数y=ax2+4x+c(a,c为常数且a≠0)有且