函数的极值课件-高二数学人教A版选择性

5.3.2函数的极值第五章一元函数的导数及其应用学习目标1.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.2.初步掌握求函数极值的方法．

3.体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．

观察图(1),我们发现,t=a时,高台跳水运动员距水面的高度最大.那么,函数h(t)在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地,导数的符号有什么变化规律?

思考1.在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢?观察图象，探究新知：xyOab(1)放大t=a附近的图象,如图(2)所示.(2)由图可以看出,h′(a)=0;在t=a的附近,

当t<a时，函数h(t)单调递增，h′(t)>0;

当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0.

这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.思考2.对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢?

xyOabcde

1.函数的极值

(1)b(2)

1.函数的极值极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.注意：在下结论时一定要说明是极大值(点)还是极小值(点).

abxyx1Ox2x3x4x5x6课本P92

解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)xyO-22

单调递增单调递增单调递减

求可导函数f(x)极值的步骤：

(3)

把定义域划分为部分区间，并列成表格：

如果左负右正（左减右增），

那么f(x)在这个根处取得极小值即“谷底”

思考3.

极大值一定大于极小值吗?Oax1x2x3x4bxyy=f(x)不一定，如图中在x1处的极大值就小于x4处的极小值.思考4.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

必要备注1.极值点不是真正意义上的点(与零点类似).2.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.在整个定义域内函数可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定大于极小值.3.函数定义域的端点一定不是函数的极值点.4.极值点附近两侧的单调性相异，即若函数在某区间上有极值，则函数在该区间内一定不是单调函数，也就是说定义区间上的单调函数没有极值.

注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例2.

判断下面4个命题，其中是真命题序号为

.

①可导函数必有极值；

②可导函数在极值点的导数一定等于零；

③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；

④函数的极小值（或极大值）不会多于一个.②

D课本P92

解：∵f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，解得a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)>0，可得x<－1或x>1；由f′(x)<0，可得－1<x<1.由图象可知，当－3<m<1时，直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点.∴m的取值范围是(－3，1).∴f(x)极大值＝f(－1)＝1，f(x)极小值＝f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示，

－2或2

.解：(1)由图像可知

解：(1)由已知f′(x)＝3x2＋a，由f′(1)＝0，得a＝－3.(2)由(1)得f′(2)＝9，f(2)＝4，∴切点坐标为(2,4)，切线斜率为9.∴y＝f(x)在x＝2处的切线方程为9x－y－14＝0.

（1）a=3，b=－12；(2)极大值ƒ(－2)=21，极大值ƒ(1)=－6．

1.函数的极值

(1)b