专题21方程思想(与勾股定理相关)

第二部分思想方法专题篇(全程突破)专题21方程思想(与勾股定理相关)

解：设BC＝x，则由题意可知

∴x＝2，即BC＝2.2.

运用单勾股列方程求解如图，在平面直角坐标系中，将长方形AOCD沿直线AE

折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的

点F处，已知点D的坐标为(10，8)，求点E的坐标.解：AF＝AD＝10，AO＝8.∴Rt△AOF中，OF＝6，FC＝OC－OF＝10－6＝4，设EC＝a，在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2.∴a2＋42＝(8－a)2，∴a＝3，∴E(10，3).解：AF＝AD＝10，AO＝8.∴Rt△AOF中，OF＝6，FC＝OC－OF＝10－6＝4，设EC＝a，在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2.∴a2＋42＝(8－a)2，∴a＝3，∴E(10，3).3.

运用双勾股列方程求解.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BC＝14，AC＝

13，AB＝15，求CD的长.解：设CD＝x，则BD＝14－x.∵AB2－BD2＝AC2－CD2，∴152－(14－x)2＝132－x2，∴x＝5，即CD＝5.解：设CD＝x，则BD＝14－x.∵AB2－BD2＝AC2－CD2，∴152－(14－x)2＝132－x2，∴x＝5，即CD＝5.

解：设AC＝x，则BC＝x，

∴x＝3，即AC＝3.5.

如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，

将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为

MN，求线段BN的长.

解：∵点D是BC的中点，BC＝6

设BN＝x，则DN＝AN＝9－x在Rt△BDN中，∠B＝90°∴DN2－BN2＝BD2，∴(9－x)2－x2＝32解得x＝4，∴BN＝46.

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BC＝4，AC＝

13，AB＝15，求CD的长.解：AD⊥BC于点D，设CD＝x.∵AC2－CD2＝AB2－BD2，∴132－x2＝152－(4＋x)2，∴x＝5，即CD＝5.解：AD⊥BC于点D，设CD＝x.∵AC2－CD2＝AB2－BD2，∴132－x2＝152－(4＋x)2，∴x＝5，即CD＝5.7.

如图，在长方形ABCD中沿直线BD折叠，使点C落

在点E处，BE交AD于点F，BC＝8，AB＝4，求DF的

长.解：设DF＝x，由翻折性质得，∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴BF＝DF，∵AD＝8，∴AF＝8－DF.

在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，∴42＋(8－DF)2＝DF2，解得DF＝5.解：设DF＝x，由翻折性质得，∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴BF＝DF，∵AD＝8，∴AF＝8－DF.

在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，∴42＋(8－DF)2＝DF2，解得DF＝5.8.

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点

D，BD＝2，AD＝8，求CD的长.解：设CD＝x，在Rt△ACD中，AC2＝CD2＋AD2＝x2＋82，在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝x2＋22，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴x2＋82＋x2＋22＝102，解得x＝4，∴CD＝4.解：设CD＝x，在Rt△ACD中，AC2＝CD2＋AD2＝x2＋82，在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝x2＋22，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，∴x2＋82＋x2＋22＝102，解得x＝4，∴CD＝4.9.

如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正

方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为

AF.

若AD＝4cm，求CF的长.

解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4－x.

根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，

在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝(4－x)2＋22，

解：证△EGF≌△EDF，设

DF＝GF＝x，CF＝CD－DF＝6－x，BF＝BG＋GF＝6＋x

∴x＝4，即DF＝4.

解：设CD＝BD＝x，在△ACD中，AC2＋x2＝132①，

由②－①得x＝5.

∴AC＝12.

解：过A点作AB⊥FC于B延长CB至M使得BM＝DE.

∵∠D＝∠C＝∠ABC＝90°∴四边形ABCD是矩形又∵AD＝DC，∴四边形ABCD是正方形又∵∠EAF＝45°，∴∠1＋∠2＝45°∵AB＝AD，∠D＝∠ABM，BM＝DE∴△ADE≌△ABM∴AM＝AE，∠3＝∠2，∴∠1＋∠3＝45°，即∠MAF＝45°

∴∠MA