23.3.4相似三角形的应用（教学课件）数学华东师大版九年级上册

华东师大版·九年级上册23.3相似三角形

23.3.4相似三角形的应用

第二十三章

相似三角形

学

习

目

标123能利用相似三角形的性质解决实际问题，如测量物体高度、两地距离等，掌握利用相似三角形解决问题的一般方法和步骤。通过实际问题的探究，经历“实际问题-建立模型-求解验证”的过程，培养学生的建模思想和逻辑推理能力。体会数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。复习回顾相似三角形的判定方法（1）定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似（2）平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三角形与原三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（5）两角分别相等的两个三角形相似复习回顾相似三角形的性质对应角相等，对应边成比例。对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比。面积的比等于相似比的平方。知识导入在生活中，我们经常会遇到一些不能直接测量的物体高度（如金字塔的高度）或两地距离（如河的宽度），如何利用我们所学的数学知识来解决这些问题呢？新知探究探究1探究利用相似三角形测量物体高度问题1：古代数学家是如何利用相似三角形测量金字塔高度的？抽象出数学模型金字塔的高度木棒太阳光线太阳光线太阳光线可以看作是平行光线12所以∠1=∠2¬¬34∵∠3=∠4构造相似三角形利用相似三角形的性质解决实际问题典例解析探究1探究利用相似三角形测量物体高度例6古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图23.3.16,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′=1米,A′B′=2米,AB=274米,求金字塔的高度OB。解析：1.证△OAB∽△O′A′B′

3.代入数值，计算出OB典例解析探究1探究利用相似三角形测量物体高度例6

古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法:如图23.3.16,为了测量金字塔的高度OB,先竖一根已知长度的木棒O′B′,比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB,即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′=1米,A′B′=2米,AB=274米,求金字塔的高度OB。解题过程：解：∵太阳光线是平行线，∴∠OAB=∠O’A’B’，∵∠ABO=∠A’B’O’=90°，∴△OAB∽△O′A′B′，

答：金字塔的高度OB为137米。新知探究探究1探究利用相似三角形测量物体高度归纳与小结利用相似三角形测量物体高度的一般步骤：1.构建相似三角形模型。2.证明两个三角形相似。3.根据相似三角形对应边成比例列方程。4.代入已知数据求解。新知探究探究2探究利用相似三角形测量两地距离如何利用相似三角形估算河的宽度？问题2：典例解析探究2探究利用相似三角形测量两地距离例7如图23.3.17,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然后,再选定点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=118米,DC=61米,EC=50米,求河的宽度AB.(精确到0.1米)解析：1.∠ADB=∠EDC（对顶角相等）∠ABD=∠ECD=90°（垂直定义）∟∟2.由两角分别相等判定△ABD∽△ECD

4.代入数值计算AB的宽度。典例解析探究2探究利用相似三角形测量两地距离例7如图23.3.17,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和C,使AB⊥BC,然后,再选定点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD=118米,DC=61米,EC=50米,求河的宽度AB.(精确到0.1米)解题过程：∟∟解：∵∠ADB=∠EDC∠ABD=∠ECD=90°∴△ABD∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似）

答：河的宽度AB约为96.7米。典例解析探究2探究利用相似三角形测量两地距离归纳与小结利用相似三角形测量两地距离的方法与测量物体高度类似，都是通过构建相似三角形模型，利用相似三角形的性质列方程求解。典例解析探究3探究利用相似三角形证明线段乘积关系如图23.3.18,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,且∠ADE=∠C.求证:AD·AB=AE·AC.问题3：例8证明：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A∴△ADE∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）

∴AD∙AB=AE∙AC∙典例解析探究3探究利用相似三角形证明线段乘积关系归纳与小结利用相似三角形可以证明线段之间的乘积关系，通常是先证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质进行推导。课堂练习1.小明的身高是1.6m，他的影长是2m，同一时刻学校旗杆的影长是10m，则旗杆的高是___m. 2.如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高___m(杆的粗细忽略不计). 84课堂练习3.如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度.已知人的站位点A、镜子O、树底B三点在同一水平线上，眼睛距地面的高度为1.6m，OA＝2.4m，OB＝6m，则树的高度为___m. 4课堂练习4.如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4m宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE＝5m，窗口高AB＝2m，那么窗口底边离地面的高BC＝_____m.2.5课堂练习5.如图，A，B两点间有一湖泊，无法直接测量，已知CA＝60米，CD＝20米，DE＝15米，DE∥AB，求AB长.解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB.∴AB＝45米.∴

.课堂练习6.如图，身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的点C处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，求路灯的高度AB.解得AB＝4.8.∴路灯的高度AB为4.8

m.解：依题意，得.课堂练习7.李老师带领学生去测量教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.8m的冯同学BC的影长BA为1.2m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为14m，如图所示.请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的高度.解得DE＝21.∴教学楼高21m.解：依题意，得

.课堂练习8.如图，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如果木杆EF长2m，它的影子FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.解：依