（贵州一模）贵州省2026年4月高三年级适应性考试数学试卷（含标准答案）

后附原卷扫描版后附原卷扫描版2026年4月高三年级适应性考试数学2026.4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将姓名、准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z=1+2i,则|z|=A.0 B.1C.5 D.32.已知命题p:∀x＞0,log₂x＞0;命题q:∃x＜0,|x+1|＞1.则A.p和q都是真命题 B.-p和q都是真命题C.p和￢q都是真命题 D.-p和￢q都是真命题3.已知样本数据x1,x2,⋯,x10的平均数为2，方差为3，设A.x=2 C.s2=7 4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，fx=x2+A.-2 B.1C.-1 D.2数学试卷第1页(共4页)5.如图，已知两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且(CM=BN=a(0＜a＜2).当A.12 B.0C.22 D.6.已知函数fxA.函数f(x)有3个零点 B.曲线y=f(x)存在一条对称轴C.函数f(x)有3个极值点 D.曲线y=f(x)的对称中心在x轴上7.已知m＞13,n＞1,且3mn-3m-A.2 B.4C.23 D.8.设F₁,F₂是椭圆C:x2a2+y2b2=1abA.33 C.13 D.二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fxA.f(x)的最小正周期为3πB.f(x)图象的一条对称轴是5C.f(x)在区间(0,2π)上有6个零点D.f(x)图象的一个对称中心是(π,0)数学试卷第2页(共4页)10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A，B分别作直线l：x=-1的垂线，垂足分别为D，HA.|AE|=|AB| B.EF⊥ABC.|AB|·|EF|≥8 D.EA⊥EB11.已知数列{an}满足a1=1,a2=4,nan+1=λn+1an,n∈A.λ=2 B.aC.an=n⋅2n-第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量a=(1,x),b=(2,1)若a⊥b,则x=.13.已知△ABC内接于单位圆,且(1-tan.4)(1-tanB)=2,则△ABC面积的最大值是.14.一个圆锥的底面半径为r，高为h，且圆锥表面积为S，体积为V.设k=hr,则当k=时,S四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本题满分13分)设等比数列{an}的前n项和为Sn，首项为a₁，公比为q.(1)请推导前n项和公式Sn；(2)是否存在常数c，使得{Sn+c}是等比数列?若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.16.(本题满分15分)如图所示，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB,DC=EB=1,AB=4.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当C点为半圆的中点时,求面DAE与面AEB所成的二面角的正弦值.数学试卷第3页(共4页)17.(本题满分15分)已知椭圆C：x2a2－y2b2=1（a＞(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)点P在椭圆C上(异于椭圆C的顶点)，直线A₂P交y轴于点Q，若△A1PQ的面积是△A(i)求直线A₂P的方程.(ii)若直线A₂P与抛物线E:y2=8x交于A，B18.(本题满分17分)甲、乙两选手进行象棋比赛，设每局比赛甲获胜的概率为p(0＜p＜1)，乙获胜的概率为1-p.(1)若采用3局2胜制，设p=0.6，求甲最终获胜的概率；(2)设p≥0.5，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?(3)设在2n-1(n≥2,n∈N*)局n胜制中,甲最终获胜的概率为f(p).试求出函数f(p)图象的对称中心，并推导f(p)的解析式.19.(本题满分17分)已知函数f(x)=(x-1)lnx.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a，b为两个不相等的正数，且lnaa-lnb数学试卷第4页(共4页)2026年4月高三年级适应性考试数学答案题号1234567891011答案CBDABADCBCBCDACD12.-213.14.22 7215.解(1)证明:显然a1≠0,q≠0.当q=1当q≠1时, Sn=Sn=用公比q乘①的两边，得qSn①-②,得Sn-qS所以S综上，S 6分(2)当q=1时,Sn=na1.显然不存在常数当q≠1时,S令c=-a11-q=a因为Sn+1+cS因此，当q≠1时，存在常数c=a1q-1 13分16.解:(1)证明:∵AB是直径,∴BC⊥AC,∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥BC∵AC∩CD=C,∴BC⊥平面ACD∵CD∥BE,CD=BE∴四边形BCDE是平行四边形,则BC∥DE∴DE⊥平面ACD∵DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD 7分(Ⅱ)解：依题意，以C为坐标原点，CA.CB，CD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0),A(22,0,0)。B(0,22,0),E(0,22,1),D(0,0,1),AB设平面DAE的一个法向量为m=x{m·DA→令x1=1设平面ABE的一个法向量为n={n·AB→令x2=1,,得n=(1,∴cos∴面DAE与面AEB所成的二面角的正弦值1 15分17.解:(1)由题意得{a+c=3a-c=1,解的a=2,c所以椭圆方程为x24+ 5分(2)(i)由题意得，直线A₂P斜率存在。有椭圆方程为x24+y23=1可得A₂(2,0)设直线A₂P方程为y联立方程组{x243有韦达定理得xA2⋅xP所以P8所以SS2∣yQk=±62,所以直线A₂P 10分(ii)由题意知抛物线y2=8x的焦点坐标为A₂(因为A₂P方程为y=62x-2,则A₂P过焦点A₂设直线A₂P与抛物线交于A，B两点，分别过A，B两点和|AB|的中点N作抛物线y2=8x的准线l的垂线，垂足分别为P，M，Q，由抛物线定义知：∣AP∣=∣AA2∣,∣BA2∣=∣BQ∣,且MN为梯形ABQP的中位线，∴A,B,M三点共圆,且MN⊥l,∴以|AB|长为直径的圆与抛物线的准线相切.(A₂P方程为y=-6 15分18.解：(1)采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为P 5分(2)若采用3局2胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为P若采用5局3胜制，甲最终获胜，至少需要比赛3局：若是3局，则其胜局的情况是：“甲甲甲”.若是4局，则第4局甲胜，前3局甲胜2局，有(C3若是5局，则第5局胜，前4局胜2局，有(C4因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为P作差+因式分解P当p＞12时，P2＞P故当p＞12时，对甲来说采用5局3胜制为有利.当p= 11分(3)甲最终获胜的概率为f(p).考虑选手乙，其每局获胜概率为1-p.在相同赛制下，乙最终获胜的概率为f(1-p).由于比赛必有唯一获胜者，故f(p)+f(1-p)=1.特别地，取p=12,得2因此，点1212是函数f在2n-1胜制中，甲需先赢得n局.比赛最多进行2n-1局.甲在第k局(n≤k≤2n-1)获胜的条件是：前k-1局中甲恰好赢了n-1局，且第k局甲赢.因此，f易知f(p)是p的多项式.进一步，将f(p)写成多项式形式：f其中b₁为系数.由于p=1时甲必胜，即f(1)=1，代入得i=n注意到幂次从n到2n-1共有n项.令aifp=i=综上，f(p)的解析式写成以下三种形式：f或fp=i=n或fp=i= 17分19.解:1)因为f'x=lnx+x-1x,且0＜x＜1时f'(x)＜0,当x＞1时f'(x)＞0,所以f(x 5分2令x1=1a,x故问题等价于证明：2不妨设x1＜x先证明左边：x证明:设F(x)=f(x)-f(2-x),0＜x＜1.则F因为x∈(0,1),于是F=所以F'(x)在(0,1)上单调递增,故F'(x)＜F'(1)=0,从而F(x)在(0,1)上单调递减,所以F(x)＞F(1)=0,即f(x)＞f(2-x).又x1∈01,且又因为x2＞1,2-x所以x2＞2 11分再证明右边不等式：x证明：有x1-1lnx1令lnx=t,⇒gt=te当t2≥2下面讨论