《空间解析几何》课件 第三章 曲面与空间曲线

第三章

曲面与空间曲线§3.1柱面坐标和球面坐标§3.3柱面§3.2曲面与空间曲线方程§3.4锥面§3.7直纹面§3.5旋转曲面§3.6特殊二次曲面本章所取坐标系均为直角坐标系

§3.1柱面坐标和球面坐标一、柱面坐标二、球面坐标称有序数组r、θ、z为P的柱面坐标.

设点P坐标为(x,y,z)，则其定位向量

坐标为{x,y,z}.

点

是P在xOy面上的投影点，其在xOy面上的极坐标为r、θ.一、柱面坐标柱面坐标与点的对应关系称为柱面坐标系.柱面坐标与直角坐标的关系是其中我们称上述圆柱面、半平面、平面为柱面坐标系的坐标面.圆柱面；半平面；平面．ρ：点P到原点O的距离，θ：方位角，P在xOy面上的投影点

的极角.φ：仰角，

与z轴正向的夹角，有序数组ρ、φ

、θ为点P的球面坐标.球面坐标与点的对应关系称为球面坐标系.二、球面坐标球面坐标与直角坐标的关系是我们称上述球面、圆锥面、半平面为球面坐标系的坐标面.球面；圆锥面；半平面．其中例1

把直角坐标系下的平面方程x+y+z+1=0分别化成柱面坐标系和球面坐标系下的方程.

解

将直角坐标与柱面坐标的关系代入平面方程得

即

将直角坐标与球面坐标的关系代入平面方程得即

§3.2曲面和空间曲线方程一、曲面方程三、空间曲线的一般方程二、曲面的参数方程四、空间曲线的参数方程单位球面：半径为1的球面.球面方程：

在直角坐标系下，设球心

，半径为r,称之为球面的标准方程.一、曲面方程则空间任意点P(x,y,z)在球面上当且仅当其满足其中

且将球面的标准方程展开可得(2)可改写成即称满足以上不等式的(3)为球面的一般方程.特点：(1)是关于x、y、z的三元二次方程;(2)二次项中

的系数都等于1且不含关于x、y、z的交叉项xy、yz、xz.

定义3.2.1

在直角坐标系中，如果一张曲面S与一个三元方程F(x,y,z)=0满足如下关系：(1)曲面S上任何一点都满足F(x,y,z)=0；(2)满足F(x,y,z)=0的点都在曲面S上.则称F(x,y,z)=0为S的方程，且称S为F(x,y,z)=0表示的图形.注1：曲面S的方程F(x,y,z)=0有时候也写成z=f(x,y),此时z是关于x,y的二元函数，即说明二元函数对应的几何图形就是一张曲面.注2：定义中的(1)、(2)缺一不可.例1

在空间直角坐标系下，点A和点B坐标分别为(1,2,3)、(2,-1,4)，求到它们距离相等的点构成的曲面方程.解

设空间任意点的坐标为(x,y,z)，其在所求曲面上当且仅当即曲面方程为2x-6y+2z-7=0.二、曲面的参数方程且

所以以原点为球心的单位球面上的点满足原点为球心的单位球面的参数方程点的直角坐标与球面坐标的关系且

所以以原点为球心的单位球面上的点满足满足(3)的点也满足x2+y2+z2=1,即他们在原点为球心的单位球面上.称式(3)为该球面的参数方程.

球面的参数方程含有两个参数.一般地，刻画一个三元方程F(x,y,z)=0，需要两个参数.

定义3.2.2

在直角坐标系中，当参数

取完一切可能取值时，以满足下面方程的点与曲面S上的点一一对应，则称上述方程为曲面S的参数方程.注:

曲面的参数方程不唯一，如下面例子.例：直角坐标系下的方程以下均为其参数方程(2)(1)称为空间曲线的一般方程.三、空间曲线的一般方程

以下联立两个曲面方程的方程组注：空间曲线的一般方程并不唯一.例2在直角坐标系下，求xOy面上圆点为圆心，半径为1的圆的方程.解

所求的圆在以原点为球心的单位圆上，又在xOy面上，因此圆的方程为上述方程组与等价.所以上面方程组也可以作为所求圆的方程.四、空间曲线的参数方程例2中圆的一般方程为

球面

的参数方程为与z=0联立，可得例2中曲线上点的坐标均为θ的一元函数.将其化为参数方程：

定义3.2.3

在直角坐标系中，当参数t取完一切可能取值时，满足以下方程的点与曲线L上的点一一对应，则称上式为曲线L的参数方程.

经过t时间，运动到M点.例2

设某动点一方面绕着z轴做恒定角速度的圆周运动，另一方面做平行于z轴的匀速直线运动，求该动点的轨迹方程.解

取时间t为参数，动点从A点出发，

经过t时间，运动到M点.例2

设某动点一方面绕着z轴做恒定角速度的圆周运动，另一方面做平行于z轴的匀速直线运动，求该动点的轨迹方程.解

取时间t为参数，动点从A点出发，

称其为圆柱螺旋线.记

，则以上参数方程可化为其中.

进一步，消去参数可以得到圆柱螺旋线的一般方程称其为圆柱螺旋线.二、柱面的方程

§3.3柱面

一、柱面的概念三、特殊的柱面四、空间曲线的射影柱面

给定空间两平行直线l1和l2，把l2绕着l1旋转一周形成的曲面叫作圆柱面，其中l1称为对称轴.说明：圆柱面也可以看成是由l2沿着纬圆平行于对称轴l1移动形成.纬圆：l2上任意点绕对称轴旋转得到的圆.圆柱面

定义3.3.1

给定空间直线l和曲线C，把l沿着C平行移动形成的曲面叫作柱面，其中l称为柱面的母线，C称为柱面的准线.一、柱面的概念母线准线注1：柱面的母线不唯一，所有与母线平行的直线都可以作为母线.注2：准线也不唯一，与柱面的母线都相交的任意曲线都可以作为准线.注3：当准线和母线的方向给定，柱面就是确定的.设

和准线C的交点为

，从而

在空间直角坐标系下，设柱面S的母线l的方向向量的坐标为{m,n,p}，准线C的方程为二、柱面的方程设P(x,y,z)为空间上任意一点，则CP在S的某条母线

上母线

与准线C的交点的坐标是(x(u),y(u),z(u)).

设柱面的准线C的参数方程从而可得柱面的参数方程为例1

在空间直角坐标下，柱面的母线的方向向量的坐标为{-1,0,1}，柱面的准线的方程为,求柱面的方程.解

任取柱面上一点P(x,y,z)，其所在母线与准线交点为

，则，代入得消去参数t，并化简得所求柱面方程:于是如果知道圆柱面上得点到对称轴的距离为r，则

圆柱面方程

设圆柱面的对称轴l的方程为,有

为l上定点，

为l方向向量.在圆柱上例2在空间直角坐标系下，圆柱面的对称轴l的方程是

纬圆半径是2，求其方程.解

由条件知，对称轴的方向向量

，且经过原点O.任取圆柱面上点P(x,y,z)得直接计算有再由(1)式有满足式(2)的点在xOy面上的投影点在C上.于是满足(2)的点在S上.

考虑空间直角坐标系下的方程圆柱面S上的点均满足式(2).

设xOy面上以原点为圆心的单位圆为C，以C为准线平行于z轴的方向作为母线方向，得圆柱面S.zxyo表示的图形.三、特殊的柱面

类似地，方程

在空间分别表示的图形是分别称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，母线平行于z轴.

他们的准线方程如下所示zxyzxyOzxyo

定理3.3.1

在空间直角坐标系下，如果关于x、y、z的三元方程只含其中两个坐标，则该方程表示柱面，且母线平行于缺失坐标同名的坐标轴.

设空间曲线L的一般方程为消去z得只含x、y的方程四、空间曲线的射影柱面式(4)表示母线平行于z轴的柱面,也就是说该柱面垂直于xOy面，称其为L对xOy面的投影柱面.称为L在xOy面上的投影曲线，简称投影.投影柱面与xOy面的交线

同理可得L在xOz面或yOz面上的投影柱面和投影.例3

在空间直角坐标系下，空间曲线L的方程是分别求其对三个坐标面的投影.解

对曲线方程分别消去x、y、z得因此L在xOy面、yOz面、xOz面上的投影分别是§3.4锥面

一、锥面的概念

二、锥面的方程

三、齐次函数

设l₁和l₂是空间两条相交但不垂直的直线，l₂绕l₁旋转一周形成的曲面叫作圆锥面,

l₁叫作对称轴，l₂叫作母线.母线对称轴顶点

l₁与l₂的交点叫作顶点；它们之间的夹角叫做半顶角.

l₂上任意点绕着对称轴旋转得到的圆叫做纬圆.说明：圆锥面也可以看作是通过顶点且与某一定纬圆相交的直线族形成的曲面.圆锥面

顶点P准线母线说明：锥面的准线、母线不惟一。

定义3.4.1

给定空间曲线C和曲线外一点P,则把通过P且与C相交的直线族形成的曲面叫作锥面.顶点：点P.准线：曲线C.母线：过P且与C相交的任一直线称为锥面的.一、锥面的概念

设

和准线C的交点为

，于是P在S的某条母线

上.

在空间直角坐标系下，设锥面S的顶点A的坐标为(a,b,c)，准线C的方程为

设空间任意点P的坐标是(x,y,z)，则二、锥面的方程

例1

在空间直角坐标系下，设顶点A(4,0,-3),准线C的方程为求锥面S的方程.解

设空间点P(x,y,z)，则P在S上当且仅当

消去x、y、z得圆锥面方程特点：任一母线与对称轴的夹角都等于半顶角.

设

为圆锥面的顶点，

是轴的方向向量，则M(x,y,z)在圆锥面上解

由条件知，对称轴方向向量

的坐标为{2,2,-1}.点P(x,y,z)在锥面上当且仅当向量

与

的夹角等于30o或150o.例2在空间直角坐标系下，设顶点A(1,2,3)，对称轴与平面2x+2y-z+1=0垂直，半顶角为30o,求圆锥方程.即圆锥方程为从而

定义3.4.2

设k、t是实数，如果三元函数f(x,y,z)满足则称f(x,y,z)为k次齐次函数，方程f(x,y,z)=0为k次齐次方程.三、齐次函数

证

设O为坐标原点,非原点P坐标为,f(x,y,z)=0为k次齐次方程.

则将过O和P的直线的参数方程如果P的坐标满足

定理3.4.1

在空间直角坐标系下，三元k次齐次方程表示顶点在原点的锥面，其中k≠0.代入f(x,y,z)=0得

于是，以原点为顶点，过O和P的直线为母线的锥面S上的点均满足齐次方程f(x,y,z)=0.说明:

当齐次方程f(x,y,z)=0只表示一个原点,称其为具有实顶点的虚锥面.如

反之，显然满足方程f(x,y,z)=0的点也在锥面S上.

定理3.4.1

在空间直角坐标系下，三元k次齐次方程表示顶点在原点的锥面，其中k≠0.证

一、旋转曲面的概念二、旋转曲面的方程§3.5旋转曲面

三、特殊的旋转曲面一、旋转曲面的概念

定义3.5.1一条空间曲线

绕着定直线l旋转一周所生成的曲面S称为旋转曲面.

l一、旋转曲面的概念

定义3.5.1一条空间曲线

绕着定直线l旋转一周所生成的曲面S称为旋转曲面.

Sll称为旋转曲面的旋转轴.

称为旋转曲面的母线.

纬圆SlM经线说明1:

旋转曲面可以看成是由所有纬圆构成.

经过旋转轴且以旋转轴为边界的半平面与旋转曲面的交线称为经线.说明2：任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线.

母线上一点绕旋转轴旋转一周的圆称为纬圆.点P(x,y,z)在旋转曲面S上设旋转曲面的母线

，设纬圆与母线的交点为

，

l旋转轴为直线l:二、旋转曲面的方程纬圆从而

例1

在空间直角坐标系下，求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程解

设P1(x1,y1,z1)为母线l1上任意一点，则过点P1的纬圆方程为且有则代入上式消去t得

即与母线的交点是

,则y轴方向向量

且经过原点，如果在S上任取一点的坐标是(x,y,z)

，坐标面上的曲线绕该坐标面上的某坐标轴旋转.三、特殊的旋转曲面Γ

给定yOz面上曲线

绕y轴旋转得曲面S其所在纬圆

只需将曲线Γ一般方程中的那个二元方程里的与旋转轴同名的坐标保留，然后用其余两坐标平方和的正负平方根代替方程中的另一个坐标.规律：如：xOz面上的曲线

绕x轴旋转得到旋转曲面方程是

对于椭圆1.绕x轴旋转的旋转，则曲面的方程为:上述统称为旋转椭球面.2.绕y轴旋转的旋转，则曲面的方程为:单叶旋转双曲面双叶旋转双曲面yzoxb

对于双曲线2.绕y轴旋转,1.绕z轴旋转,则曲面的方程为：则曲面的方程为：旋转抛物面xyzoxyzo

对于抛物线绕z轴旋转,所得旋转曲面的方程为：例1

在空间直角坐标系下，求xOz面上的圆解

绕z轴旋转,zyOxab即环面绕z轴旋转所得的曲面方程.所得的曲面方程为§3.6特殊二次曲面

二、椭球面

三、单叶双曲面

四、双叶双曲面

一、二次曲面的概念

五、椭圆抛物面

六、双曲抛物面

在空间直角坐标系下，三元二次方程的一般形式为一、二次曲面的概念

其中二次项系数不全为零，他表示的图形称为二次曲面.

定义3.6.1

在空间直角坐标系下，方程表示的曲面称为椭球面，方程(6.1)称为椭球面的标准方程，其中a、b、c均为大于零的常数.

当a、b、c中有2个相等时，表示的是旋转椭球面.二、椭球面

当a、b、c相等时表示的是以原点为球心，a为半径的球面.

关于坐标面、坐标轴、原点均对称，它们称为主平面、主轴和中心.(1)对称性：不妨设a>b>c，(2)顶点和范围:坐标轴上两顶点构成的线段分别称为长轴、中轴、短轴.o-b-aacb-c平行截线法：

考虑三个坐标面x=0，y=0，z=0与椭球面的交线，这些都是椭圆，统称为主椭圆.他们的方程分别为

选取平行于xOy面的平面族,它们与椭球面的截线方程为(0,0,c)，(0,0,-c).

当|h|=c时，此时x=y=0,于是相截于一个点.

当|h|<c时，截线均为椭圆，和

他们顶点坐标为

他们分别在主椭圆(1)(2)上.平行截线法演示(用z=h切割椭球面)(1)主椭圆xyzO(2)无图形(3)(0,0,c)(0,0,-c)两个点(4)椭圆(端点在主椭圆上)平行截线法：用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo椭球面结论：一个椭圆进行平行移动，保持所在的平面与xoy面平行，且顶点在两个主椭圆上滑动，那么动椭圆的轨迹就是一个椭球面.和坐标为

的点P，求椭球面方程.例1

在空间直角坐标系下，椭球面的对称轴与坐标轴重合且经过椭圆解

由已知条件可设椭球面方程为

将点P的坐标代入以上方程得

因此椭球面方程三、单叶双曲面

定义3.6.2

在空间直角坐标系下，方程表示的曲面称为单叶双曲面，方程(6.2)称为单叶双曲面的标准方程，其中a、b、c均为大于零的常数.

当a=b时，式(6.2)表示旋转单叶双曲面.

关于坐标面、坐标轴和原点对称(2)顶点和范围：和z轴无交点，和x轴、

y轴的交点坐标分别为

，这些交点叫作单叶双曲面的顶点.(1)对称性：(a、b、c均为正数)因此单叶双曲面分布在椭圆柱面

及其外部.平行截线法

yx

zO(2)

用y=0

截曲面(3)

用x=0

截曲面(1)

用z=0

截曲面I用坐标面截割主双曲线主双曲线腰椭圆(1)z=h截曲面

这些截线都是椭圆，和顶点坐标为他们对应在截线(2)和(3)上，

yx

zO结论：单叶双曲面可看作由椭圆的变动(大小和位置都发生改变)而产生，在变动的过程中，保持与xoy面平行，且两对顶点分别在两主双曲线上滑动.II用平行坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面①当时，截线为双曲线.II用平行于坐标面的平面截割y=h

yx

zo②当时，截线也为双曲线.(2)用y=h截曲面II用平行于坐标面的平面截割②当时，截线也为双曲线.(2)用y=h截曲面II用平行于坐标面的平面截割y=h

yx

zo③当时，方程变为截线为两相交直线，交点是(0,b,0).(2)用y=h截曲面II用平行于坐标面的平面截割③当时，方程变为截线为两相交直线，交点是(0,b,0).(2)用y=h截曲面II用平行于坐标面的平面截割②当时，①当时，③当时，单叶双曲面用y=h截曲面

以下方程表示的图象也称为单叶双曲面.和试求平行于xOz面的平面方程，使该平面与单叶双曲面的交线是一对相交直线.例2

在空间直角坐标系下，已知单叶双曲面方程为解

设所求平面方程是方程为

，则其与单叶双曲面的截线方程为

可见当且仅当

时，交线才是一对相交直线.因此

所求平面方程为四、双叶双曲面

定义3.6.3

在空间直角坐标系下，方程表示的曲面称为双叶双曲面,方程(6.3)称为双叶双曲面的标准方程，其中a、b、c均为大于零的常数.

当a=c，式(6.3)表示一个旋转双叶双曲面.

双叶双曲面的图形分布在z≥c和z≤-c的那侧.(1)对称性:

关于坐标面、坐标轴和原点对称.(a、b、c均为正数)(2)顶点和范围:双叶双曲面只与z轴有交点且坐标为

称为顶点.即图形有两叶平行截线法I用坐标面截割②用y=0

截曲面③用x=0截曲面①用z=0

截曲面无交点主双曲线主双曲线xy

zo①当时,②当时,交点坐标截线为椭圆（1）用

截曲面②当时,结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都发生改变）而产生，在变动过程中，保持与xoy面平行，且两轴的端点分别在两主双曲线上滑动.yx

zoII用平行于坐标面的平面截割顶点

在截线(2)和(3)上.和（2）用y=t截曲面，截线为双曲线yx

zoII用平行于坐标面的平面截割yx

zo（2）用x=t截曲面，截线为双曲线II用平行于坐标面的平面截割所表示的图象也称为双叶双曲面.

以下方程和

椭球面和双曲面的标准方程可以统一写成其中A、B、C均为非零常数.①当A、B、C均大于零时，方程表示椭球面.②当A、B、C中只有一个大于零时，方程表示双叶双曲面.③当A、B、C中只有两个大于零时，方程表示单叶双曲面.④当A、B、C均不大于零时，方程表示虚曲面.试求当

取异于A、B、C的各种数值时，它表示怎样的曲面.例3

在空间直角坐标系下，给定方程解

实数集被A、B、C分成四个部分,如图所示①当

此时

均小于零，方程表示虚曲面.①②③④②当

此时

而

均小于零，方程表示双叶双曲面.CBA试求当

取异于A、B、C的各种数值时，它表示怎样的曲面.例3

在空间直角坐标系下，给定方程解

实数集被A、B、C分成四个部分,如图所示①②③④CBA④当

此时

均大于零，方程表示椭球面.

③当

此时

而

均大于零，方程表示单叶双曲面.

定义3.6.3

在直角坐标系下,方程表示的曲面称为椭圆抛物面，方程(6.4)称为椭圆抛物面的标准方程，其中a、b均为大于零的常数.

当a=b，式(6.4)表示一个旋转抛物面.五、椭圆抛物面

(1)对称性：只关于xOz面、yOz面和z轴对称.(a、b均为正数)(2)顶点和范围：椭圆抛物面分布在z≥0的那侧.顶点：原点.②用y=0截曲面③用x=0

截曲面①用z=0截曲面I用坐标面截割平行截线法Cx＝0Cy＝0两条主抛物线具有相同的顶点、对称轴和开口方向主抛物线主抛物线xzyOxzyO①用z=h(h>0)截曲面结论：椭圆抛物面可看作由椭圆变动(大小位置都发生改变)而产生的，在变动过程中，保持与xOy面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动.II用平行于坐标面的平面截割分别在主抛物线②和③上顶点和xzyO②用y=k截曲面结论：取两个这样的抛物线，它们所在的平面互相垂直，顶点和轴重合，且开口方向相同，让其中一条平行于其所在的平面，顶点在另一条上滑动，那么动抛物线的轨迹就是一个椭圆抛物面.II用平行于坐标面的平面截割顶点在主抛物线③上.

以下方程所表示的图象也称为椭圆抛物面.

定义3.6.3

在空间直角坐标系下，方程表示的曲面称为双曲抛物面(马鞍面)，式(6.5)称为双曲抛物面的标准方程，其中a、b为大于零的常数.(1)对称性：只关于xOz面、yOz面和z轴对称.六、双曲抛物面

(2)顶点(鞍点)：双曲抛物面与坐标轴的交点为原点，称为顶点(鞍点).Oxzy②用y=0

截割曲面，得③用x=0

截割曲面，得①用z=0

截割曲面，得I用坐标面截割曲面平行截割法Cy＝0Cx＝0两条主抛物线具有相同的顶点、对称轴，但开口方向相反.-Oxzy①用平面z=h截割曲面，得II用平行于坐标面的平面截割曲面当h<0

时，实轴平行于y轴.当h>0

时，实轴平行于x轴.Cz＝hCz＝h在主抛物线②上.顶点在主抛物线③上.顶点Oxzy②用平面y=t截曲面，得Cy＝tII用平行于坐标面的平面截割曲面顶点在主抛物线③上.Oxzy结论：如果取两条抛物线，它们所在平面相互垂直，有公共的顶点与轴，开口相反，让其中一条平行于自己所在的平面平行，且使顶点在另一条上滑动，那么动抛物线的轨迹便是双曲抛物面。

最后，椭圆抛物面和双曲抛物面的标准方程可以统一写成所表示的图形也称为双曲抛物面.

以下方程

①当A、B同号时，方程表示椭圆抛物面;

②当A、B异号时，方程表示双曲抛物面.其中A、B均为非零的常数.试求当

取异于A、B的各种数值时，表示怎样的曲面.例4

在空间直角坐标系下，给定方程解

实数集被A、B分成三个部分①②③②当

此时

方程表示双曲抛物面.

①当

此时

均小于零，方程表示椭圆抛物面.

BA③当

此时

均大于零，方程表示椭圆抛物面.

试求当

取异于A、B的各种数值时，表示怎样的曲面.例4

在空间直角坐标系下，给定方程解

实数集被A、B分成三个部分①②③BA§3.7直纹面

一、直纹面的概念

二、单叶双曲面三、双曲抛物面单叶双曲面马鞍面大家相信他们是直线生成的吗？

封闭在一个长方体内部，不存在直线,不是指纹面.

在空间中,我们把由一族直线形成的曲面叫作直纹曲面，简称直纹面，这族直线叫作直纹面的一族直母线.

椭球面:一、直纹面的概念

柱面和锥面都是直纹面.(1)直线穿越xOy面，有一段不在曲面上;

双叶双曲面：

椭圆抛物面：xyzoxyzo(2)直线平行于xOy面，那么其会落在平行于xOy面的平面上，这样的平面与双叶双曲面的交线为椭圆.不是直纹面.同上，也不是直纹面.

接下来讨论单叶双曲面和双曲抛物面!单叶双曲面马鞍面

设有单叶双曲面S，其方程为其中x、y、z均为大于零的数，将式(1)改写成从而有二、单叶双曲面(直母线)

引入不全为零的实数u、v,令下述比例等于

上述方程组表示一族直线，记为.于是有于是有(2)证明曲面S上任意一点都会落在直线族

中的某条直线上.(1)证明直线族

均在S上;

定理3.7.1

单叶双曲面S是直纹面，

为其一族直母线.证

从两方面证明：

定理3.7.1

单叶双曲面S是直纹面，

为其一族直母线.证

(1)直线族

上的点都在S上.消去u、v

如果实数u、v均不为零，将直线族

的方程

这就证明了直线族

上的点都在S上.上式即曲面S的方程.

如果实数u、v中有一个为零，不妨设u=0，由直线族

的方程，易得曲面S的方程也成立

任取S上一点P，设坐标为

证

(2)S上任意一点必定在

中的某一条直线上.因为

和

不可能同时为零,则有记设

定理3.7.1

单叶双曲面S是直纹面，

为其一族直母线.

定理3.7.1

单叶双曲面S是直纹面,为其一族直母线.证

于是其中

是不全为零的实数将式(6)代入式(5)得

定理3.7.1

单叶双曲面S是直纹面,为其一族直母线.证

因此P的坐标满足即曲面S上任一点P在直线族

中的某一条直线上.

对曲面S的方程

变形也可以推出

设有不全为零的实数

，令上述比例等于

，则有上述方程组表示一族直线，记为.二、单叶双曲面(直母线的性质)

定理3.7.3

分别属于单叶双曲面S的两族不同直母线

和

的直线必定共面；属于单叶双曲面S同族直母线

或

的任意两条直线必定异面.

定理3.7.2

直线族

是单叶双曲面S的另一族直母线.说明：直纹面的直母线未必唯一.

分别取

和

中一条直线，记为l和l´，如下证

这里只证明定理前半部分，后半部份同理可得.和其中u₁和v₁与

和

都是不全为零的实数对.

定理3.7.3

分别属于单叶双曲面S的两族不同直母线

和

的直线必定共面；属于单叶双曲面S同族直母线

或

的任意两条直线必定异面.证

经过l和l’的平面束可设为取

与

代入上述平面束方程时发现，它们完全相同，说明有同一个平面既经过l又经过l