高中数学人教版必修5教案

1.1.1正弦定理

一、教学目标：

1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解三角形；

二、教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用；

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数；

三、教学过程：

1、引入

在初中，我们知道三角形有大边对大角，小边对小角的边角关系.能否把这种关系准确

量化的表示呢？

2.新课教学

(1)直角三角形中，角与边的等式关系：

在RtDABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

□,□,□,则口

在直角三角形ABC中，口

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

⑵锐角三角形中，角与边的等式关系：

当DABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有

C后□，则口，

同理可得口，

abc

从而sin/isin6sin。

(3)探究：P3钝角三角形中，角与边的等式关系：

3.正弦定理：

(1)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

ab_c

sinnsinZ?sinC

存在正数k使口，口，口;

(2)一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。

4.讲授例题：

例1.P3在□中，已知口，口，口5),解三角形。

例2.P4在□中，已知口。(11,Dem,□,解三角形。

5、练习：

课本P4练习12

四、课堂小结：

(1)正弦定理

(2)正弦定理的应用范围

1.1.2余弦定理

一、教学目标：

1,掌握余弦定理；

2.运用余弦定理解三角形。

二、教学重点：余弦定理的发现和证明过程；

教学难点：余弦定理的基本应用；

三、教学过程：

1.复习回顾：

正弦定理：口

2.引入：

探究:P5

3.余弦定理的证明：

如图，设口，那么口，则

-a-a+bb-2a-bCaB

=p|+%-2ah

从而c2=a2+b2-2abcosC

同理可证a2=〃+c2—2bccosAh2=a24-c2-2accosB。

4.余弦定理：

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的弦

的积的两倍。

即：口

/=/+c2-2。。cosB.

c2=a2+〃2—2出2cosc

O

5.余弦定理的变式:

/+c3

cosA=cosB=

2bc2ac~lba~

6.余弦定理的基本应用:

⑴已知三角形的任意两边及其夹角可以求第三边;

⑵已知三角形的三条边可以求出三角.

7、讲授例题:

⑴例3P7

⑵例4P7

四、归纳小结：

(1)余弦定理

⑵余弦定理的基本应用

五、作业：

课本P8练习1,2;

1.2应用举例⑴

一、教学目标：

运用正弦定理、余弦定理解决一些有关测量距离的实际问题；

二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形。

教学难点：建立数学模型，画出示意图。

三、教学过程：

1、复习回顾：

正弦定理、余弦定理.

2.引入：

如何测量距离.

3.新课教学：

(1)例1.如图，设A.B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，

在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m,□BAC=Q,IJACB=□。求A.B两点

的距离(精确到0.1m)

(2)例2、如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A、B两点间距

离的方法。

分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要

构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与

一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距

离。

⑶了解基线的概念

4.课堂练习：

课本P13练习1,2

四、归纳小结：

运用正弦定理、余弦定理解决一些有关测量距离的实际问题

五、作业：

课本P13练习1,2

1.2应用举例⑵

一、教学目标：

运用正弦定理、余弦定理等解决有关物体高度测量的问题.

二、教学重点：解决生活中的测量高度问题.

教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.

三、教学过程：

1、引入：

如何测量高度.

2.新课教学：

(1)例3.AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建

筑物高度AB的方法。

(2)例4、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯南口二54口，在塔底C处测得

A处的俯角口花。!！］。已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m)

(3)例5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一

山顶D在东偏南15口的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25口的方向

上,仰角为80,求此山的高度CD.

3.课堂练习：

课本P15练习1,2,3

四、归纳小结：

运用正弦定理、余弦定理等解决有关物体高度测量的问题.

五、作业：

课本既练习1

1.2应用举例（3）

一、教学目标：

运用正弦定理、余弦定理解决角度的问题。

二、教学重点：找到已知条件和所求角的关系。

教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

三、教学过程：

1、引入：

如何测量角度。

2.新课教学：

例6.如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75□的方向航行67.5nmiIe后到达海

岛B,然后从B出发，沿北偏东32口的方向航行54.0nmiIe后达到海岛C.如果下

次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？（角度

精确到0.1□,距离精确到0.01nmiIe）

3、课堂练习：

课本巴6练习

四、归纳小结：

运用正弦定理、余弦定理解决南度的问题。

1.2应用举例⑷

一、教学目标：

1.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；

2.利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题；

二、教学重点：推导三角形的面积公式。

教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题；

三、教学过程：

1、引入：

三角形的面积公式

2.新课教学：

⑴推导出三角形面积公式，S=DabsinC,S=DbcsinA,S=QacsinB

(2)例7、在DABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到0.1cm口)

(3)例8、如图，在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园,

经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多

少？

(4)例9、在DABC中，求证：

22・24・c

-、a+bt~sin~A+sin~B

⑴———=------;-----:

c2sin'C

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

3.课堂练习：

课本P18练习1,2,3

四、归纳小结：

(1)掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；

(2)求证简单的证明题；

五、作业：

课本巴8练习1

2.1数列的概念与简单表示法

一、教学目标：

1.理解数列及其有关概念；

2.了解数列和函数之间的关系；

3.了解数列的通项公式。

二、教学重点：数列及其有关概念；

教学难点：根据数列的前几项归纳数列的通项公式。

三、教学过程：

1.引入：

三南彩数：1,3,6,10,…

正方形数：1,4,9,16,25,…

2.新课教学：

(1)数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。

(2)数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

数列的第1项叫做首项。

⑶数列的一般形式：口，或简记为口。

(4)有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列。

(5)数列的通项公式：如果数列门的第n项门与n之间的关系可以用一个公式来表示,

那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意：并不是所有数列都能写出其通项公式。

3、讲解例题：

⑴例1P29

数列的表示法：

通项公式法，图象法，列表法，递推公式法(例3)。

⑵例2P30

⑶例3P31

4.课堂练习：

课本P31练习1,2,3,4；

四、归纳小结：

(1)数列及其有关概念；

(2)数列的通项公式。

五、作业：

课本P"东习1,2,4；

2.2等差数列

一、教学目标：

1、了解公差的概念，根据定义判断一个数列是等差数列；

2.等差数列的性质；

3.灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。

二、教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。

教学难点：等差数列的性质

三、教学过程：

1、复习回顾：

数列的定义

数列和表示方法——列表法、通项公式、递推公式、图象法。

2.引入：

(1)四个数列P22

00,5,10,15,20,25,…

②48,53,58,63

③18,15.5,13,10.5,8,5.5

④10072,10144,10216,10288,10366

观察：P37以上的数列有什么共同特征？

共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数。

3.新课教学：

(1)等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个

常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表

示)。

注意：对于数列｛匚I｝,若□一□二d(与n无关的数或字母)，n，2,n£N匚］,则此数列是

等差数列，d为公差。

⑵等差中项

如果在□与□中间插入一个数A,使口，A,□成等差数列数列，那么A应满足什么条

件？

由定义得A-口二□-A,即：口

(3)思考：P37数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

由其定义可得：

%一%=d即：a2=a｝+d

。3-〃2=1即：％=。2+4=4+24

a4一〃3=d即.4=%+d=%+3d

由此归纳等差数列的通项公式可得：口

(4)例题讲解：

例1:P38求等差数列&5,2…的第20项。

例2：P38出租车问题

例3：已知数列｛匚］｝的通项公式口，其中口、□是常数，那么这个数列是否一定是等差

数列？若是，首项与公差分别是什么？

4、课堂练习：

课本P科练习1;

四、归纳小结：

1.了解公差的概念；

2.等差数列的性质；

3,通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。

五、作业：课本P39练习1,2;

2.3等差数列的前n项和

一、教学目标：

1.掌握等差数列前n项和公式及其思路；

2.用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题；

二、教学重点：等差数列前n项和公式。

教学难点：等差数列n项和公式的推导及应用。

三、教学过程：

1、引入：

高斯的老师出了一道题目u1+2+-100=?v

高斯的解法:1+100=101；2+99=101；—50+51=101；

101X50=5050v

求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法“倒序相加”法。

2.新课教学：

(1)等差数列的前□项和公式：口

证明：口①

=4++限+…+%+4②

⑪②：口

.・=々2+4,1=%+〃〃-2=....

□由此得：□

(2)等差数列的前□项和公式：口

用口代入公式口即得：口

(3)例题讲解：

例1P43(略)

例2P44(略)

例3P44(略)

例4P45(略)

3.课堂练习：

课本P45练习1,2,3

四、归纳小结：

(1)掌握等差数列前n项和公式及其思路；

(2)用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题;

2.4等比数列

一、教学目标：

1,掌握等比数列的定义；

2.等比数列的性质；

3.理解等比数列的通项公式及推导。

二、教学重点：等比数列的定义及通项公式；

教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

三、教学过程：

1、引入：

课本P48

①1,2,4,8,16,…

②1,□,口，口，□,…

③1,20,口，□,□，…

④口，□,□,□,□,....

观察：①、②、③、④四个数列有什么共同特征？

共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。

2.新课教学：

(1)等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同

一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用

字母q表示(q中0),即口二q(q¥0)

(2.等比中项：如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么称这个

数G为a与b的等比中项.即G二士口(a,b同号)

(3)探究：P50等比数列的通项公式：口

由等比数列的定义，有：

/=a\Q.

a=aq=(aq)q=aq\

32]}9

2

%=a3q=(axq)q=a^.

.............................................=/1夕=4ph°)*

⑷例题讲解：

例1P5O

例2P50

例3P51

例4P51

3.课堂练习：

课本P52练习1,2,3,4,5

四、归纳小结：

(1)掌握等比数列的定义：

(2)等比数列的性质；

(3)应用定义式及通项公式解决相关问题。

2.5等比数列的前n项和

一、教学目标:

1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；

2.用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。

二、教学重点：等比数列的前n项和公式的推导；

教学难点：利用等比数列的前n项和公式解决有关问题。

三、教学过程：

1、引入：

课本P5S“国王对国际象杭的发明者的奖励”

2.新课教学：

(1)等比数列的前n项和公式：

一般地，设等比数列□它的前n项和是

5〃=%+。2+。3+…。〃

5〃=卬+。2+。3+…4

由

得［恭“=卅+荷+6八…卬尸十%q〃

・••当口时，口①或□②

当q=1时，口

(2)例题讲解：

例1P56

例2P56

例3P57

3.课堂练习：

课本Pss练习1,2,3；

四、归纳小结：

(1)等比数列的前n项和公式的推导；

(2)利用等比数列的前n项和公式解决有关问题。

五、作业：课本P58练习1,2,3;

3.1不等式与不等关系

一、教学目标：

1.理解不等式(组)；

2.掌握不等式的基本性质。

二、教学重点：用不等式(组)表示实际问题的不等关系。

教学难点：用不等式(组)正确表示出不等关系；

三、教学过程：

1.引入：在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系。如两

点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，等等。

引例1:限速40km/h的路标写成不等式就是：口

引例2：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%,蛋白质的含量

P应不少于2.3%,写成不等式组

7<2.5%

<p>2.3%

2.新课教学：

(1)不等关系：

问题1:设点A与平面□的距离为d,B为平面□上的任意一点，则口

问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价

每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎

样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

x-25

(8------x0.2)x>20

0.1

问题3:某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500nlm和600mm两种。按照生产的要

求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等

式呢？

解：假设截得500mm的钢管x根，极得600mm的纲管y根。

500x+600y<4000;

3人>)，；

'x>0;

y>0.

(2)不等式的基本性质：

①。>b,b>c=a>c

②a>b,b>c=a>c

③4>。=4+。>匕+。

@a>b,c>0=>ac>bea>b,c<O=>ac<be

⑤a>b,c>d=a+c>〃+d

®a>b>O,c>d>ac>bd

⑦a>b>G=>an>b'\neN,n>1)

®a>b>O^>y/a>eN,/?>2)

⑶例题讲解：

例1:已知□求证□.

四、归纳小结:

(1)用不等式(组)表示实际问题的不等关系；

(2)不等式的基本性质；

五、作业：课本P74练习1,2,3

3.2一元二次不等式及其解法

一、教学目标：

1.一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系；

2.一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系

3.培养数形结合的能力.

二、教学重点：熟练掌握一元二次不等式的解法；

教学难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。

三、教学过程：

1、复习回顾：

一元二次方程、二次函数。

2.引入：

P76互联网的收费问题。

3.一元二次不等式：

(1)一元二次不等式的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.

（2）一元二次不等式□的解集：

画出二次函数□的图象，如图，观察函数图象，可知：

当x<0,或x>5时，函数图象位于x轴上方，此时，y>0,即口;

当0<x<5时，函数图象位于x轴下方，此时，y<0,即□:

所以，不等式□的解集是□.

（3）探究一般的一元二次不等式的解法（a〉0）

A>0A=0A<0

y=ax"+bx+cy=ax1-\-bx+cy=ax1+Z?五+c

二次函数二V

y=ax1+bx+c

（。>0）的图象

V-----X

一元二次方程有两相等实根

有两相异实根

4K2+Z?工+。=0b

用,々（％<工2）X]——无实根

（〃>0询根~la

aji1+〃x+c>0

向、<再或空々｝R

（4>0）的解集12a

2

ax+0x+c<0｛乂2<X<x）

200

3>0）的解集

4.例题讲解：

例1P78求不等式4丁-4x+l>°的解集.

例2P78求不等式一/+21一3>。的解集.

例3P78某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的速度xkm/h有如下

的关系：

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度

是多少？（精确到0.01km/h）

例4、P79一个汽车制造厂引进了一条摩托车整主装配流水线，这条流水线生产的摩

托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：

y=-2x2+220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内

大约应该生产多少辆摩托主？

5、课堂练习：

课本%练习1,2

四、小结：

1.一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系；

2.一元二次方程、二次函数与一元二次不等式的关系.

3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域

一、教学目标：

1.了解二元一次不等式的几何意义；

2.用二元一次不等式组表示平面区域；

二、教学重点：用二元一次不等式（组）表示平面区域；

教学难点：数学建模的能力。

三、教学过程：

1、引入：

（1）P82从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型.

'25000000

<12x+10y>3000000

x>（）,j>（）

⑵二元一次不等式和二元一次不等式组的定义.

⑶二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有

序实数对（x,y）,所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）

的解集。

⑷思考：二元一次不等式（组）的解集表示的图形

2、二元一次不等式：

⑴研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

第一^类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线x-y二6左上方的区域内的点；

第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

在平面直角坐标系中，二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上

方；二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；直线x-y=6叫做这两个区域

的边界。

（2）二元一次不等式彳/砂6>0在平面直角坐标系中表示直线4d■团+U0某一侧所看

点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)

3.例题讲解：

(1)例1.画出不等式□表示的平面区域。

解：先画直线口(画成虚线).

取原点(0,0),KAQ+4y-4,V0+4X0-4=-4<0,

・・・原点在□表示的平面区域内，不等式□表示的区域如图：

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方

法。特殊地，当□时，常把原点作为此特殊点。

(2)例2.用平面区域表示.不等式组□的解集。

解：不等式□表示直线匚右下方的区域，□表示直线口右上方的区域，取两区域重

叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因

而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分

(3)例3.P85

(4)例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷

酸盐18t:生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐硝酸盐15t,现库存磷酸盐

10t、硝酸盐66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并

画出相应的平面区域。

4x+y<10

18x+15y<66

x>0

y>0

7、课堂练习：

课本P86练习1,2,3,4

四、归纳小结：

1.了解二元一次不等式的几何意义；

2.用二元一次不等式组表示平面区域；

五、作业：

P86练习1,2,3;

3.3.2简单的线性规划问题

一、教学目标：

1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概

念；

2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。

二、教学重点：了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最

优解等基本概念；

教学难点：用图解法解决简单的线性规划问题；

三、教学过程：

1.引入:

(1)某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件

耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16

个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组:

x+2y<8

4x<16

,4”12

x>0

y>()

画出不等式组所表示的平面区域U

(2)若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利

润最大？

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利泗为z,则z=2x+3y.

可以看到，直线□与不等式组的区域的交点满足不等式组，而且当截距□最大时，z取得最大值。

问题可以转化为当直线□与不等式组确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P,使直线经

过点P时截距□最大。

2.线性规划的有关概念：

⑴线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条

件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.

⑵线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量

x、v的解析式，叫线性目标函数.

⑶线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问

题，统称为线性规划问题.

⑷可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.

由所有可行解组成的集合叫做可行域.

使日标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

3.例题讲解：

(1)例5营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，

0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.