高中数学三角函数知识点总结版

高中数学第四章•三角函数

1.①与a(0°<a<360°)终边相同的角的集合(角a与角尸的终边重合)：物|尸=Ax36(T+aMcz}

②终边在x轴上的角的集合：M/=AXI80'M€Z}

③终边在y轴上的角的集合：*|〃=&xl8(r+9(r,Aez}

④终边在坐标轴上的角的集合：［R=kx90Yez}

⑤终边在产x轴上的角的集合:{/3\fl=kx\80。+45。,、ez}

S/MCOS三用函数值大小关系租

⑥终边在y=r轴上的角的集合：如夕=kx180°-45°,kwZ}I、2、3、4表示第二、三、

⑦若角a与角/的终边关于x轴对称，则角。与角〃的关系：a=360Z-〃

⑧若角a与角/的终边关于)，釉对称，则角a与角/的关系：a=360Z+l80'-6

⑨若角a与角小的终边在一条直线上，则角a与角/的关系：a=18()"+夕

⑩角。与角夕的终边互相垂直，则角a与角〃的关系：a=3605+/?±9(T

2.角度与弧度的互换关系：36。。=24180。=亓1°=0.017451=57.30。=57。18'

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

、弧度与角度互换公式；lrad=l^lo~57.30°=57°18'.］。=_^_^0.01745(rad)

180

3、弧长公式：/=|a1八扇形面积公式：s扇形=—>二-lai"?

4、三角函数：设。是一个任意角，在。的终边上任取(异于原点的〉

点P(x,y)P与原点的距离为r,则sinaJ；cosa=A；

rr

r

tantz=-y5cot<7=x—;secor=f—;,csca=—,

xy%)'

5、三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)

6、三角函数线

正弦线：MP：余弦线：0M;正切线：AT.

7.三角函数的定义域:

三角函数定义域

f(x)=sin.v

f(x)=COSA-

/(x)=taav

/(X)=COLV

f(x)=secx

f(x)=CSCA-

8、同角三角函数的基本关系式：包4=tanagsa加工

cosasina

9、诱导公式：

“奇变偶不变，符号看象限”

三角函数的公式：（一）基本关系

公式组二公式组三

公式组四公式组五公式组六

（二）角与角之间的互换

公式组一公式组二

公式组三公式组四公式组五

sin15,=cos75,=、'-,lan150=coi75'=2-6，•tan75=cot15'=2+75

10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:

(A、(o>0)

定义域RRR

值域RR

周期性

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当*。0,非奇非偶

当e=0,奇函数

单调性[侬-%，(,7t.\（k+l）r）上为减函

…兀

---+K^y—+K7T

[--+2^,122)2k兀-------(p

22k7T]数（AreZ）

---------=—(A),

7T；上为增函上为增函数(AeZ)

—+2A1](D

将12k兀,〜1

数（2A+M2k冗+一穴一(p

上为增函----------——5)

(0」

数：上为减函数

（ZCGZ）上为增函数；

e+2就，

…汽

1K7T4-----(p

3乃1---------2—(A),

■y+2痴]CO

〜3

上为减函2kn+一式一(p

---------2--------(-4)

数(AGZ)CDJ

上为减函数(AeZ)

注意：①y=-sinX与y=sinx的单调性正好相反；），=一8§X与），二8§工的单调性也同样相反.”般

地，若），=/（力在也,用上递增（减），则），=-/（力在上递减（增）.

②>'=|sin,v|与y=|cos.x|的周期是；r.

③y=sin（柄+⑼或y=cos（oir+°）（。/0）的周期7=三.

同

），=tanW的周期为2"（7=二=7=2乃，如图，翻折无效）.

'W网

④y=sin（<av+e）的对称轴方程是x=+]（AeZ）,对称中心（k/r,0）；y=cos（&t+⑼的对称轴

k冗

方程是x=Z乃（攵eZ）,对称中心（*乃+2"0）«y=tan3ir+°）的对称中心（——,0）.

2'2

⑤当tana-tan/7=ha+=kn+^-（keZ）：tanatan/3=-\,a-=k7r+^-（keZ].

⑥y=cosx与y=sin^x+—+2攵"）是同—■函数，而y={cox+。）是偶函数，则

y=（aiv+夕）=sin（aiv+Z:/r+—^）=+cos（ftzr）-

⑦函数），=tanx在R上为增函数.（x）[只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，），=tanx为

增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是/（x）具有奇偶性的必要丕充殳条生（奇偶性的两个条件：一是定义城关于原

点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：/（-x）=/（x），奇函数：/（-幻=-/@））

奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：），=lanx是奇函数，），=tan（x+；乃）是非奇非偶.（定义域不关于

原点对称）

奇函数特有性质：若0£X的定义域，则/（X）一定有/（（））=（）.（0史x的定义域，则无此性及）

▲

◎y=sin|M不是周期函数；），=卜皿目为周期函数（7=乃）；

y=co相是周期函数（如图）；y=|cosX为周期函数（7=万汴二7

J-|（XK2X*

y=coCr+'的周期为不（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

2

y=fM=5=f（x+k）,ksR.

®y=«cosa+/?sinp=\la2+b2sin（c?+（/））+cos（p=—有y/a2+b2>|^.

11、三角函数图象的作法:

1）、几何法：

2）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

3）、利用图象变换作三角函数图象.

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.

函数y=Asin（3x+（p）的振幅|A|,周期丁=2£,频率/=_!_=回，相位公t+°；初相0（即当x

\d）\T2兀

=0时的相位）.（当A>0,3>0时以上公式可去绝对值符号），

由y-sinx的图象JL的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|>1）或缩短（当O<|A|<1）到原

来的|A|倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）

由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0V|3|V1）或缩短（|w|>］）到原来的

内倍，得到y=sin3x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用sx替换x）

（0

由y=sinx的图象上所有的点向左（当（p>0）或向右（当（p<0）平行移动I（pI个单位，得到y=

sin（x+（p）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.（用x+（p替换x）

由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当bVO）平行移动IbI个单位，得到y=

sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.（用y+（-b）替换y）

由丫=4标的图象利用图象变换作函数y=Asin（3x+（p）（A>0,co>0）（x£R）的图象，耍特

别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数：

函数y=sinx,0的反函数叫做反正弦函数，记作y=iircsinx,它的定义域是［—1,1］,值域

是

L22」

函数y=cosx,（x£［0,不］）的反应函数叫做反余弦函数.记作y=arccost,它的定义域是［一

1，门，值域是［0，刀］.

函数y=taiu-，卜生））的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx,它的定义域是（一8,+

°°）,值域是卜2/）•

函数y=ctgx,（0,彳）］的反函数叫做反余切函数，记作y=arcctgr,它的定义域是（一8,

十8）,值域是（o,JT）,

II.竞赛知识要点

一、反三角函数.

1.反三角函数：⑴反正弦函数y=arcsinx是奇函数，故arcsin（-x）=-arcsinx,（一定要

注明定义域，若AW(-OO.E)，没有x与y一—对应，故)，=5山不无反函数)

注：sin(arcsin.r)=x»xe[-1,1]»arcsinxe•

.22_

⑵反余弦函数y=arcco除非奇非偶，但有arccos^x)+arccos(v)=TT+2k兀,

注：®cos(arccoa)=x>xe[-1,l]，arccosxG[0,.

②y=cosx是偶函数，y=arccosr非奇非偶，而)，=sinx和y=arcsinx为奇函数.

⑶反正切函数：)，=arctanx，定义域(―8,+8)，值域(一工,工)，y=arctanx是奇函数，

2^2^

arctan(-x)=一arctanx，XG(-00,4-00).

注：tan(arctam)=x，X6(-a),+a)).

⑷反余切函数：y=arccotx，定义域(-4+8),值域(一乙二)，y=a/rcotx是非奇非偶.

22

«rccot(-;r)+«rccot(x)=4+Ikrc，xE(-co,+00).

注：①cot(6/rccot.r)=x.X6(—oo,+co).

②y=aicsinx与y-arcsin(l—A)互为奇函数，y=arctanx同理为奇而y—aiccosA与y=an：cut.x非奇非

偶但满足arccos(-％)+arccos”=%+2kn、xG[-1.1cotx+arccot