初中数学复习提纲(适合北师大版)

初中数学总复习提纲

第一章实数

★重点★实数得有关概念及性质，实数得运算

☆内容提要☆

一、重要概念

1.数得分类及概念

一正整数

正数整粉<0

实数《有理麴）］至姒（有限或无限循环小数）I负整数

'数丁正务薮

实数负数1负分数举例：不，V2,等都就是无

理数。rTF于理却

说明:I无理数（无限不循环小数）｛负爰£葭“分类”得原则：1）相称（不重、不

漏）2）有标准

2.非负数：正实数与零得统称。（表为：x20）

常见得非负数有:

2

性ca为一切在物、质：若干个非负数得与为0,则每个非负数均为0。

3.倒数：I|a|"头翅）①定义：如果两个数得乘积为1、那么这两个数互为倒数、

.Vtz（a>0）②性质：A、a#'（a手±1）;B、一中，aHO;C、0<a<1时一>1;a

aaa

>1时，-<1；D,积为1o

a

4.相反数：①定义：如果两个数得与为0、那么这两个数互为相反数、

②求相反数得公式：a得相反数为-a、

③性质：A、a手。时，aH-a；B、a与-a在数轴上得位置关于原点对称;C、两个相反数得与为0,商为7。

5.数轴：

①定义（“三要素”）：具有原点、正方向、单位长度得直线叫数轴、

②作用：A、直观地比较实数得大小；B、明确体现绝对值意义；C、所有得有理数可以在数轴上表示出来，所

有得无理数如J5都可以在数轴上表示出来，故数轴上得点有得表示有理数，有得表示无理数，数轴上得

点与实数就是一一对应关系八

6.当数、偶数、质数、合数（正整数一自然数）

定义及表示：

奇数：2n-1偶数：2n（n为自然数

7.绝对值：

①代数定义：正数得绝对值就是它得本身，0得绝对值就是它得本身，负数得绝对值就是它得相反数。

a（a>0）

时=«0（a=0）

-a（a<0）

几何定义：数a得绝对值得几何意义就是实数a在数轴上所对应得•点到原点得距离c

②|a|NO,符号“||”就是“非负数”得标志；

③数a得绝对值只有一个；

④处理任何类型得题目，只要其中有“||”出现,其关键一步就是去掉“||"符号。

11.科学记数法:N=axlO"（1<aV10,n就是整数）。（1）当N就是大于1得数时，n=N得整数位数减去1。

如：3241.56=3.24156x1（）3、⑵当N就是小于1得数时，n=N得第一个有效数字前0得个数、

如：0.0000324156=3.24156x10-5

12、有效数字：从左边第一个不就是0得数字起到右边得所有数字止，所有得数字叫这个数得有效数字。

如：0、004015,有效数字就是4,0,1,5、一共四个、又如：0、00401500,有效数字就是4,0,1,5,0,0,一

共六个、

平方根算术平方根立方根

±y[a813、数得开方：求一个

三种表示形式数得平方根叫做平方,

求一个数得立方根叫

a得取值范围a>0a>0全体实数做开立方。

二、实数将运算

±74=±22V^8=-2

例子1、运算法则（加、减、

~y[i=~2乘、除、荻方、开方）

2、运算定律（五个：加

法交换律，加法结合律；乘法交换律，乘法结合律，乘法对加法得分配律）

3、运算顺序：高级运算到低级运算，同级运笄从左到右（如5+,X5）,有括号时由小中大。

4、逆运算：加法与减法互为逆运其，乘法与除法互为逆运算，乘方与开方互为逆运算。

二、应用举例（略）

附：典型例题

1.已知：a、b、x在数轴上得位置如下图，求证：|x-a|+|x-b|二b-a、

----------------一■>2、已知：a-b二-2且ab<0,（a：#O,bWO）,判断a、b得怒号。

第二章aXb代数式

★重点★代数式得有关概念及性质，代数式得运算

☆内容提要☆

一、重要概念

分类：

单项式

整式

1、代数式、有理有理式多项式式、无理式

用运算符号把代数式分数或表示数得字母连结而成得式子，叫做代数式。

无理式

单独得一个数或字母也就是代数式。

有根号得代数式叫无理式，如：及、V«2+Z?2o没有根号得代数式叫有理式。如：a、cr+b2.

2、整式与分式

分母中含有字母得代数式叫做分式。如：一、一。

a3a

分母中不含有字母得代数式叫做整式。

整式与分式统称有理式，或含有加、减、乘、除、一方运算得代数式叫做有理式。

3、单项式与多项式

数字与字母之间，字母与字母之间只有乘除运算得代数式叫单项式。：3a2be,-a2be1,单独得一个数或字

3

母也就是单项式。如：。、0、-3。

几个单项式得与或差，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式与分式区别开；根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，就是以所给得代数式为对象，而非以变形后得代数式为对象。划分代数式类别时，就是

从外形来瞧。如，

—=x,7P-=|x|等。

X

4、系数与指数

区别与联系：①从位置上瞧；②从表示得意义上瞧

如：单项式得系数就是—J.指数就是5；多项式2s+3『就是一次二项式；〃+必+1就是二次三项

33

式等。

5、同类项及其合并

条件:①字母相同；②相同字母得指数相同

合并依据：乘法分配律

6、根式

表示方根得代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算得代教式叫做无理式。

注意：①从外形上判断；②区别：JJ、J7就是根式，但不就是无理式，就是无理数。

7、各种方根得概念

（1）平方根：如果一个数得平方等于另一个数，那么这个数叫另一个数得平方根、

即：/二凡/叫^的平方根记作x=±\[a

（2）算术平方根：一个正数得平方等于另一个数，这个正数叫另个一数得算术平方根。a得算术根记

作：&

⑴正数a得正得平方根（、G[20—与“平方根”得区别]）;

⑵算术平方根与绝对值

①联系：都就是非负数，"7二|a|

②区别：|a|中，a为一切实效；右中，a为非负数。

⑶立方根：一个数得立方等于另一个数，这个数叫另个一数得立方根。

如：/=力叫〃的立方根记作z=i[a

8、同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同得二次根式叫做同为二次根式。

满足条件:①被开方数得因数就是整数，因式就是整式;②被开方数中不含有开得尽方得因数或因式。

把分母中得根号化去叫做分母有理化。如~^=2^=—；

\laa

14ci+bJa+b

y[a-b（y/a-b）（y[a+/?）a-b2

9、指数

⑴（〃"一系，乘方运笄）

己_二3=〃"①a>0时，。”>0;②aVO时，，>0（n就是偶数），/VO（n就是百数）

⑵n个零指数公式：a°=1（a手0）

负整指数公式：4一"=」-（。。0,〃是正整数）

ap

二、运算定律、性质、法则

1.分式得加、减、乘、除、柬方、开方法则

2.分式得性质

⑴基本性质：2二包1（m=0）

aam

（2）符号法则：==

aa-a

⑶繁分式:①定义；②化简方法（两种）

3.整式运算法则（去括号、添括号法则）

4.寐得运算性质：

①同底数幕相乘：②同底数球相除：an=a,n-n；③标得乘方：（心）”=。皿；

④积得乘方：（4。）"二4"〃"；⑤分式乘方：（£）”=乐（注意：凡就是公式都可以倒用）

技巧：§）-"二（留

5.乘法法则：⑴单X单;⑵单X多；（3）多X多。

6.乘法公式：（。±b）2=a2±2ab+b2

（a+b）（a-b）=6/2一//（注意：凡就是公式都可以倒用

公式得几何意义如右图所示。

7.除法法则:⑴单理单;⑵多：单。

如何将分式方程化为整式方程？答：去分母T去括号T移项T合并同类项T降球排列、

⑶基本解法：①去分母法②换元法(如，卫二9+21±2=7)

x+1x—2

(4)验根：将求出得未知数得值代入公分母，若分母不为0则就是原方程得根，否则，就是原方程得增根。

(5)解分式方程得步骤：去分母T去括号T移项T合并同类项T降品排列T求出未知数得值T检验

六、无理方程

(1)定义

⑵基本思想：无理方程U=k>有理方程

(3)基本解法：①乘方法(注意技巧！！)②换元法

(例，2Jx"-9+17=X?)⑷脸根及方法

七、一元一次不等式(组)

★重点★一元一次不等式得性质、解法

1.定义：a>b、aVb、aeb、a〈b、a手b。

2.一元一次不等式：ax>b、axVb、ax2b、axWb、axHb(aHO)。

3.一元一次不等式组：

4.不等式得性质：⑴a>b-Ta+c>b+c

⑵a>b<--►ac>bc(c>0)

⑶a>b—Tac<bc(c<0)

⑷(传递性)a>b,b>cTa>c

⑸a>b,c>dTa+c>b+d、

5.一元一次不等式得解、解一元一次不等式

6.一元一次不等式组得解、解一元一次不等式组(在数轴上袤示解集)

x-3(x-2)<4

例题：不等式组|\-2x,

------<\-x

4

解：解不等式(1)得X>1

3

解不等式(2)得x<-

2

3

所以不等式组得解集就是1<x<-

2

7.应用举例(归纳起来主要有下列问题)

(1)题目中含有明显得特征词“不少于、不超过、不大于、小于、大于等”；

(2)“不空也不满”问题；

(3)哪个旅行社更优惠问题；

(4)方案问题。

例题：(1)一个长方形足球场得长为xcm,宽为70m,如果它得周长大于350m,面积小于7560m2,求x得取值

范围，并判断这个球场就是否可以用作国际足球比赛、

2(70+%)>70

解：依题意得

70x<7560

⑵一群女生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房间住，每间住6人，有一间宿舍住不满，可能有多少

间宿舍，多少名学生？

解：设有x间宿舍，依题意得0v4x+19—6(x—l)<6

解得，9.5<x<12.5

因为x就是正整数所以x=10、11、12

当x=12时,4x+19=67;.......

答:略

⑶在一次竞赛中有25道题，每道题目答对得4分，不答或答错保扣2分，如果要求在本次竞赛中得得分不小

于60分，至少要答对多少道题目？

解：设至少要答对x道题目，依题意得4x-2(25-x)>60

⑷某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游人数估计人数在10~25人，甲乙两家旅行社得服务

质量相同，且报价都就是每人200元，经过协商，甲旅行社表示可给每位旅客七五折优惠；乙旅客可免去一位

旅客得费用，其余八折优惠，该单位应该选择哪一家旅行社支付得旅游费用最少？

（5）某货场有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批催我全部运往外也这列货车

可挂A、B两种规格不同得货厢50,已知一节A型货厢得运费为0、5万元，一节B型货厢得运费为0、8

万元。（1）设运输这批货物得总运费为），（万元），挂A型货主x节，求），与x之间得函数关系式。（2）甲

种货物35吨与乙种货物15吨可装满一节A型货厢；甲种货物25吨与乙种货物35吨可装满一节B型货

厢，按此要求安排A、B两种货厢得节数，有哪几种运输方案，请您设计出来。（3）您认为哪种方案运费最

少？最少运费就是多少？

八、列方程（组）解应用题

㈠概述

列方程（组）解应用题就是中学数学联系实际得一个重要方面。其具体步骤就是：

（1）审题。理解题意。弄清问题中已知量就是什么，未知量就是什么，问题给出与涉及得相等关系就

是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易

列，但越难解。

（3）用含未知数得代数式表示相关得量。

（4）寻找相等关系（有得由题目给出，有得由该问题所涉及得等量关系给出），列方程。一般地，未知教

个数与方程个数就是相同得。

⑸解方程及检验。

（6）答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质就是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学

问题得解决而导致实际问题得解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后得作用。

因此，列方程就是解应用题得关键。

㈡常用得相等关系

1.行程问题（匀速运动）

基本关系：s=vt

⑴相遇问题（同时出A•-------------------工-------发）:

s甲+S乙f8；即=/乙甲f相遇处一乙

⑵追及问题（同时出发）：c

_tA•-------------------»------------•B

S甲=+S乙"甲（八8）='乙（C8）甲一乙一（相遇处）

若甲出发t小时后，乙才出发，入世而后在B处追上甲，则

-*B

$甲=$乙"甲='+r乙乙~（相遇处）

（3）水中航

行：”=船速+水速；口逆=船速-水速

2.配料问题：溶质二溶液X浓度

溶液二溶质+溶剂

,,1

3.增长率问题：分析方法:逐年逐月得分析方法、an=d,（l±r）-

4.工程问题：基本关系：工作量二工作效率X工作时间（常把工作量瞧着单位“1”）。

5.几何问题：常用勾股定理，几何体得面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

㈢注意语言与解析式得互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……

又如，一个三位数，百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为：100a+10b+c,而不就

是abc（）

㈣注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3,则x-y=3或x=y+3或x-3=y<,又如，x与y得差为3,则x-y=30㈤注意单位换算

如，“小时”“分钟”得换算；s、v、t单位得一致等。

第四章函数及其图象

★重点★正、反比例函数，一次、二次函数得图象与性质。

☆内容提要仝

一、平面直南坐标系

1.各象限内点得坐标得特点

2.坐标轴上点得坐标得特点

3.关于坐标轴、原点对称得点得坐标得特点

4.坐标平面内点与有序实数对得对应关系

二、函数

1函数中得三个概念：常量，自变量，因变量。

2.表示方法：（1）解析法;（2I列表法;（3）图象法。

3.确定自变量取值范围得原则：（1）使代数式有意义；⑵使实际问题有意义。

4.画函数图象:⑴列表；⑵描点;（3）连线。

三、几种特殊函数

（定义T图象T性质）

1.正比例函数

⑴定义：y=kx（k#=0）或y/x二k。

⑵图象：直线（过原点）

⑶性质：①k>0,…②k<0,…

2.一次函数

⑴定义：y=kx+b（k手0）

⑵图象：直线过点（0,b）一与v轴得交点与（-b/k,0）一与x轴得交点。

(k>0,b>0)(k<0,b>0)(k>0,b<0)(k<0,b<0)

⑶性质：①k>0,…②k<0,…

⑷图象得四种情况：

3.二次函数

（1）定义：y-ax2+bx+c（a*0）（一般式）

y=a(x-h)2+k(awO)(顶点式)

特殊地，y=ax2（a*0）,y=ax2+k（a工0）都就是二次函数。

⑵图象：抛物线（用描点法画出：先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。

y=ax2+bx+c（a工0）用配方法变为y=a（x-h）1+k（ar0）,则顶点为（h,k）；对称轴为直线

x=h；a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。

⑶性质：a>0时,在对称轴左侧…，右侧…；a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。

4、反比例函数

k

⑴定义：三种形式：y=—=Ax,或xy=k（k手0）。

x

⑵图象：双曲线（两支）一用描点法画出。

⑶性质：①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…；③两支曲线无限接近于坐

标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

I.用待定系数法求解析式（列方程［组］求解）。对求二次函数得解析式，要合理选用一般式或顶点

式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称得特点，寻找新得

点得坐标。如下图：

2.利用图象一次（正比例）函数、反比例函数、二次函数中得k、

b;a、b、c得符号。

六、应用举例（略）

第五章统计初步

★重点★

☆内容提要仝

一、重要概念

1、总体：考察对象得全体。

2、个体:总体中每一个考察对象。

3、样本：从总体中抽出得一部分个体。

4、样本容量：样本中个体得数目。

5、众数：一组数据中，出现次数量.务得数据。

6、中位数:将一组数据按正示依定排列，处在最中间位置得一个数（或最中间位置得两个数据得平

均数）

二、计算方法

—1••.

1、样本平均数：⑴x=-（X]+x2+♦••+]〃）；⑵若X[=x}-a,占=x2-a,•••,xn=xlt-a,则

n

x=x+a（a一常数，X],x2,…，xw接近较整得常数a）;（3）加权平均

数：X+•.•+*/（4+/；+...+£=〃）；⑷平均数就是刻划数据得集中趋势（集中位

n

置）得特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。

（1）样本方差：⑴S~=—[（再—X）2+（X2—X）~+…+（X"一[）""]；

n

]«2・2.2~2

⑵若X=芭，E="2_〃，…，二工”_Q，则—=一[（x「+々+•••+]“~）一"X]（a一接近

n

再、工2、…、与得平均数得较“整”得常数）；若阳、与、…、X”较"小”较“整”，则

22222

5=-[（%,+X2+-+X„）-/2X]；（3）样本方差就是刻划数据将离散程度（波动大小）得特征数，当

n

样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。

3.样本标准差：s=好

三、应用举例（略）

第六章直线形

★重点★相交线与平行线、三角形、四边形得有关概念、判定、性质。

☆内容提要仝

一、直线、相交线、平行线

1.线段、射线、直线三者得区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2.线段得中点及表示

3.直线、线段得基本性质（用“线段得基本性质”论证“三角形两边之与大于第三边”）

4.两点间得距离（三个距离：点-点；点-线；线-线）

5.角（平角、周角、直角、锐角、钝角）

6.互为余角、互为补角及表示方法

7.角得平分线及其表示

8.垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）

9.对顶角及性质

10.平行线及判定与性质[互逆）（二者得区别与联系）

11.常用定理：①同平行于一条直线得两条直线平行（传递性）；②同叁直于一条直线得两条直线平

行。

12.定义、命题、命题得组成

13.公理、定理

14.逆命题

二、三角形

分类:⑴按边分;

（2）按角分

1.定义（包括内、外角）

2.三角形得边角关系：（1）国与角：①内角与及推论;②外角与；③n边形内角与；④n边形外角与。（2）

边与边：三角形两边之与大于第三边，两边之差小于第三边。（3）角与边：在同一三的形中.

等边<=>等角

大边<=>大角

3.三角形得主要线段小边U=>小角

讨论：①定义②XX线得交点一三角形得X心③性质

①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

(1)一般三角形(2)特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)得判定与性质

5.全等三角形

⑴一般三角形全等得判定(SAS、ASA、AAS、SSS)

⑵特殊三角形全等得判定:①一般方法②专用方法

6.三角形得而积

(1)一般计算公式(24生质：等底等高得三角形面积相等。

7.重要辅助线

(1)中点配中点构成中位线；(2)加倍中线;(3)添加辅助平行线

8.证明方法

⑴直接证法：综合法、分析法

(2)间接证法一反证法:①反设②归谬③结论

(3)证线段相等、角相等常通过证三角形全等

⑷证线段倍分关系：加倍去、折半法

(5)证线段与差关系：延结去、截余法

(6)证面积关系：将面积表示出来

三、四边形

分类表：

1.一般性质(角)

⑴内角与：360°

(2)顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1:顺次连结对角线相等得四边形各边中点得菱形。

推论2：顺次连结对角线互相垂直得四边形各边中点得矩形。

⑶外角与：360°

2.特殊四边形

(1)研究它们得一般方法：

(2)平行四边形、定义一性质r判定矩形、菱形、正方形；梯形、等腰梯形得定

义、性质与判定

(3)判定步骤：四边形T平行四边形T矩形T正方形

边角面SLT

菱形一T积1

⑷对角线得纽带作用:

中

相等且互相平分

—3.对称图形

相等乂据直

称(1)轴对称(定义及性质)；(2)

中心对称(定义及性质)

相等且互相垂直犷4.有关定理:①平行线等分

四边形坦吐平行叫边形正方形

2线段定理及其推论1、2

垂直一相等②三角形、梯形得中位

----------A匐诊------线定理

互相垂直平分f③平行线间/个

互相垂直平分且相等得距离处处相等。(如，

找下图中面积相等得

三角形)

5.重要辅助线：①常连结四边形得对角线；②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连

结顶点与对腰中点并延长与底边相交''转化为三角形。

6.作图：任意等分线段。

四、应用举例（略）

第七章解直角三角形

★重点★解直角三角形

☆内容提要食

一、三角函数

1.定义：在RtAABC中，NC=RtN,贝"sinA=__;cosA=;tanA=

特殊角得三角函数值：

30°45°60°

sina

cosa

tana

2.互余两角得三角函数关系：sin（90°-a）=cosa；•••

3.三角函数值随角度变化得关系

二、解直角三角形

1.定义：已知边与角（两个，其中必有一边）T所有未知得边与角。

2.依据:①边得关系：/+〃=。2

②角得关系：A+B=90°

③边角关系：三角函数得定义。

注意：尽量避免使用中间数据与除法。

五、对实际问题得处理

1.俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：

在两个直角三角形中，都然解

直角三角形得条件时，可用列

方程得办法解决。

5、应用举例（略）

第八章相似形

★重点★相似三角形得决定与性质

☆内家提要☆

一、本章得两套定理

第一套（比例得有关性质）：

「反比性质：幺=_

ac涉及概念：

ci（Uctn,,,,

—=%三—专hr砂士戊七。•蝇端物嚓比他第［苣+.••+'〃-①第四比例项②比

bcbdnbacb4rMH------Hnb例中项③比得前

（比例基本定理）项、后项，比得内

、合比性质:a+bc±d

项、夕卜bd项④黄金分割等。

第二套:

注意：①定理中“对

应”二字得含义；

②平行T相

似（比例线段）T平行。

二、相似三角形性