初中数学60个几何模型专题复习：模型28蚂蚁爬行(最短路径问题)

模型28蚂蚁爬行（最短路径问题）

模型展现

基础模型1

图示

在一个长、宽、高分别为a,b,c的长方体中，一只蚂蚁沿着长方体的表面爬行、求蚂蚁从点P到点Q

的最短路径

PQ="+(b+c)2PQ=J(a+以+c?PQ=x/(a+c)3+b2

路径

=Va2+b2+c24-2bc=Va2+b2+c2+2ab=Va2+b24-c24-2ac

结论长方体中，蚂蚁爬行的最短路径为PQ=J最长边2+（较长边+最短边）2

?怎么用

1.找模型

满足条件：①存在立体图形；②立体图形上有两点；③求两点间的最短路径

2.用模型

长方体中,蚂蚁爬行问题考查的实质是两点之间线段最短，由于两点之间的路径可归为3种情况，最短路径

需通过比较取得

满分技法

蚂蚁从点P到点Q的路径根据经过不同的平面可分为三种情况，三种情况的长度如表所示，展开可知，当两

边之积最小时，路径最短.

满分技法

我们通常是展开立体图形，化立体为平面，化曲线或折线为直线，通过“展平面一连两点一勾投算”解决问

题，如果到达方式不止一种，还需进行比较，选出最短路径.

模型拓展

拓展方向：蚂蚁爬行问题结合将军饮马问题考查

一个底面半径为r,高为h的圆柱形木桶.夕隆点P处有一只蚂蚁.内壁点Q处有一滴蜂蜜.求蚂蚁

先沿外壁爬行，再沿内壁爬行到点Q的最短路径

结论最短路径为P'Q=，（砌2+I?

模型典例

例I如图，在棱长为2的正方体中，蚂蚁从正方体下方一边AB的中点P出发爬到顶点C处，若蚂蚁选择的

路径是最短的，则最短路径长为一.

例1题图

例2模型叠加如图，有一个高为8cm,底面周长为6cm的圆柱形容器，在夕陞距下沿3cm的点A处有一只

蚂蚁，与蚂蚁相对的内壁距上沿处4cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从A处到蜂蜜B处所走的最短路径的长为一

B8cm

A

---、

----

例2题图

针对训练

HG

第5题图

6.如图，是一个四级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5,1.5和l.5,A和B是这个台阶的两个相对的端

点，B点上有一只蚂蚊，想到A点去觅食,则蚂蚁从B点出发，沿着台阶面爬到A点，最短路径差为

第6题图

模型28蚂蚁爬行(最短路径问题)

模型典例

例1V13【解析】把点P和点C所在的两个平面展开到一个平面内,如解图①,根据勾股定理得PC1=

V12+(2+2)2=717;如解图②，根据勾股定理得PU=J(2+l)2+22=V13.vg>g,・..沿着正方体的表

面爬到顶点C处的最短路径长为V13.

图①图②

例1题解图

例23/lOcm【解析】如解图，作点A关于CD的对称点A',连接AB,♦:圆柱底面周长为6cm,CD=3cm,

此时AB为最短的路径.h=(8-3)+4=9cm,48=V92+32=3V10cm.

针对训练

1.4V5【解析】如解图，展开长方体侧面可得，最短路径长为AB=42+2+2+2)2+42=4b.

2.8V2【解析】•・•圆锥的底面周长为27ix2=47i,设侧面展开图的圆心角的度数为n。.二嘿=4%解得n=90,

loU

・••如解图，连接AA',该圆锥的侧面展开图是圆心角为90。的扇形，在R3AOA中=8亚.•・蚂蚁爬行的最短距离

为8近

第2题解图第3题解图

3.1【解析】如解图，:圆柱底面周长为1.6m,・・・AB=0.8m,连接PQ过点Q作QE_LBB于点E,VQA=0.2m,.\

BE=QA=0.2m,V圆柱体高为0.9m,PB'=0.Im,.'.PE=0.9-0.2-0.1=0.6m，在RtAPQE中,：QE=AB=0.8m,PE=

0.6m,.-.QP=yjQE2+PE2=V0.82+0.62=lm一•.蚂蚁爬行的最短距离为Im.

4.20【解析】如解图①,•••AB=18cm,GF=12cm.BF=10cm,・・・BM=l8-6=12cm,BN=10+6=16cm,AMN=

V122+162=20cg如解图②过点N作NP_LBC于点P,VAB=18cm,BC=12cm,BF=10cm,APM=18-6+6=18cm,NP=

,

10cni,..MN=V182+102=2V106cm,v20<••蚂蚁喃亍的最短路程为20cni.

HG

图①图②

第4题解困

5.V74【解析】如解图，作点B关于EF的对称点B:过点P作PQ_LBF于点Q,连接PB\则PB为蚂蚁爬行

时的最短路径.在RsBPQ中BQ=7,PQ=5,ABP=^B'Q