初中数学60个几何模型专题复习：模型22 将军饮马之“一点两线”模型

模型22将军饮马之“一点两线”模型

暝型展现

基础模型

dR，A

图示/。以

0B0NB

P"

特点点P是NAOB内部一定点，在0A上找一点M,在0B上找一点N,使得△PMN的周长最小

作点P关于OAQB的对称点P,P”,连接PP”,分别交OA.OB于点M,N,此时△PMN的周长最小，最

结论

小值为线段P,P”的长

结论分析

结论:作点P关于OA.OB的对称点PP”.连接P'P",分别交OAQB于点M,N,此时△PMN的周长最小，最小

值为线段PP”的长

证明:由轴对称知PM=PM.PN=P"N.

.••PM+MN+PNnPM+MN+puNNPP”,

・•・当点P;M.N,P”共线时,△PMN的周长最小,最小值为线段P'P”的长.

怎么用

L找模型

遇到一定点和两定线，求定点与两线上的点连缀口最小值问题，考虑将军饮马“一点两线,模型

2.用模型

构造一定点关于两定线的对称点，连接对称点，利用两点之间线段最短解决问题

典例

例如图.在△ABC中,/八1^=45。］是4ABC内部一点,且BP=5点M,N分别是AB,BC上一点.连接PM,PN,MN,

则^PMN周长的最小值为.

例题图

.针对训练

1.如图.在四边形ABCD中./BAD=Il(T,NB=ND=90o,AB=AD.点E,F分别是边BC,CD上的动点，连接AE,A

F,EF.当△AEF的周长最小时,NAEF+/AFE的度数为()

A.100°B,120°

C.140°D.160°

2.如图点P是NACB内一定点CP=6,G.H分别是射线CA和CB上的动点.连接PG.PH,GH^aPGH周长的最

小值为6.贝l」NGCH=

第2题图

3.如图在△ABC中,NCAB=6()o,AP_LBC于点P,点M,N分别是AC,AB边上的动点.连接PN,PM,NM,若.AP=

旧现必PMN周长的最小值是___.

AMC

第3题图

模型迁移如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0.2).过点A的直线交矩

形。ABC的边BC于点P、且点P不与点B.C重合.过点P作PD_LAP交x，吁点D,交y物于点E.AAPD为等腰直

角三角形点G的坐标为(2,0)，点M.N分别是直线AP和y轴上的点，求^GMN周长的最小值和此时点N的坐标.

第4题图

模型22将军饮马之“一点两线”模型

模型典例

例5V2【解析】如解图,分别作点P关于AB,BC的对称点Pi岛（先作对称），连接BPi.BP2,MPt,NP2,PP

1,PP2岛P2RP2分别交AB,BC于点M;N（连接对称点），则MPX=MP,NP2=NP,BP】=BP2=BP=S,LP^BA

=NABP,ZP2BC=ZCBP,VZABC=45°,，ZPiBP2=90。,，MP+NP+MN=MP1+NP2+MN＞。止2（将三角

形三边转化到同一直线上时,周长最小），，当M与M重合.N与N重合时,△PMN的周长最小，在RtAP〔BP2中，

P$2=&BPi=5企,PMN周长的最小值为5V2.

例题解图

针对训练

I.C【解析】如解图，分别作点A关于BC,CD的对称点A'A”,连接AW\与BC,CD分别交于点E,F,此时△A

EF的周长最小，根据对称的性质可知2A，=NBAE.NA，=NDAF「・，/ABC=NADC=9()o,・；《^ABAMt^^j^

A,D,A”三点共线,.•.NAEF=NA'+NBAE=2NA',NAFE=NA"+NDAF=2NA”,.•.ZAEF+ZAFE=2ZA'+2ZA"=2(Z

A'+ZA"i/.,ZBAD=110°,/.ZA'+ZA"=1800-ZBAD=70°,AZAEF+ZAFE=2QA+乙A')=140°.

第1题解图

2.30【解析】如解图作P点关于CA的对称点P：连接CP作点P关于CB的对称点P”,连接CP”,连接PP与

CA交于点G,与CB交于点H,PG=P'G,P'H=PH,APG+PH+GH=P'G+P"H+GH=。力〃,,此时4PGH的周长

最小,由轴对称性质得CP=CP,CP=CP",・,.CP=CP"=CP=6,,.,△PGH周长的最小值为6,，PP”=6,・・・4CPP”是等边三

第2题解困

3.3【解析】如解图，分别作点P关于AC,AB的对称点P'H,连接AP,AP",PP,PP"PP",PP吩别交AC,AB于点

M,N,则MP=MP',NP=NP",AP=AP"=AP'=V3.Z.BAP=ZBAP",ZCAP=ZCAP',VZCAB=60°,.\NP'AP"=12

0。,，PN+MN+PM=NP"+MN+MP'=P'P,,此时△PMN的周长最小，过点A作AH_LPP"于点H.则P'H=P"

H,vLAP'H=—jo.=3Q°,：pH=AP'.cos30°=^-AP'=P'P”=2P'H=3J周长的最小

第3题解图

4.解::在矩形OABC中,A(3,0),C(0,2h・・・B(3,2),AO〃BC,AO=BC=3,NB=9()oOO=AB=2,

•••△APD为等腰直角三角形，

:.ZPAD=45°,

•・•AO〃BC,...ZBPA=ZPAD=45°,

ZB=90°.\ZBAP=ZBPA=45°,

:.BP=AB=2,

/.CP=1,.\P(L2),

设直线AP的解析式为y=kx+b,

将A(3,0),P(l,2)代入得，

[0=3k+b涮曰(k=-1

t2=k+b廨得tb=3'

.••直线AP的解析式为y=-x+3.

如解图.作G点关于y轴对称点G，(-2,0)作点G关于直线AP对称点G”(3.l).连接GG”,G，G0G”交y轴于点N,

交直线AP于点M,此时△GMN的周