高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题

一.选择题（本题满分36分，每小题6分）

1.若椭圆的离心率6=也二，则我们称这种椭圆为“黄金椭圆”，对于椭圆

22

E:0+==1（。＞〃＞0）,如果。乃,c不是等比数列，那么椭圆E（）

a~b~

A.一定是“黄金椭圆”B.一定不是“黄金椭圆”

C.可能是“黄金椭圆”D.可能不是“黄金椭圆”

2.如果（1+sin?e）sin。＞（1+COS?e）cos。，且6w（0,2万），那么角6的取值范围是

()

,713兀、D.耳阿

A,(吟B.(-,—)

24

3.若点（〃,/?）是圆+=1内的动点,且函数/,（力=冗2+OT+/?的一个零点在

（一1,0）内，则该函数的另一个零点在（0,1）内的概率为（）

1112

A.-B.—C.—D.—

471271

4.对于给定的一个方程，+y2—z2=〃的正整数解的组数为（）

A.1B.3C.8D.无穷多组

5.数列｛4｝中，相邻两项4〃,4向是方程/+3〃x+b〃=0的两根，己知卬0=-17,则

A1的值为（）

A.5800B.5840C.5860D.6000

6.如图，在正方体—中，。为棱AK卜.一

点，过点P在空间作直线/,使/与平面A/CQ和平面

ABG2均成30°角，则这样的直线/的条数为（）

A.4B.3C.2D.1

二.填空题（本题满分42分，每小题7分）

7.设/是函数/（x）=x+，图象上的任意一点，过点M分别作直线y=x和y轴的垂

x

线，垂足分别为43,贝

8.函数y=J^（|cosx|+|cos2x|）（x£R）的最小值是.

9.设函数/（x）（X£R,XWO）对任意的非零实数玉,工2，有/。/2）=/（七）+/（工2），

且/（外在（0,+8）上为增函数，则不等式/（X）+/（尤一g）<0的解为

10.定义运算：a®b=a±-,设人,y,z为互不相等的三个实数，且

h

x®y=y®z=z®x,则xyz=

11.若区表示不超过X的最大整数（如[1.3]=1,-2；=-3等等）则

11「1]「1]「1

-------7=+--------1=+---------1=+・♦•+----------------------

.2-V1X2JL3-V2x3jL4-V3x4jL2004-<2003x2004

12.给定正整数〃（M>3）,设正数4,4,4,…，儿满足4+4+4+…+4“=〃,

PER…,P,是以坐标原点。为圆心的单位圆上的〃个点，且

4丽+心丽+4丽+•••+友丽=。•若M是圆。所在平面上的任意一点，则

4II"6I1+4*■IMA4I+4IMAI+…+4••"•*I的最小值是__________

三.解答题（要求必须写出必要的演算或证明的过程）

13.（本题满分16分）一个人随机地将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,

4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，当球的编号与盒子的编号相同时叫做这个小球

放对了，否则叫做放错了.求：四个小球都放错了的概率.

14.(本题满分16分)己知sin(2&i0)=3sin0,设tana=x,tan尸=y，记y=/(%)

⑴求f(x)的表达式;

(2)定义正数数列｛%｝：%=g2

;,+1=24•/(〃〃)(〃£N").试求数列｛〃“｝的通

项公式。

X」I

15.(本题满分20分)已知椭圆C：—+)/=1及定点p«,o)。〉。)，斜率为一的直线

42

L经过点尸并与椭圆C交于不同的两点A、B,且对于椭圆上任意一点都存在

。£[0,2万],使得OM=coseO4+sineO3成立。试求出满足条件的实数/的值。

7

16.（本题满分20分）已知W=—+^^）,其中。力,均为正数，且

cV1-M2Vl-v2

w<1,v<1.若。，"c,〃,u满足au+〃〃=c,b2+c2-2bcu=a2.求W的最小值。

高中数学竞赛试题参考答案

一.选择题

1.B2.C3.A4.D5.B6.C

二.填空题

r6/八、

1J-V1741A1+V17,

9.(—―,0)u(0,-)u(-,^—]

I.--------8.一r

2乙

10.±111.200312.n

三.解答题

3

13.

8

14.

【解】(】)由sin(2a+0)=3sind得sin((a+/3)+a)=3sm/3((a+j3)-<x),即

sin(a+S)cos=2cos(a+3)sina.

所以tan(a+/?)=2tana...................................................................................

于是，罂黑=2—即售2海得产号.故启)=埼.

⑵因为9，所七卜七十】•即士-右(土

15.

解：直线AB的方程为：x-2y-f=0.联立方程可得：2/一21+--4=0,和

-.t2-4产_4

8y—4“+产-4=0.<xx=-----和为必------,・(5分)

[228

设点M的坐标为(x,y),及点A(再，丫[),B(x2,y2)由OM=cos6QA+sin。08可

得：x=Xjcos^+x2sin^»y=y}cos^+y2sin^...............(10分)

利用4=x2+4,2=(%-05夕+工2sin。)？+4(y1cos8+力sin。)2

22222

二(再24-4yj)cos^+(x2+4y2)sin0+2sinJcos。%+4%丫2)

=4(cos2+sin20)+2sinJcosJ(芭升+4%%)..............(15分)

:.2sinJcosg(西/+4，。2)二°，又因为的任意性

22

—4/—4?

3+4%)2=+4x=产-4=0

2-------------8

代入t=2检验，满足条件，故t的值是2..(20分)

16.

14.由624-c2—2bcu=♦及a>0,6>0,c>0,

心>0,且“VI,得以2V〃+c2V(6+c)2,

/>/+J—26c=(6—c>.

，|6-c|VaV6+c.

因此，正数a、6、c可作为某一个三角形的三边

长.设这三边所对顶点分别为A、B、C,由约束条件变