高中数学题型全面归纳（学生版）：8.5直线、平面垂直的判定与性质35

第五节直线、平面垂直的判定与性质

考纲解读：

1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和

判定定理。

2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些关于空间图形位置关系的简单命题。

命题趋势探究：

在高考中，对垂直关系的考察一般有两种方式：

（1）考察垂直关系的有关定义、判定及性质，即通过有关命题的真假判定，直接考查有关

的判定和性质定理。

（2）以空间几何体为载体，证明有关线线、线面、面面的垂直关系。

知识点精讲：

1、定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相

互垂直.

2.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8・13）

表8-13

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个1

a,b<za

平面内的两条相

all

判断定理交直线都垂直，则ILa

bll

该直线与此平面

垂直7八P

两个平面垂直，则aLp

在一个平面内垂

面_|_面=bacB=a

直于交线的直线>=>hla

-1-“hVf_iLJ

与另一个平面垂L/

直bla

a

一条直线与两平

行平面中的一个

平行与垂直的关all〃

平面垂直，则该直4

系1aLa

线与另一个平面J

也垂直

a

两平行直线中有

平行与垂直的关一条与平面垂直，a//b'

>=>bLa

系2则另一条直线与a.La

该平面也垂直/

3.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-14）

表8-14

文字语言图形语言符号语言

alia

垂直于同一平面的

性质定理aup、=aHb

两条直线平行

ac0=b

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一直线a

垂直与平行的关系»=aliB

的两个平面平行a

如果一条直线垂

直于一个平面，

线垂直于面的性质则该直线与平面/J_a,aua=/J_a

内所有直线都垂

直二歹

二、斜线在平面内的射影

1.斜线的定义

一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线

和这个平面的交点叫做斜足.

2.射影的定义

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的

射影.

3.直线与平面所成的角

平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或

0,-

在平面内，我们说它们所成的角是°。的角，故直线与平面所成的角的范围是12」.

如图8・122所示，姑是平面"的斜线，4为斜足；尸°是平面夕的垂线，。为垂足；

是PA在平面a的射影，/尸的大小即为直线PA与平面a所成的角的大小.

三、平面与平面垂直

1.二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图8-123所示，在二面角

a一/一/的棱/上任取一点°,以点。为垂足，在半平面a和夕内分别作垂直于棱/的射

线。4和°8,则射线和构成的/A°8叫做二面角的平面角，二面角的范围是

2.平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两

条交线互相垂直.（如图8-124所示，若。口6=8,8'/,且==

ABA.BE,则a，夕）

S8-124

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

3.判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一bLa\

个平面的垂线，则>=>a16

bu

这两个平面垂直队"

4.性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，aLp

则一个平面内垂

ac0=a

直于交线的直线bla

与另一个平面垂bj

直上■b1ci

题型归纳及思路提示

题型115证明空间中直线、平面的垂直关系

思路提示

判定定理）判定定埋）

线1线（性质定理线_1面,性质定理面J•面

（1）证明线线垂直的方法

①等腰三角形底边上的中线是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形对角线互相垂直；

④直径所对的圆周角是直角；

⑤向量的数量积为零；

⑥线面垂直的性质

⑦平行线垂直直线的传递性.

（2）证明线面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②线面垂直的判定（〃,""_1孰°<=%/7（=仪/00=0=0'2）；

③面面垂直的性质=

平行线垂直平面的传递性（。【。力〃a=bLa）,

⑤面面垂直的性质=.

（3）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a-L/,〃uana_L/?）.

空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图8-125所示，由图可知，线面垂直在所有关

系中处于核心位置.

图8-125

一、线线垂直

证明线线垂直常用线面垂直的性质（线面垂直=＞线线垂直）.

，是两个平面，则的一个充分条件是（）

例&33设是两条直线,a4a

〃，夕

AaLa.b4aJ-Bata,b,?，a〃B

Caua,b工。，aDaua,b〃乃，aLfl

PA=—AB

变式1：在正四棱锥P-A8C。中,2,M是8c中点，G是的重心,

则在平面PAD中经过点G且与直线PM垂直的直线有多少条?

变式2：已知久,是两个不同的平面，7小〃是平面a及,之外的两条不同直线，给出四个

论断：①加②。工八③〃工夕；④6,a.以其中三个论断作为条件，余下的一个

论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.

变式3：在棱长为1的正方体。中，点尸是棱0G的中点，点尸是正方体

表面上的一点，若"尸,从尸，则线段的长度的取值范围是.

例&34如图&

,27所示,

",，4c在直棱柱ABCD_AMCQ

中，力C，幼

垂足为E.求证:

图8.127

变式1：如图8-128所示，四棱锥S-ABC。的底面是正方形，501,平面43。，点£是

S。上异于。点的任意一点，求证：AC1BE,

图8-127

变式2：如图8.129所示，已知三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC,ABlACf

AC=-ABw0

2,N为AB上一息,AB=4ANfM，S分别为总和BC的中点.

求证：CM工SN.

图8-129

变式3：如图8-130所示，在四面体ABOC中，℃J_OA,OCA.OBrN4°3=120°,

且Q4=。8=℃=l,点P为AC的中点.求证：在4B上存在一点Q,使PQ~L°A,并

AB

计算AQ的值.

例8.35如图8-131所示，在长方形A8CZ）中，AB=ZBC=\f七为CQ的中点，尸为线

段EC上（端点除外）一动点.现将AAF。沿A尸折起，使平面A8O_L平面A8CF;在平

面ABO内过点。作Z）K_L4B,K为垂足.设AK=f,贝”的取值范围是.

图8-131

变式1如图8-133所示，正四面体A8CO中，棱长为4,M是8c的中点，P在线段4M

上运动（0不与AM重合），过点尸作直线平面A4C,/与平面3co交于点Q,给

出下列命题：①BC_L平面AMD；②点。一定在直线0M上；③％-八皿二4四，其中

正确的是（）.

A①②8.①③仁②③0•①②③

图8-133

例8.36如图8-134所示，在直三棱柱A3C-4与G中，平面480,侧面448片求证:

ABLBC*

图8-134图8-135

变式1如图8-136所示，在三棱锥月一ABC中，AC=BC,04=P8.求证：PC±ABt

图8-136

二、线面垂直

垂直关系中线面垂直是重点.

.①垂直两条相交线；

②垂直里面作垂线；

‘③直（正）棱柱的侧棱是垂线；

线垂面明E里找④正棱锥的顶点与底面的中心的连线是垂线，

，①垂直面里所有线（证线线垂直）；

线垂面有何用［②过垂线作垂面（证面面垂直）.

证明线面垂直常用两种方法.

方法一：线面垂直的判定.

线线垂直=线面垂直,符号表示为：a"alctbua,cua,P,那么a_La.

方法二：面面垂直的性质.

面面垂直=线面垂直，符号表示为：a'#,an£=",aua,a±bf那么6.

例8.37已知直线/和两个不同的平面冬夕，则下列命题中正确的是（）.

A.若/_L°,则。///B.若l〃a,〃甲,则尸

C.若力，贝〃//6D.若上。，贝

变式1已知直线/^•平面1，直线mu平面夕，有下面4个命题：

①a///=/_L,〃.②a[1。=I〃m.③I〃m=a1。.④I=a]//3

其中正确的命题是（）.

A①②B.③④C•②④。•①③

变式2设，"和〃是两条不同的直线，口和夕是两个不同的平面，给出下列4个命题:

①若m±九6_La,〃aa,则n//a；②若m//a,a_L6，则〃〃/〃；

③若〃z_Lp,a_L£,则机〃a或"zua；④若〃_La,〃_LQ,则。_1_尸

其中正确命题的序号为

例8.38如图8-138所示,在正方体/历8-中，AG为其对角线.求证:

_L平面与CR

图8-138

变式1如图8.140所示，正四棱柱ABC。-"CQ中，叫=243=4,点E在。6上

图8-140

变式2如图8-141所示，在四棱锥「一488中，■平⑶ABC。，E为8。的中点，

G为PD的中点,ADAB=ADCBfEA=EB=ABt连接比并延长交4。于尸.求证:

A£>_L平面CFG

图8.141

变式3如图8-142所示，四棱锥s-A8co中，AB//CDtBC//CDf侧面SA8为等边

三角形，AB=BC=2,CD=SD=1

求证：SOJL平面SA5

图8-142

三、面面垂直

主要证明方法是利用面面垂直的判定定理（线面垂直n面面垂

直）.证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存

在这样的直线，则可通过作辅助线来解决.

例8.39如图8-143所示，四棱锥的底面A3。是边长为4的正方形，侧棱

PA=a,PB=PD=42af则它的5个面中，互相垂直的面有对.

图8-143

变式1如图8-144所示，在斜三棱柱人4用a中，NB4C=90。，BC.LACt则。

在底面A3c上的射影”必在（）.

A直线A3上8直线BC上。.直线AC上DAA8C内部

图8-144

变式2下列命题中错误的是（）

A如果平面。"1■平面夕，那么平面々内一定存在直线平行于平面夕

注如果平面a不垂直于平面那么平面a内一定不存在直线垂直于平面4

C•如果平面平面/，平面"'平面/,那么/J_平面/

D如果平面。_L平面夕，那么平面0内所有直线都垂直于平面夕

例8.40如图8-145所示，在三棱柱O-A5c中，℃_L底面ABC,ZACB=90°,点。

在棱上.求证：平面AC°_L平面03c.

S8-145

变式1如图8-146所示，在三棱锥V-ABC中，w底面ABC,AC1BC,。是AB

的中点，且AC=8C.求证：平面平面VCD.

08-146

变式2如图8-147所示，四边形ABC。为正方形，W平面A4CD,PD//QAt

QA=AB=\PD

2.求证：平面1平面DCQ.

图8-147

变式3如图8-148所示，在五棱锥P—A8C£)E中，P4_L平面ABCQE",AB//CDt

AC//ED9AE!/BCtZABC=45。，AB=242tBC=2AE=4t三角形总是

等腰三角形.求证：平面PC。J■平面P4c.

B

图8.148

最有效训练题35（限时45分钟）

L设/是直线，久万是两个不同的平面，则有（）.

A.若〃/a,4,则。

B.若l〃a,/，夕，则a，夕

。.若0_1/，贝/

D.若a1。，///a,则！，6

2.设平面4与平面仅相交于直线”2,直线。在平面夕内，直线〃在平面夕内，且/7工〃2,

则“。〃”是“a_L/?”的（）.

A充分不必要条件

员必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

3.己知表示两个互相垂直的平面，出”表示一对异面直线，则〃的一个充分条件是

（）.

A.a//a、bL。B.a!la.blIp

C.aLa,b!/flD.a~La,bL0

4.设团，〃是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）.

A若〃z_1_〃，m.Latnaa,贝g〃//a

R.若m工0,a工B,则6//a或aLa

C.若加//a,a工B,则〃?

D若m_L〃，〃?_La,nA.0,则a_L/

5.如图8-149所示，四边形A8CO中，AD//BC,AD=BC,ZBCD=45°,ZBAD=90°

将AAD8沿线段3。折起，使平面平面ACO,构成三棱锥人一38,则在三棱

锥A-8c。中，下列命题中正确的是（）.

图8-149

A平面A3。1平面ABC

A平面ADC1平面83C

C平面ABC1平面BDC

D平面AOC_L平面ABC

6.在四面体P-48C中，D,E,尸分别是A3,BC,C4的中点，下面四个结论中不

成立的是（）.

ABC//平面PDF

B.OP_L平面BAE

C.平面PDF1平面ABC

D平面Q4E1平面ABC

7，力表示直线，表示平面.

①若。口/=4,buo（,则a'/；

②若〃ua,。垂直于夕内任意一条直线，则

③若a_L〃，=则a_L0

④若a不垂直于平面°