湖北省武昌区2024届高考数学考前最后一卷预测卷含解析

湖北省武昌区2024届高考数学考前最后一卷预测卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5亳米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去43、C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区

至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去4社区，则不同的安排方法种数为()

A.8B.7C.6D.5

3.已知数列二二:满足二［=3,且一「二如0+三则数列(二二:的通项公式为()

A.2nM+JB.C.+JD.产7

4.在正方体ABC。—中，E,E分别为CG，的中点，则异面直线A",力E所成角的余弦值为()

A1口回「2#n1

A.—IkC.I).—

4455

5.已知f(x)=ax?+bx是定义在［a-L2a］上的偶函数，那么a+b的值是

11

A.—B.—

33

11

c——n—

6.已知圆G；(x-l)2+(y+l)2=l,圆。2；(X—4)2+()，—5)2=9,点"、N分别是圆&、圆C2上的动点，P

为X轴上的动点，贝的最大值是（）

A.2y/5+4B.9C.7D,2石+2

7.“a?0”是cosa工cos伊'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知（2-的展开式中的常数项为8,则实数〃z=（）

X

A.2B.-2C.-3D.3

9.已知数列{q}中，4=1,%=2,且当〃为奇数时，a2-%=2；当〃为偶数时，。/2+1=3（4+1）.则此数

列的前2D项的和为（）

qlI_qol1_&ol2_ool2_q

A.^^+90B.^^+100C.^^+90D.^^+100

2222

10.已知，几〃表示两条不同的直线，a，Q表示两个不同的平面，且〃z_Lo,〃u£,则“是“相〃〃”的（）

条件.

A.充分不必要B,必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

11.已知集合人=仅|x>0）,B={xIx2-x+b=0）,若Ac3={3},贝!]〃=（）

A.-6B.6C.5D.-5

\<>________

12.设斗巴是双曲线,一*_=1（〃>（）,b>0）的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点尸，使（。2+。£）•八P=0

（。为坐标原点），且则双曲线的离心率为（）

A.如B.也+1C.在里D.6+1

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若复数z满足2z+I=3+i，其中i是虚数单位，[是z的共扼复数，则2=.

14.已知半径为R的圆周上有一定点4,在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长介于R与GR之间

的概率为.

15.已知复数z=（i-2『（i为虚数单位），则z的共挽复数是___,|z|=.

16.如图，为测量出高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角乙MAN=60°,C

点的仰角NC43=45”以及NM4C=75°;从C点测得NMCAnG".已知山高6c=100”，则山高

MN=〃7.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，已知抛物线E：)F=4x与圆M：(x-3)2+y2=r2(〃>0)相交于A,B,C,。四个

点,

(1)求厂的取值范围；

(2)设四边形498的面积为S,当S最大时，求直线八。与直线4C的交点0的坐标.

18.(12分)在边长为6cm的正方形ABC。，E、产分别为AC、CD的中点，M、N分别为48、CT的中点，现

沿AE、Af;砂折叠，使8、C.。三点重合，构成一个三棱锥.

(1)判别MN与平面A砂的位置关系，并给出证明；

(2)求多面体E—A用WN的体积.

19.(12分)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保

护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女生30()人.现按男、女用分层抽样从理

科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4

人参加学校的环保知识竞赛.

(1)设事件A为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有“，求事件A发

生的概率；

(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望.

20.(12分)已知a,〃£(0,+cc),a(1-b)=b(a-\)t/(x)=|2x+l|+|x-2|.

(1)求〃2+乂的最小值；

(2)若对任意小〃£(0,+8),都有/(x)<4(/+〃2),求实数x的取值范围.

21.(12分)设函数/(x)=gx+1+次-11(xeR)的最小值为加.

(1)求用的值；

(2)若。，/7,c为正实数，且一L+」_+_L=2,证明：且+丝+£之1.

ma2mb3mc3993

22.(10分)若数列｛q｝满足：对于任意〃£]<，。〃+|。向一4+2|均为数列｛。“｝中的项，则称数列｛4｝为叮数列”.

(D若数列｛q｝的前〃项和S“=4〃-2后试判断数列｛4｝是否为“7数列”？说明理由；

(2)若公差为△的等差数列｛%｝为“7数列”，求d的取值范围；

(3)若数列｛%｝为“7数列Zq=l,且对于任意〃EN’，均有求数列｛《｝的通项公式.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.

【详解】

2cos2x2'+1.

V/(X)=COS2X4---------=--------xcos2x，

2r-l2r-l

+12、十1

xcos2x=-/(%)

2A-1

・•・函数/（X）为奇函数，

，排除选项A,B；

（jr\

又・・,当0,-时，/（x）>0,

\4J

故选：C.

【点睛】

本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.

2、B

【解析】

根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（T）;A（甲，乙）B（T）C（丙）；A（甲，丙）B（T）C（乙）；

A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）：A（甲）B（T）C（乙，丙）：A（甲）B（丙）C（丁,

乙）；共7种，选B.

3、D

【解析】

试题分析：因为口叫二如口+工所以二二浦+?=*；：：+/）,即三二二」，所以数列［二二一厂是以力+」=4为首项,

公比为“的等比数列，所以二'二十3=4.x/・L=4二•=即二二二F二一，所以数列b.】的通项公式是：）口二产一J,

故选D.

考点：数列的通项公式.

4、D

【解析】

连接BE，BD,因为BE//AF,所以/8E。为异面直线Ab与OE所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,取8。的中点为G,连接EG,在等腰△红£）中，求出COSN3EG=££=里，在利用

BE75

二倍角公式，求出cos/BED,即可得出答案.

【详解】

连接施，BD,因为BE//AF,所以为异面直线A尸与力E所成的角（或补角），

不妨设正方体的棱长为2,则BE=DE=6，BD=2>/2»

在等腰MED中，取8。的中点为G,连接EG,

则的=后二=6cosNBEG二型二噌,

BE旧

所以cos/BED=cos2ZBEG=2cos2ZBEG-1，

即：cosZBED=2x--］=l,

55

所以异面直线A产，力E所成角的余弦值为

故选：D.

功C1

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

5、B

【解析】

依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(・x)=f(x),且定义域关于原点对称，a-g・2a,即可得解.

【详解】

根据偶函数的定义域关于原点对称，且f(x)是定义在［a-1,2a］上的偶函数，

得a-l=-2a,解得a=,，又f(-x)=f(x),

3

/.b=0,a+b=—・故选B.

3

【点睛】

本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f(-X)=f(X)；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定

义域区间两个端点互为相反数.

6、B

【解析】

试题分析：圆G：(xT)2+(y+l『二l的圆心印，一1)，半径为］,圆G：(x—4『+(y—5)2=9的圆心”(4,5),半径

是3.要使|/W|T尸M最大，需|尸N|最大，且归M最小，俨M最大值为卢尸|+3,|尸M的最小值为|产耳一1,故

|尸'|一|加|最大值是（|尸耳+3）—（归£|—1）=|户目一归国+4/（4,5）关于工轴的对称点尸（4,-5）,

|PF|-1PE\=|PFf\-1PE|<|EF'\=7（4-I）2+（-5+1）2=5,故归百一归目+4的最大值为5+4=9,故选B.

考点：圆与圆的位置关系及其判定.

【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使归训-|加|最大，需|PN|最大，且归根最小，|「照最大值

为|P可+3,|PM|的最小值为户目—建故最大值是（|叩+3）-（归同一1）=|尸同一|尸耳+4,再利用对称

性，求出所求式子的最大值.

7、B

【解析】

分别判断充分性和必要性得到答案.

【详解】

a=B=cosa=cosp所以cosa*cosp=>a/尸（逆否命题）必要性成立

当a=-（3=cosa=cosp,不充分

故是必要不充分条件，答案选B

【点睛】

本题考查了充分必要条件，属于简单题.

8、A

【解析】

先求（1-'）3的展开式，再分类分析（2-〃比）中用哪一项与（1-！）3相乘，将所有结果为常数的相加，即为

XX

13

（2-〃a）（1--厂展开式的常数项，从而求出〃z的值.

X

【详解】

（i--r展开式的通项为=qi3-r（--r=墨•（一1）”-「，

XX

当（2-m。取2时，常数项为2x0；=2,

当（2-m）取一〃优时，常数项为一〃小。；、（一『二3〃2

由题知2+3m=8,贝!|/%=2・

故选：A.

【点睛】

本题考食了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2-〃氏)所取的项要进行分类讨论，属于基础题.

9、A

【解析】

根据分组求和法，利用等差数列的前〃项和公式求出前20项的奇数项的和，利用等比数列的前〃项和公式求出前20项

的偶数项的和，进而可求解.

【详解】

当〃为奇数时，4+2一〃“=2,

则数列奇数项是以1为首项，以2为公差的等差数列，

当"为偶数时，4+2+1=3(%+1),

则数列中每个偶数项加1是以3为首项，以3为公比的等比数列.

所以$20=4+生+々3+…+。20=a\+々3+…+。19+%+4+…+%0

加1+哈

2+(4+1)+(4+1)+(%o+1)—10

3(1-3)3"-3

=10()+-^-------L-10=---------+90・

1-32

故选：A

【点睛】

本题考查了数列分组求和、等差数列的前〃项和公式、等比数列的前〃项和公式，需熟记公式，属于基础题.

10、B

【解析】

根据充分必要条件的概念进行判断.

【详解】

对于充分性：若aJ•4，则机，〃可以平行，相交，异面，故充分性不成立;

若加〃〃，则〃,a,〃u小可得a_L£,必要性成立.

故选：B

【点睛】

本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条

件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.

11、A

【解析】

由AC6={3},得3s3,代入集合B即可得

【详解】

G

-AnB={3}f,-.3B,/.9-3+Z?=0,即：b=-6,

故选：A

【点睛】

本题考查了集合交集的含义，也考查了元素与集合的关系，属于基础题.

12、D

【解析】

利用向量运算可得20A・£P=0,即。4_LgP,由04为△/¥；居的中位线，得到尸£_LP乙，所以

|P"「+|P用2=（2c）2,再根据双曲线定义即可求得离心率.

【详解】

取「鸟的中点A，则由（OP+OK）F逮=0得2。4・耳尸=0,

即Q4_LgP；

在中，。4为的中位线，

所以尸片，。工，

所以尸曰2二（2C、）2；

由双曲线定义知归用一|尸马=为，且归国二6归国，所以（百一1卜二2%

解得e=\/3+1,

故选：D

【点睛】

本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13>1+/

【解析】

设z=a+〃，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得的值.

【详解】

设2=。+初，由2z+z=3+i，得2。++a—5=3。+加=3+/,所以a=l,b=l,所以z=l+i.

故答案为：1+i

【点睛】

本小题主要考查共匏复数，考查复数相等的条件，属于基础题.

1

14、-

3

【解析】

在圆上其他位置任取一点B,设圆半径为R,

其中满足条件AB弦长介于R与有R之间的弧长为；・2TTR,

则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P="乃『；

2兀R一

故答案为：

15、3+4/5

【解析】

直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数Z的共辗复数和Z的模.

【详解】

2222

VZ=(Z-2)=Z-4Z+4=3-4Z,则复数二的共机复数为3+4"A|z|=^3+(-4)=5.

故答案为；3+4i；5.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题.

16、1

【解析】

试题分析：在一48。中，工NB4C=45。,43c=90。,3。=100,.・.4。=」^-二100及，在.AMC中，

sin45°

;ZMAC=75°,ZMCA=60°,z.ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———,即-^―=a区,解

sinZACMsinZAMCsin60°sin450

得AM=100G，在R/_AAW中，W=AM.sinZA<M7V=100^xsin60°

=150(//i).

故答案为1.

考点：正弦定埋的应用.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2x/2<r<3⑵点尸的坐标为（-;,0）

【解析】

（1）将抛物线方程V=4x与圆方程（X-3『+），2=/联立，消去V得到关于1的一元二次方程，抛物线E与圆M有

四个交点需满足关于X的一元二次方程在（0,+"）上有两个不等的实数根，根据二次函数的有关性质即可得到关于厂的

不等式组，解不等式即可.

（2）不妨设抛物线E与圆M的四个交点坐标为4&2禽），8（%,-2底），。（々,一2日），。（々,2后），据此可

表示出直线A。、8C的方程，联立方程即可表示出点尸坐标，再根据等腰梯形的面积公式可得四边形A8CO的面积S

的表达式，令t=后，由t=后二慧及（1）知0v/<1，对关于/的面积函数进行求导，判断其单调性和最值，即可求出

四边形488的面积取得最大值时f的值，进而求出点P坐标.

【详解】

y2=4x,

（1）联立抛物线与圆的方程

(x-3)2+y2=r2,

消去y,得V-2K+9-r=0.

由题意可知f一2x+9-r=0在（o,+8）上有两个不等的实数根.

A=4-4(9-r2)>0,厂

所以、解得2及<r<3,

9-r2>0,

所以厂的取值范围为一£（20,3）.

（2）根据（1）可设方程/一2工+9-r=0的两个根分别为/，Z（0<x,<x2）,

则A（X],2北），仪办,-2森），。（七,一2n）,。（毛,2后）,

且％十七=2,x1x2=9-r-,

所以直线A。、8c的方程分别为

2嘉-2口

y-2区（工一大），

再一々

尹24—）,

联立方程可得，点p的坐标为（-VvT，o）,

因为四边形43co为等腰梯形，

所以S=g（|AB|+|CO|）・（w-芯）=]46+4后）（工2—玉）

=2J。、+―2+24占,7（xi+x2）2~^x\x2~2,2+2的一，•^4-4（9-r2）,

令f=7^7e（O,l）,则/⑺=52=4（2+2，）（4-4/）二-32（/+/——]）,

所以尸（f）=_32（3/+2/7）=_32（/+1）（夕—1）,

因为所以当0<f<g时,/'（，）>0；当g<f<l时,/'（/）<0,

所以函数/（/）在（0,1）上单调递增，在g,l）上单调递减，

即当，二;时，四边形A3CO的面积S取得最大值，

因为-，国Xj=T，点尸的坐标为（“也.。），

所以当四边形ABCD的面积S取得最大值时，点P的坐标为,0）.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、

转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、

难度大型试题.

?7

18、（1）平行，证明见解析；（2）—.

4

【解析】

（1）由题意及图形的翻折规律可知/WN应是尸的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；

（2）利月条件及线面垂直的判定定理可知A3_L8E,ABA.BF,则AB_L平面8所，在利用锥体的体积公式即可.

【详解】

（1）证明：囚翻折后〃、C、。重合，

:.MN应是AA5尸的一条中位线，

/.MN//AF,

•・・MN（z平面AM,Abu平面AE7L

；・MN〃平面AEF；

（2）解：•・・AB_LBE,ABLBF,

・•・A3上面阳

且A〃=6,BE=BF=3,

…•VvA-HEF=v0

YE-AFMN

又

vvE-ABF

27

AFMN=丁

【点睛】

本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式，属于基础题.

4

19、（1）—；（2）见解析

41

【解析】

（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由超

几何分布求解即可

【详解】

（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人,

文科男生1人，女生3人.

_40_4

所以P（A）=

⑵X的可能取值为o,l,2,3,

尸（X=0）=等V，

6

P（x=i）=警=；，

C10乙

尸（X=3管磊

5）=等4

X的分布列为

X0123

131

p

62io30

113―"I：6

EX=0x-+lx-+2x—4

62105

【点睛】

本题考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题

7

20、(1)2；(2)--,3

【解析】

•y

（1）化简。（1一切=仇。-1）得1-+1=1，所以/+/=（/+/）（」_+，］,展开后利用基本不等式求最小值

2a2D\\2a2b）

即可；

（2）由（1）,原不等式可转化为|2x十1|十|入--2区8,讨论去绝对值即可求得工的取值范围.

【详解】

(1)V«,Z?G(0,+CO),a(\-b)=b(a-l)t

工a+b=2ab,/.—+-7-=1.

冬。+2肾齐+2刃衿）=2.

当且仅当＜=《且2=3即4=〃=1时，（/+从）.=2.

a2b2ab'/m,n

（2）由（1）知，（片+〃2）.=2,

对任意。力£（0,+8）,都有/（x）＜4（/+〃），

/./(x)<8,Bp|2x+l|+|x-2|<8.

①当2x-lvO时，有—2x-1—x+2W8,

,71

解得——Wx<——；

32

②当2x-12(),x-2^0时，有2x+l-/+2<8,

解得一；

2

③当了一2>()时，有2X+I+X-2W8,

解得2c43；

7

综上，—WxW3,

3

-7~

，实数x的取值范围是一§,3.

【点睛】

本题主要考查基本不等式的运用和求解含绝对值的不等式，考查学生的分类思想和计算能力，属于中档题.

3

21、(1)6=一(2)证明见解析

2

【解析】

(1)分类讨论，去绝对值求出函数/(x)的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出J'。)取最小值,

即可求〃，的值；

由得出‘+工•1\11

(2)(1)+—=1,利用“乘1法%令。+2〃+3c=(〃+2b+3c)—十—十—,化简后利用基本

a2b3c2b3c

不等式求出。+必+3c后9的最小值，即可证出:十殳+二21.

993

【详解】

—x,xW-2,

2

(1)解：fM=；工+1+|1-1|二«—1x+2C,-2C<x<1I,

2

3

—x,x>1,

2

当xe(ro,l)时，/(x)单调递减；当时，/⑴单调递增.

3

所以当X=1时，/(x)取最小值〃z=(

(2)证明：由(1)可知」+」-+」-二L

a2b3c

2bc、1。2b3ca+2b+3c

要证明：会十+->1,即证一4>1,

939999

因为。，b,c为正实数,

11

所以。+2/?+3c=(o+2Z?+3c)—+

la2b3c)

.aa2hlb3c3c

=3+——+——-+一4-一+一十一

2b3ca3ca2b

a3c(2b3c}

=3+一+一+一+一23+2+2+2=9.

[2ba；3ca(3c2h

当且仅当a=2Z>=3c,即4=3,b=3,c=l时取等号,

2

a2bc、[

所以5+5+3