北京第二外国语学院《高等数学3下》2025-2026学年第一学期期末试卷（A卷）

站名：站名：年级专业：姓名：学号：凡年级专业、姓名、学号错写、漏写或字迹不清者，成绩按零分记。…………密………………封………………线…………第1页，共1页北京第二外国语学院《高等数学3下》2025——2026学年第一学期期末试卷（A卷）注意事项:1.请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4.满分100分，考试时间120分钟专业学号姓名题号一二三四五六七八总分统分人复查人得分一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母填在题后括号内。）

1.下列函数中，在点(0,0)处连续但不可偏导的是（）

A.f(x,y)=x^2+y^2

B.f(x,y)=|x|+|y|

C.f(x,y)=xy/(x^2+y^2)(当(x,y)≠(0,0)时)

D.f(x,y)=x^2y/(x^4+y^2)(当(x,y)≠(0,0)时)

2.设函数f(x,y)=x^3+y^3-3xy，则点(1,1)是f的（）

A.极大值点

B.极小值点

C.鞍点

D.非极值点

3.二重积分∫∫DxydA，其中D:0≤x≤1,0≤y≤1，等于（）

A.1/4

B.1/2

C.1

D.2

4.下列级数中，收敛的是（）

A.∑{n=1}^∞1/n

B.∑{n=1}^∞1/n^2

C.∑{n=1}^∞n

D.∑{n=1}^∞(-1)^n

5.设z=e^{x}y，则∂z/∂x+∂z/∂y=（）

A.e^{x}(y+y)

B.e^{x}(y-y)

C.e^{x}y

D.e^{x}y

6.曲线积分∫C(x+y)ds，其中C为直线段从(0,0)到(1,1)，等于（）

A.√2

B.2

C.√2/2

D.1

7.设向量场F=(y,x,z)，则divF=（）

A.0

B.1

C.2

D.3

8.微分方程y’’+y=0的通解为（）

A.y=C1e^x+C2e^{-x}

B.y=C1x+C2x

C.y=C1x+C2

D.y=C1e^{2x}+C2e^{-2x}

9.设函数f(x,y)=x^2y，则f在点(1,2)处的方向导数沿方向(1,1)为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

10.下列积分中，值为0的是（）

A.∫{-1}^{1}xdx

B.∫{-1}^{1}x^2dx

C.∫{-1}^{1}xdx

D.∫{-1}^{1}e^xdx

11.设u=x^2+y^2+z^2，则gradu在点(1,1,1)处的大小为（）

A.√3

B.3

C.2√3

D.6

12.级数∑{n=1}^∞(-1)^n/n的收敛性为（）

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.不确定

13.设区域D:x^2+y^2≤1，则∫∫D(x^2+y^2)dA=（）

A.π/2

B.π

C.2π

D.3π/2

14.微分方程y’+y=e^{-x}的特解形式为（）

A.y_p=Ae^{-x}

B.y_p=Axe^{-x}

C.y_p=Ax^2e^{-x}

D.y_p=Ae^{x}

15.设曲面S:z=x^2+y^2，0≤z≤1，则S的面积为（）

A.π(√2+1)

B.π(√2-1)

C.π/2

D.π

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分，请将答案直接填在题中横线上，结果保留合理有效数字。）

1.函数f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y的极小值为________。

2.二重积分∫∫De^{x+y}dA，其中D:0≤x≤1,0≤y≤1，等于_________。

3.级数∑{n=1}^∞1/n(n+1)的和为_________。

4.向量场F=(y^2,x^2,z^2)在点(1,1,1)处的旋度curlF=(__________,__________,__________)。

5.微分方程y’’-4y’+4y=0的通解为y=__________。

三、计算题（本大题共3小题，每小题10分，共30分，需写出详细解题步骤，步骤缺失酌情扣分。）

1.计算三重积分∫∫∫_VzdV，其中V是由曲面z=x^2+y^2和平面z=4所围成的区域。

2.求函数f(x,y)=x^3+y^3-3x-12y+20的极值，并判断是极大值还是极小值。

3.求曲线积分∫C(x^2ydx+xy^2dy)，其中C为圆周x^2+y^2=1，方向为逆时针方向。

四、证明题（本大题共1小题，10分，需结合课程理论与逻辑推理，证明过程需严谨。）

证明：级数∑{n=1}^∞(-1)^n/n^2绝对收敛。

五、综合应用题（本大题共1小题，20分，需结合实际应用场景，写出解题思路、核心步骤与最终方案，方案需符合数学模型基础标准。）

某公司生产两种产品A和B，利润函数为P(x,y)=100x