余弦、正弦定理的应用举例课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

回顾：1.余弦定理2.正弦定理

3.三角形面积公式

关于已知两边(a,b)和其中一边的对角(A),解三角形的讨论(解的个数):Ⅰ.当A为锐角时:aACba>b,B只能为锐角，一解.a<bsinA时,sinB>1,B无解;a=bsinA时,sinB=1,B一解;bsinA<a<b,sinB<1,B两解;a≥b时,B只能为锐角，一解;BaBaaBBⅡ.当A为直角或钝角时:a≤b时,A≤B，

无解;总结:(1)所求角为小边对角，必为一解(2)所求角为大边对角，已知角必须锐角，解的个数算了再说.SSA型注：三角形中，大边对大角

利用正、余弦定理解三角形的注意点正余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．

6.4.3.3

余弦、正弦定理的应用举例在生活中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题，需要借助经纬仪以及卷尺等测量角度和距离的工具来进行测量.具体测量时，我们常常遇到类似“不能到达”的困难，这就需要我们设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要思考的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他的条件.事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一种测量方案，而且是情境与条件限制下的恰当方案.常识概念：基线【定义】在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。仰角【定义】在同一铅垂平面内，视线在水

平线上方时与水平线所夹的锐角或直角俯角【定义】在同一铅垂平面内，视线在水

平线下方时与水平线所夹的锐角或直角视角【定义】观察者的两条视线之间的夹角叫做视角方向角【定义】从正北或正南方向到目标

方向所形成的小于九十度

的角。【图示】方位角【定义】从某点的指北方向线起依

顺时针方向到目标方向线

之间的水平夹角。【图示】坡角与坡度

【图示】

水平面坡面

距离问题Ab

书P49例9

a书P49例9思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？

【结论】在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决

问题的方案，但有些过程较繁复如何找到最优的方法，最

主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最

佳的计算方式(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题

一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决.(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题

一般先把求距离问题转化为运用余弦定理,求三角形的边长的问题，然后把求未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点之间距离的测量问题，最后运用正弦定理解决.策略(1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解.(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；

当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理.注意点高度问题

书P50例10

书P50例10

[对点训练]济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60°，接着沿泉标底部方向前进15.2m，到达B点，又测得泉标顶端的仰角为80°.则李明同学求出泉标的高度为__m．(忽略李明身高，精确到1m)(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.技巧总结：测量高度问题的解题策略角度问题书P50例11

[典例]

某公司想投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60m