初中数学中考拔高竞赛试卷

初中数学中考拔高竞赛试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：初三年级

试标题:初中数学中考拔高竞赛试卷

一、选择题

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2-mx+2=0,m为实数},且A∪B=A,则m的取值范围是

(A)m=1

(B)m=2

(C)m=1或m=2

(D)m∈[1,2]

2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是

(A)1

(B)2

(C)3

(D)-3

3.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,则△ABC的面积是

(A)12

(B)15

(C)10√3

(D)12√3

4.已知抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(1,-3),且过点(0,2),则a+b+c的值是

(A)0

(B)1

(C)2

(D)-1

5.若方程x^2+px+q=0的两个根的立方和为3,则p+q的值为

(A)0

(B)1

(C)2

(D)-1

6.在直角坐标系中,将点P(3,4)先沿x轴负方向平移2个单位,再沿y轴正方向平移3个单位,所得点的坐标是

(A)(1,7)

(B)(5,1)

(C)(1,1)

(D)(5,7)

7.已知扇形的圆心角为120°,半径为3,则扇形的面积是

(A)3π

(B)6π

(C)9π

(D)π

8.不等式组

\begin{cases}

2x-1>0\\

x-3<0

\end{cases}

的解集是

(A)x>1/2

(B)x<3

(C)1/2<x<3

(D)x>3

9.若抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和B(-2,0),且过点(0,3),则抛物线的解析式是

(A)y=x^2-3x+2

(B)y=-x^2+3x-2

(C)y=x^2+3x-2

(D)y=-x^2-3x+2

10.在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,且对角线AC=5,BD=8,则四边形ABCD的面积是

(A)20

(B)24

(C)30

(D)40

二、填空题

1.若函数y=kx+b的图像经过点(2,3)和(3,5),则k+b的值是_______.

2.若x^2+mx+1可以分解为(x+1)(x+n),则m=_______.

3.在△ABC中,∠A=45°,∠B=75°,AB=2√2,则BC的值是_______.

4.若方程x^2-2xsinθ+1=0有两个相等的实数根,则cos2θ的值是_______.

5.在直角坐标系中,将抛物线y=x^2向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得抛物线的解析式是_______.

6.若三角形的三边长分别为5,7,x,且x为整数,则x的取值范围是_______.

7.在△ABC中,AD是BC边上的中线,且AD=2,BC=4,则△ABC的面积是_______.

8.若抛物线y=ax^2+bx+c的顶点坐标为(-1,2),且过点(0,1),则a+b+c的值是_______.

9.在等差数列{a_n}中,a_1=3,a_5=9,则a_10的值是_______.

10.若圆O的半径为3,弦AB的长度为2√3,则弦AB所对的圆心角的度数是_______.

三、多选题

1.下列函数中,在定义域内是增函数的是

(A)y=-2x+1

(B)y=3x^2

(C)y=1/x

(D)y=sin2x

2.在△ABC中,若AB=AC,且∠B=50°,则△ABC可能是

(A)锐角三角形

(B)钝角三角形

(C)直角三角形

(D)等腰三角形

3.下列命题中,真命题的是

(A)相等的角是对顶角

(B)平行于同一直线的两条直线平行

(C)三个角都是直角的四边形是矩形

(D)对角线互相垂直的四边形是菱形

4.若抛物线y=ax^2+bx+c的顶点在x轴上,则下列说法正确的是

(A)a=0

(B)Δ=b^2-4ac=0

(C)抛物线与y轴相交

(D)抛物线的对称轴是y轴

5.在直角坐标系中,将点P(1,2)先沿y轴负方向平移2个单位,再沿x轴正方向平移3个单位,所得点的坐标是

(A)(4,0)

(B)(4,-2)

(C)(-2,0)

(D)(-2,-2)

四、判断题

1.若a>b,则a^2>b^2

2.函数y=|x|在定义域内是减函数

3.在等腰三角形中,底角一定相等

4.若x^2+mx+n=(x+a)(x+b),则m=ab

5.直角三角形的斜边长为5,一直角边长为3,则另一直角边长为4

6.抛物线y=-2x^2+4x-1的顶点在第二象限

7.若一组数据的中位数是5,则这组数据一定有5个

8.在△ABC中,若AB=AC,则∠B=∠C

9.对角线互相平分的四边形是平行四边形

10.若方程x^2+px+q=0有两个负根,则p<0且q>0

五、问答题

1.已知函数y=mx-1与y=-x/m的图像相交于点P(1,2),求m的值

2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,求BC边上的高AD的长度

3.已知抛物线y=ax^2+bx+c过点A(1,0),B(2,0),C(0,3),求抛物线的解析式

试卷答案

一、选择题

1.(C)m=1或m=2

解析:集合A={x|x^2-3x+2=0}={1,2},由A∪B=A可得B⊆A,当B={1}时,m=1;当B={2}时,m=2;当B=∅时,Δ=m^2-8<0,即-2<m<2,但此时B=∅不满足题意,故m=1或m=2

2.(C)3

解析:函数f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和,当x∈[-2,1]时,f(x)取得最小值,最小值为1-(-2)=3

3.(A)12

解析:作AD⊥BC于D,则AD=√(AB^2-BD^2)=√(5^2-3^2)=4,故△ABC的面积=1/2×BC×AD=1/2×6×4=12

4.(A)0

解析:抛物线顶点坐标为(1,-3),可设y=a(x-1)^2-3,又过点(0,2),可得a(0-1)^2-3=2,解得a=5,故y=5(x-1)^2-3=5x^2-10x+2,则a+b+c=5-10+2=0

5.(B)1

解析:设方程的两根为x₁,x₂,则x₁+x₂=-p,x₁x₂=q,由x₁^3+x₂^3=(x₁+x₂)(x₁^2-x₁x₂+x₂^2)=(-p)(p^2-3q)=3可得p^3-3pq+3=0,即p^3+3p(-q)+3=0,由p+q=1可得q=-p-1,代入上式得p^3+3p(p+1)+3=0,即p^3+3p^2+3p+3=0,因p=-1时上式成立,故p+q=-1+(-1-1)=1

6.(A)(1,7)

解析:点P(3,4)先沿x轴负方向平移2个单位,得到点P'(1,4),再沿y轴正方向平移3个单位,得到点P'(1,7)

7.(B)6π

解析:扇形的面积=1/2×l×r=1/2×(120°/360°×2π×3)=6π

8.(C)1/2<x<3

解析:解不等式2x-1>0得x>1/2,解不等式x-3<0得x<3,故不等式组的解集为1/2<x<3

9.(A)y=x^2-3x+2

解析:抛物线与x轴交于点A(1,0)和B(-2,0),可设y=a(x-1)(x+2),又过点(0,3),可得a(0-1)(0+2)=3,解得a=3/2,故y=3/2(x-1)(x+2)=3/2x^2+3x-3,整理得y=x^2-3x+2

10.(B)24

解析:在矩形ABCD中,AC=5,BD=8,则AC^2+BD^2=AB^2+BC^2=25+64=89,故AB=BC=√89=5√89=5×3=15,四边形ABCD的面积=1/2×AC×BD=1/2×5×8=24

二、填空题

1.4

解析:将点(2,3)和(3,5)代入y=kx+b得

\begin{cases}

2k+b=3\\

3k+b=5

\end{cases}

解得k=2,b=-1,故k+b=1

2.-2

解析:x^2+mx+1=(x+1)(x+n)=x^2+(n+1)x+nx+n,故m=n+1,n=1,故m=0

3.√7

解析:∠C=180°-45°-75°=60°,作AD⊥BC于D,则AD=ABsin∠C=2√2×√3/2=√6,在直角三角形ABD中,BD=ABcos∠C=2√2×1/2=√2,故BC=BD+CD=√2+√3=√7

4.1

解析:方程x^2-2xsinθ+1=0有两个相等的实数根,则Δ=(-2sinθ)^2-4×1×1=0,解得sinθ=±1/2,故θ=π/6或5π/6,cos2θ=-cos(π/3)=-1/2,故cos2θ=1

5.y=(x+2)^2+3

解析:将抛物线y=x^2向左平移2个单位,得到y=(x+2)^2,再向上平移3个单位,得到y=(x+2)^2+3

6.2<x<12

解析:由三角形两边之和大于第三边可得5+7>x,即x<12,由三角形两边之差小于第三边可得7-5<x,即x>2,故2<x<12

7.4

解析:作BE⊥AD于E,则△ABE≌△ACD(SAS),故BE=CD=2,DE=AD/2=1,在直角三角形BDE中,BD=√(BE^2+DE^2)=√(2^2+1^2)=√5,故△ABC的面积=(1/2)×BC×AD=(1/2)×4×√5=2√5

8.-1

解析:抛物线顶点坐标为(-1,2),可设y=a(x+1)^2+2,又过点(0,1),可得a(0+1)^2+2=1,解得a=-1,故y=-(x+1)^2+2=-x^2-2x+1,则a+b+c=-1-2+1=-1

9.15

解析:等差数列{a_n}的公差d=a_5-a_1=9-3=6,故a_10=a_1+9d=3+9×6=3+54=57

10.60°或120°

解析:在圆O中,弦AB的长度为2√3,半径为3,则圆心角所对的弦长为2×3sinθ=2√3,即sinθ=√3/2,故θ=60°或120°

三、多选题

1.(A)(D)

解析:y=-2x+1是减函数,y=3x^2是增函数,y=1/x在x>0时是减函数,在x<0时是增函数,y=sin2x在[0,π/2]上是减函数,在[π/2,π]上是增函数

2.(A)(D)

解析:若AB=AC,则△ABC是等腰三角形,当∠B=50°时,△ABC是锐角三角形;当∠B=50°时,△ABC是等腰三角形

3.(B)(C)

解析:平行于同一直线的两条直线平行是平行线的性质定理;三个角都是直角的四边形是矩形的定义;对角线互相垂直的菱形是菱形的性质定理;对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,如正方形

4.(B)(C)

解析:抛物线y=ax^2+bx+c的顶点在x轴上,则Δ=b^2-4ac=0;抛物线与y轴相交,即当x=0时,y=c≠0

5.(A)(B)

解析:点P(1,2)先沿y轴负方向平移2个单位,得到点P'(1,0),再沿x轴正方向平移3个单位,得到点P'(4,0)或P'(4,-2)

四、判断题

1.×

解析:当a=0,b=-1时,a>b但a^2=b^2

2.×

解析:y=|x|在x≥0时是增函数,在x<0时是减函数

3.√

解析:等腰三角形的两个底角相等

4.√

解析:x^2+mx+n=(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab,故m=a+b,n=ab

5.√

解析:由勾股定理得另一直角边长为√(5^2-3^2)=4

6.×

解析:抛物线y=-2x^2+4x-1的顶点坐标为(-b/2a,-Δ/4a)=(-2/(-4),-8/(-8))=(1/2,1),在第一象限

7.×

解析:一组数据的中位数是5,这组数据可以有三个数,如1,5,7

8.√

解析:在等腰三角形中,AB=AC,故∠B=∠C

9.√

解析:对角线互相平分的四边形是平行四边形的定义

10.×

解析:若方程x^2+px+q=0有两个负根,则x₁+x₂=-p<0,x₁x₂=q>0,故p>0且q>0

五、问答题

1.m=-3

解析:将点P(1,2)代入y=mx-1得2=m-1,解得m=3,将点P(1,2)代入y=-x/m得2=-1/m,解得m=-1/2,故m=-3

2.A