【《SOI波导器件常用分析方法综述》3400字】

SOI波导器件常用分析方法综述目录TOC\o"1-3"\h\u22379SOI波导器件常用分析方法综述 1143611.光波导模式计算预备知识 116532.耦合模理论 223983.有限时域差分法 4146174.有效折射率法 91.光波导模式计算预备知识分析介质波导的模式有两种理论分析方法，一是使用几何光学的理论进行分析，二是从光的本质——电磁波出发，用波动光学分析法进行理论分析。几何光学分析法是把光波看成从光源射出的射线进行分析，虽然简单直观，但不能体现出光波的电磁波本质，若要描述波导的模场分布，需要用电磁波理论来分析。也就是求解介质中一定边界条件约束下，麦克斯韦方程组的解： (8-1)再引入物质方程： (8-2)其中、分别是真空介电常数和相对介电常数，，分别是真空磁导率和介质相对磁导率。将物质方程代入麦克斯韦方程组，可得： (8-3)上式即为亥姆霍兹方程，通过求解方程即可得到场分布情况。2.耦合模理论导模是能够在光纤或波导内稳定传输的电磁场分布，理想情况下的导模会沿介质轴线传播而不受干扰。但在实际加工制造中，波导的结构是不均匀的，总存在折射率不均匀或芯区宽度有轻微或很大的变化，会对波导中光波的传输产生微扰。耦合模理论就是利用微扰法来研究波导中各模式之间的耦合的理论。在本节中将从最基础的光波导——轴向均匀光波导出发，严格推导耦合模方程并阐述耦合模理论。在轴向均匀光波导中，存在许多特定的本征模式，这些模式之间满足正交关系。当这些光波导相互靠近时，模式间要么发生耦合，要么相互干涉。当模式耦合后的电磁场分布与耦合前相差不大时，耦合后的波导内部电磁场分布可用微扰法来分析。以光波导为例，当注入的光波在无微扰光波导中稳定传播时，其电磁场分布满足波导的本征值方程，此模式为光波导支持的本征模，若光波导在模式的传播方向是均匀的，其电场分布可表示为： (8-4)其中是第j个本征模的传播常数，是本征模模场，满足以下波动方程： (8-5)其中是系统内不存在微扰时的介电张量，此时波导中传播的电磁波的电场分量可以表示为 (8-6)其中Aj是常数，代表电磁场的第j个模式的振幅，这些本征模满足的正交关系 (8-7)由于介质波导满足，正交关系可以变换为 (8-8)若系统中存在微扰，介质波导的介电张量可以表示为 (8-9)其中是由于微扰存在导致的介电张量的变化部分。系统中的电场分量可写为： (8-10)有所区别的是模式j的振幅不再是常数，而是会随着参量Z的变化发生变化，这说明两波导之间存在模式间的耦合。再将方程代入波动方程可得 (8-11)由于系统处于微扰近似的条件下，因此波导内模式变化十分缓慢，满足近似条件： (8-12)于是方程可化简为 (8-13)其中耦合系数为 (8-14)因此，以两个模式的同向耦合为例，即，方程可展开为 (8-15)其中振幅函数为 (8-16)代入原式，可得 (8-17)此即两个模式之间耦合的耦合模方程，耦合模方程是耦合模理论最核心的内容，其是一个完备自洽的解决方案，可以用其描述波导中模式耦合的全部性质。也是基于SOI光波导的重要分析方法之一。对研究模式间的耦合，评估串扰，设计集成光电子器件有重要指导意义。3.有限时域差分法1966年，Yee提出了有限时域差分(Finitedifferencetimedomain，FDTD)数值分析方法，并称之为有限时域差分算法，经过几十年的发展以后，现在已经成为非常成熟的数值计算方法，是目前求解麦克斯韦方程组最为精确的算法，因此广泛适用于求解电磁波的传输、衍射和散射等问题。该分析方法的主要思想是，将电场和磁场在空间中进行离散，构建起一个离散的长方体矢量网格，每个方向上离散的矢量网格有确定的差值。同时在时间域进行离散，在时间轴上每一个电场分量和磁场分量相差半个时间步，根据Yee的模型，只要给定初始位置的电磁场表达式和空间各处的边界条件，就能根据上一时刻的该点及周围各点的电磁场分量值，由麦克斯韦方程组和边界条件计算出空间中任意位置的电磁场分布，从而实现对光波导器件中光传输模式的计算。 (8-18)在均匀各项同性无源介质中，将时变的Maxwell方程组中上述两个旋度方程在直角坐标系中展开，可以得到整个系统的电磁场在x,y,z三个方向分量的一阶耦合偏微分方程组，如下所示： (8-19)如图所示，用一长方体将待求解电磁场分量的求解区域包含在内，并在x,y,z三个方向上以单位长度对该长方体进行离散化处理，建立离散网格，其单位长度可根据长方体的参数设置，步长分别为，一般而言沿着光的传播方向取值不应大于波长的五分之一，在截面方向不应小于二分之一。网格节点的标号分别以i,j,k表示。因此，空间中任意一点（i,j,k）位置坐标可表示为图8-1：FDTD求解域网格示意图若将时间轴也以时间步长进行离散，则在第（i，j，k）个节点上第n个时刻的任一场量值可表示为： (8-20)(8-20)式中的F表示系统中任意位置的任意场量，其中i,j,k都是整数表征场量的空间位置，整数n为时间差分单元。Yee考虑到电磁场在空间呈正交关系，提出了空间中构建有限时域差分网络模型的方式以实现空间坐标与时间变量的差分近似。基于Yee网格中六个场分量的表达式及其相对位置，结合式(8-20)和亥姆霍兹方程，对差分网格内的六个场分量进行差分近似，根据其空间和时间变量满足的一阶耦合偏微分方程组，可得到如下的方程组： (8-21) (8-22) (8-23)(8-24) (8-25) (8-26)由上述方程，可以很直观的看出，只要知道了上一时间节点时，差分网格中该点的电磁场分量值以及该点正交平面上的相邻节点在同一时间节点的电磁场分量，以及该介质中的若干参量，包括介质的介电常数和介质的磁导率，就能求得差分网格中任意该位置坐标处现在时刻的电磁场分量值，然后利用差分方程和考虑了激励的差分方程对所有三维网格节点上的场分量进行逐点扫描并按时间步长进行迭代计算就可获得在整个结构上的传播情况。需要注意的是在介质边界上的介电常数要比直接取或要精确。由于FDTD算法的本质是一个不断进行的迭代过程，随着运算的进行，时间步逐渐增长，每一步产生的数字化误差会逐渐积累，若不加以约束和限制，误差会逐渐增至可接受的范围之外，因而保证算法的稳定性是一个很重要的问题，为了简单器件，我们以一维空间中的标量亥姆霍兹方程为例来讨论稳定条件。 (8-27)我们可以把波函数的表达式写成如下形式， (8-28)把波函数离散化后得到， (8-29)其中，。因此，为了使场变得稳定，必须满足， (8-30)带入式中，化简得到 (8-31)进一步化简可得到如下简洁的形式： (8-32)其中A定义为： (8-33)方程的两个根分别为： (8-34)因此，若要场解始终保持稳定，A必须满足故 (8-35)其中 (8-36)推广到三维空间可以得到，为了避免数值的不稳定性，他们必须满足下面的稳定性条件： (8-37)式中Vmax取工作模式的最大相速值，相当于按最坏条件选择时间步长 (8-38)特别的，在计算时时间因子不能无限制地取小，否则不但大大增加计算时所需的迭代次数，增大了运算量和运算时间，还会降低频率的分辨率使结果的精度不增反降。因此一般在运算时取值遵循的原则是，在保证求解系统稳定的前提条件下，尽量选择较大的。4.有效折射率法有效折射率法是计算波导模式的一种常用方法，相比于有限元分析法和马卡梯里法，该方法在准确度和运算量上有明显优势。该计算方法的核心思想是将一个二维的矩形波导近似为两个一维平面波导的组合，因此只需要对一维平面波导进行计算，从而简化了计算量，其分析过程如图所示。图8-2：脊型波导横截面图8-3：将脊型波导x向划分为3部分图8-4：将脊型波导沿y向划分图8-4：由x向3部分得到的等效折射率再构成y向平面波导以脊型波导为例，首先将脊型波导分成三个一维的平面波导，如图所示。然后分别利用平面波导的本征方程算出三个平面波导的模式折射率或有效折射率Neff，再将三个有效折射率代入图8-4所示的等效平面波导的本征方程中，求出传播常数。以模为例，其在平面波导中为TE模，利用TE模在平面波导中的本征值方程， (8-39)其中，2d为平面波导厚度，分别为芯区波束的y分量和上下包层中光波的衰减系数，分别用传播常数表示，得： (8-40)代入方程(8-39)即可解出，进而由得到平面波导的有效折射率。接下来考虑图8-4，在该图中平面波导的方向为竖直方向，此时模相当于该平面波导中的TM模，利用TM模在平面波导中的本征值方程， (8-41)其中，2a为该平面波导厚度，也就是图（3.2）所示的脊波导的宽度，分别为芯区波数的x分量和左右包层中的光波衰减系数，分别用传播常数表示，得： (8-42)然后将方程（8-42）代入方程（8-41）