平面与平面垂直课件-高一下学期数学人教B版

11.4空间中的垂直关系

11.4.2平面与平面垂直第十一章

立体几何初步数学人教B版必修第四册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析高考考向分析06高考模拟05知识测评学习目标01必备知识解读02知识点1

二面角1

二面角的定义

一般地，平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面.2

二面角的表示

图11.4.2-13

二面角的平面角自然语言图形语言符号语言在二面角

的棱上任取一点

（二面角的平面角的大小与在

上的位置无关）,以为垂足，分别在半平面

和

内作垂直于棱的射线和

，则射线和

所成的角称为二面角的平面角.,

,

,

,

,

为二面角

的平面角..

.4

二面角的大小

.

..

..

..

.典例详解例1-1

下列说法正确的是(

)B

例1-2

给出下列角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角；④两个平面所成的角．其中可能为钝角的有(

)BA.0个

B.1个

C.2个

D.3个

知识点2

平面与平面垂直的判定1

平面与平面垂直的定义

图11.4.2-2.

.2

平面与平面垂直的判定定理（简称为面面垂直的判定定理）自然语言图形语言符号语言如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.如果

,

,则

.简述为：若线面垂直，则面面垂直.特别提醒（1）由该定理可知要证明平面与平面垂直，可转化为寻找平面的垂线，即证线面垂直.

（2）平面与平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的平面的依据（如建筑工人在砌墙时，为了保证所砌墙面与水平面垂直，常用铅锤等先构造出一条与水平面垂直的线，实际上就是依据这个原理）.典例详解

A

【想一想丨问题质疑】过平面外一点，有且只有一个与已知平面垂直的平面吗?

知识点3

平面与平面垂直的性质1

平面与平面垂直的性质定理（简称为面面垂直的性质定理）自然语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.如果

,

，

,

，则

.简述为：若面面垂直，则线面垂直.特别提醒

（1）平面与平面垂直的性质定理的条件有三个：①两个平面垂直；②有一条直线在其中一个平面内；③这条直线垂直于两个平面的交线.

（2）如果两个平面垂直，那么分别在这两个平面内的两条直线可能平行、相交（含垂直相交）或异面..

.2

平面与平面垂直的其他性质与结论

（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

（2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.

（3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.

（4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.

（5）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.典例详解

C

图11.4.2-4

释疑惑

重难拓展知识点4

求二面角的一个特殊方法——

射影面积法

图11.4.2-3

因此，我们得到求二面角的另外一种方法——射影面积法（解答题使用此公式时需要先证明）.如果能够找到一个半平面内的图形在另一个半平面内的射影图形，那么射影图形的面积与原图形的面积的比值即二面角的余弦值的绝对值..

.典例详解

图11.4.2-5

知识点5

空间位置关系的相互转化1

判定直线与直线垂直的方法

2

判定直线与平面垂直的方法

.

.3

证明面面垂直的方法

（1）利用平面与平面垂直的定义，若两个平面所成的二面角是直二面角，则两平面垂直.

（2）利用平面与平面垂直的判定定理，若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直.

（3）若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直.

（4）若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面.4

垂直关系之间的相互转化5

平行关系与垂直关系之间的相互转化典例详解

AD

图11.4.2-6

题型解析03题型1

求二面

图11.4.2-7

图11.4.2-8

图11.4.2-9求二面角大小的步骤一般情况下，先作出（找出）二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着求出这个角的大小，最后说明二面角为多少度．这个过程可以简记为：作（找）、证、求、答．【变式题】图11.4.2-10

图D

11.4.2-1

.

..

.图11.4.2-11

B

图D

11.4.2-2

.

..

.

题型2

面面垂直的判定定理的应用图11.4.2-12

图11.4.2-13

求证：

利用判定定理证明面面垂直的一般方法先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.【变式题】

图11.4.2-14求证：

图D

11.4.2-3

图D

11.4.2-3

题型3

面面垂直的性质定理的应用

图11.4.2-15

图11.4.2-16

面面垂直的性质定理的应用思路在空间图形中，如已知条件中有面面垂直，一般需要作辅助线，应用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而可得线线垂直.在运用面面垂直的性质定理时，找准两平面的交线是关键.题型4

垂直关系的相互转化

图11.4.2-17

图11.4.2-18

.

.

图11.4.2-18

（1）在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键.（2）空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时，要通过几何图形自身的特点，如等腰（等边）三角形的“三线合一”、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等，得出一些求解题目所需要的条件.对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决.【变式题】图11.4.2-19

高考考向分析04考情揭秘高考对本节的考查主要是面面垂直的判定定理和性质定理，一般结合线线、线面的垂直关系进行综合考查，通常作为解答题的第一问证明，根据题意作出辅助线是解题的关键.求二面角的大小也是高考的高频考点，在必修阶段，主要是通过找出或作出二面角的平面角求解二面角的大小，找准二面角的平面角是解题的关键.将来在选择性必修第一册中，会学习用空间向量求解空间角的大小.试题难度一般为中等.核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出面面的垂直关系）,逻辑推理（判定定理、性质定理的应用）,数学运算（二面角的求解）.考向1

二面角的大小图11.4.2-20

.

.

.

.

C

图11.4.2-23

图11.4.2-24例18

新情境

坡屋顶

(2023·北京)坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图11.4.2-24，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全C

图11.4.2-25

考向2

面面垂直的判定定理与性质定理的应用1

面面垂直的判定定理的应用

C

A

图11.4.2-26

图11.4.2-27

图11.4.2-28

图11.4.2-29

图11.4.2-30

图11.4.2-31

2

面面垂直背景下的体积问题

图11.4.2-32

图11.4.2-33

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.图11.4.2-33

高考新题型专练

AC

图D

11.4.2-4

BCA.

B.

C.

D.

知识测评05建议时间：35分钟图11.4.2-11.(2025·上海市松江区立达中学月考)如图11.4.2-1（1）（2）所示,上海海关大楼的钟楼可以看作一个正四棱柱,且四个侧面均悬挂有时钟.则每天从0点到12点（包括0点,但不包括12点）,相邻两个时钟的时针出现两两相互垂直的情况的次数为(

)BA.0

B.2

C.4

D.12【解析】相邻两个时钟的时针分别在3点和

9点时相互垂直.

D

图D11.4.2-1

A

图D

11.4.2-2

C

图11.4.2-2

BCD

图11.4.2-3图D

11.4.2-3

图11.4.2-4

图D

11.4.2-4

图11.4.2-5

高考模拟06