第13讲二次函数的图象与性质（一）

第三章函数及其图象第13讲二次函数的图象与性质（一）知识点一：二次函数的概念关键点拨及对应举例1.二次函数的定义一般地，形如

y＝ax2＋bx＋c

（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项例：若函数y＝（a－1）x2是二次函数，则a的取值范围是

a≠

y＝ax2＋bx＋c

a≠1

知识点一：二次函数的概念关键点拨及对应举例2.二次函数的三种表达式（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c.（2）顶点式：y＝a（x－m）2＋k，其中顶点坐标为（m，k）.（3）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2），其中x1，x2为抛物线与x轴交点的横坐标若已知抛物线顶点，可设顶点式；已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式；其余则设一般式知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象与性质图象

y＝ax2＋bx＋c（a＞0）

y＝ax2＋bx＋c（a＜0）开口向

上向

下对称轴直线x＝－

顶点坐标

上

下知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象与性质增减性当x≥－

时，y随x的增大而

增大；当x≤－

时，y随x的增大而

减

小当x≥－

时，y随x的增大而

减小；当x≤－

时，y随x的增大而

增大最值x＝－

时，y最小＝

x＝－

时，y最大＝

增大减小减小

增大关键点拨及对应举例比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；③图象法：画出草图，当a＞0时，点与对称轴的距离越近，值越小；当a＜0时，点与对称轴的距离越近，值越大.例：当0≤x≤4时，函数y＝x2－2x－3的最小值为

－4

，最大值为

5

－4

5

知识点三：二次函数的平移关键点拨及对应举例4.平移与表达式的关系y＝ax2的图象

y＝a（x＋m）2的图象

y＝a（x＋m）2＋k的图象.注意：抛物线平移紧抓顶点坐标的平移例：将抛物线y＝x2沿x轴向右平移2个单位长度所得抛物线的表达式为

y＝（x－2）2

y＝（x－2）2

1.

关于二次函数y＝2（x－4）2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是（

D

）A.

有最大值4B.

有最小值4C.

有最大值6D.

有最小值62.

关于二次函数y＝x2＋2x－8，下列说法正确的是（

D

）A.

图象的对称轴在y轴的右侧B.

图象与y轴的交点坐标为（0，8）C.

图象与x轴的交点坐标为（－2，0）和（4，0）D.

y的最小值为－9DD3.

已知（－3，y1），（－2，y2），（1，y3）是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则（

B

）A.

y3＜y2＜y1B.

y3＜y1＜y2C.

y2＜y3＜y1D.

y1＜y3＜y2B4.

把抛物线y＝x2先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式是

y＝（x－2）2＋3

.5.

已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为

y＝2＋x－

.y＝（x－2）2＋3

6.

已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），与x轴交于点A（－3，0），B（1，0），与y轴的负半轴交于点C，且OC＝OA.

（1）求二次函数的表达式.【答案】（1）由题意得点C（0，－3），设抛物线的表达式为y＝a（x＋3）（x－1）＝a（x2＋2x－3），则－3a＝－3，则a＝1，则抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.（2）若当m≤x≤m＋3时，函数的最小值为5，求m的值.【答案】（2）∵y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，∴对称轴为直线x＝－1，当m＋3≤－1时，即m≤－4，当x＝m＋3时，ymin＝（m＋3）2＋2（m＋3）－3＝5，解得m＝－1（舍去）或－7；当m≥－1