北师大版八年级数学下册第一章同步练习

亲爱的同学们，欢迎来到北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》的同步练习。三角形是平面几何的基础，而本章的证明则是培养我们逻辑推理能力和空间想象能力的关键。通过一系列严谨的推理和论证，我们将更深入地理解三角形的性质与判定，为后续更复杂的几何学习奠定坚实基础。本同步练习将伴随你梳理知识要点，巩固基础，并逐步提升解题能力。1.1等腰三角形（一）——全等三角形的性质与判定回顾及等腰三角形的性质知识要点回顾：*全等三角形的对应边相等，对应角相等。*判定三角形全等的方法：SSS,SAS,ASA,AAS,以及直角三角形的HL。*等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。*等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（“三线合一”）。基础巩固练习：1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠C=______，∠A=______。（*请在此处自行绘制简单示意图：一个等腰三角形ABC，AB=AC，顶点为A，底边为BC*）2.已知等腰三角形的一个内角是50°，则它的另外两个内角分别是多少？3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线。求证：AD平分∠BAC且AD⊥BC。（*请在此处自行绘制简单示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，AD为底边BC上的中线*）能力提升练习：4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各内角的度数。（*请在此处自行绘制简单示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，点D在AC上，连接BD，使得BD=BC=AD*）1.2等腰三角形（二）——等腰三角形的判定及等边三角形的性质与判定知识要点回顾：*如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。*等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。*三个角都相等的三角形是等边三角形。*有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。基础巩固练习：1.如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC。（*请在此处自行绘制简单示意图：三角形ABC，其中∠B=∠C*）2.已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：△ADE是等边三角形。3.下列条件中，不能判定△ABC是等边三角形的是（）A.AB=BC=ACB.∠A=∠B=∠CC.AB=AC，∠B=60°D.AB=AC，∠B=∠C能力提升练习：4.如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD。请判断DB与DE的数量关系，并证明你的结论。（*请在此处自行绘制简单示意图：等边三角形ABC，D为AC中点，E在BC延长线上，CE=CD，连接BD、DE*）1.3等腰三角形（三）——含30°角的直角三角形的性质知识要点回顾：*在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。基础巩固练习：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，则AB=______cm。2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，∠B=30°，则AC=______cm，BC=______cm（结果可保留根号）。（*请在此处自行绘制简单示意图：直角三角形ABC，∠C=90°，∠B=30°*）能力提升练习：3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD是AB边上的高，AB=8。求BD的长。（*请在此处自行绘制简单示意图：直角三角形ABC，∠C=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D*）1.4直角三角形（一）——直角三角形的性质与判定知识要点回顾：*直角三角形的两个锐角互余。*勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。*如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。*斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。基础巩固练习：1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，则c=______。2.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A.2，3，4B.3，4，5C.4，5，6D.5，6，73.如图，已知∠C=∠D=90°，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需添加的一个条件是______。（*请在此处自行绘制简单示意图：两个直角三角形ABC和ABD，共享斜边AB，∠C和∠D为直角*）能力提升练习：4.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13。求四边形ABCD的面积。（*请在此处自行绘制简单示意图：四边形ABCD，∠B为直角，连接AC*）1.5直角三角形（二）——线段的垂直平分线知识要点回顾：*线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。*到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。*三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等（外心）。基础巩固练习：1.如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，则PA______PB（填“>”、“<”或“=”）。（*请在此处自行绘制简单示意图：直线MN垂直平分线段AB，点P为MN上任意一点，连接PA、PB*）2.已知线段AB，用尺规作图法作出线段AB的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）。（*请在此处预留作图空间*）3.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD。若AC=5，BC=3，则△BCD的周长为______。（*请在此处自行绘制简单示意图：三角形ABC，AB的垂直平分线交AC于D，连接BD*）能力提升练习：4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE。若∠A=40°，求∠EBC的度数。（*请在此处自行绘制简单示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，DE垂直平分AB，交AB于D，AC于E，连接BE*）1.6角平分线知识要点回顾：*角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。*在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。*三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等（内心）。基础巩固练习：1.如图，OP是∠AOB的平分线，点C在OP上，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，则CD______CE（填“>”、“<”或“=”）。（*请在此处自行绘制简单示意图：∠AOB，OP为其平分线，点C在OP上，CD⊥OA，CE⊥OB*）2.已知∠AOB，用尺规作图法作出∠AOB的平分线（不写作法，保留作图痕迹）。（*请在此处预留作图空间*）3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，则点D到AB的距离为______cm。（*请在此处自行绘制简单示意图：直角三角形ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，交BC于D*）能力提升练习：4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：AD平分∠BAC。（*请在此处自行绘制简单示意图：三角形ABC，∠B=∠C，D为BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC*）第一章回顾与思考综合应用练习：1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CE是△ABC的角平分线，相交于点O。求证：OB=OC。（*请在此处自行绘制简单示意图：等腰三角形ABC，AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，交于点O*）2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E。若AB=6cm，求△DBE的周长。（*请在此处自行绘制简单示意图：等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E*）3.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。（*请在此处自行绘制简单示意图：直角三角形ABC，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD延长线于E*）（提示：延长BA、CE交于点F，构造全等三角形）学习反思：*在