双曲线的简单几何性质1

3.2.2双曲线的简单几何性质1第三章圆锥曲线的方程教学目标

理解并掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质(重点)01

双曲线的离心率几何意义的导入、理解及求法（难点）02直线与双曲线位置关系（重点、难点）03学科素养

双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等性质直观想象

双曲线与椭圆位置关系

逻辑推理

利用双曲线的几何性质解决简单问数学运算双曲线的定义:

平面上到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．

两个定点F1

、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距．焦点在坐标轴上，且关于原点对称的双曲线的标准方程为：

双曲线的标准方程的特点：（1）左边是两个分式的平方差，右边是1；（2）三个参数a、b、c满足

c²=a²＋

b²；

（3）系数为正的项的分母是a²，系数为负的项的分母就是

b²；（4）x2与y2哪一个系数是正的，则焦点就在哪一个轴上．

观察双曲线的图象并思考下列问题：1．范围：图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高

分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．2．对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心．图象是

不是轴对称图形？如果是，找出对称轴．3．通过观察，图象还有没有其他的性质？如果有，试作出说明．

范围

这说明双曲线两支分别位于直线

x=－a

的左侧与直线x=a

的右侧，向左右两边无限延伸．

范围

我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围．双曲线的任意一点的坐标(x，y)都满足条件：对称性

顶点

线段A1A2，B1B2分别叫作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b．

双曲线的中心O分别将实轴、虚轴等分，a和b分别叫作实半轴长和虚半轴长．

实轴与虚轴等长的双曲线，称为等轴双曲线．顶点

线段A1A2，B1B2分别叫作双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b．

双曲线的中心O分别将实轴、虚轴等分，a和b分别叫作实半轴长和虚半轴长．

离心率

因为c

>

a

>

0，所以双曲线的离心率

e

>1．

e

越大，

双曲线的开口越大．

类比椭圆的简单几何性质我们可以得到双曲线的简单几何性质图象方程性质范围对称性顶点离心率yxF1F2OMA1A2B2B1F2F1MxOyA1A2B2B1

双曲线的渐近线：yB2A1A2

B1

xOF2F1••

双曲线的形状与离心率的关系：yB2A1A2

B1

xOF2F1••yB2A1A2

B1

xOF2F1••方程图形范围对称性顶点离心率渐近线关于x,y轴对称,

关于原点对称,

对称中心叫做双曲线的中心

A1(-a,0),A2(a,0)线段A1A2叫实轴,长度为2a线段B1B2叫虚轴,长度为2bA1(0,-a),A2(0,

a)线段A1A2叫实轴,长度为2a线段B1B2叫虚轴,长度为2byB2A1A2

B1

xOF2F1••xyB1A2A1

B2

OF1F2••等轴双曲线：yB2A1A2

B1

xOF2F1••yB2A1A2

B1

xOF2F1••

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线

例1.求双曲线9y2–16x2=144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程,并画出双曲线草图.解：3-34-4xyO••F1(0,-5)F2(0,5)1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.课本P124课本P124课本P124课本P1241.根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组