古典概型课件-高一下学期数学人教A版-1

第十章概率10.1.3古典概型学习目标1.了解随机事件概率的含义及表示.2.理解古典概型的特点和概率公式.3.了解古典概型的一般求解思路和策略.基础落实·必备知识一遍过知识点1

随机事件的概率对随机事件

的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用

表示.

自主诊断判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)概率就是用一个数值来衡量随机事件发生可能性的大小.(

)(2)抛掷一枚硬币,正面向上的概率为0.5.(

)发生可能性大小

P(A)√√知识点2

古典概型1.有限性:样本空间的样本点只有有限个.

缺一不可

2.等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.思考辨析从所有整数中任取一个数的试验是古典概型试验吗?提示

不是.因为样本空间的样本点有无限个.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等.(

)(2)古典概型中样本点只有有限个.(

)(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的.(

)√√√2.下列问题中是古典概型的是(

)①从6名同学中,随机选出4人参加数学竞赛,求每人被选中的概率;②同时掷两枚质地均匀的骰子,求点数之和为7的概率;③近三天中有一天降雨的概率;④10个人站成一排,求甲、乙相邻的概率.

A.①②③ B.①②④C.②③④

D.①③④B解析

①②④为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,而③不适合等可能性,故不是古典概型.知识点3

古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==

.

注意与后面将要学习的概率与频率的关系式进行区分其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.思考辨析在古典概型的概率公式中,n与k的大小关系是怎样的?提示

k≤n.自主诊断1.在长分别为1cm、2cm、3cm、4cm的四条线段中,任取三条,这三条线段能构成三角形的概率为(

)C解析

从四条线段中任意取三条,共有:(1

cm,2

cm,3

cm),(1

cm,2

cm,4

cm),(1

cm,3

cm,4

cm),(2

cm,3

cm,4

cm),四种情况,其中三条线段能构成三角形只有(2

cm,3

cm,4

cm)一种情况,故能构成三角形的概率为

.2.从2名男生和3名女生中任选2人参加学校志愿服务,则选中的2人中恰有1名男生的概率为(

)A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3A解析

设2名男同学为A1,A2,3名女同学为B1,B2,B3,从以上5名同学中任选2人,样本空间为Ω={A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3},共10个样本点,设事件A={选中的2人恰有1名男生},则A={A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3},A中共有6个样本点,则P(A)==0.6,故选A.3.(2025陕西高一期末)现从1,2,3,5这4个数中随机选取两个数,则这两个数均大于1的概率为

.

4.(苏教版教材例题)一只不透明的口袋内装有大小相同的5个球,其中3个白球、2个黑球,“从中一次摸出2个球,结果都是白球”记为事件A,求P(A).解

分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,样本点(1,2)表示“摸到1,2号球”(余类推),则样本空间Ω为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},A={(1,2),(1,3),(2,3)}.重难探究·能力素养速提升探究点一古典概型的判断【例1】

下列问题是古典概型吗?为什么?(1)向一个圆面内部随机地投一个点,求该点落在圆面内一个正方形内的概率;(2)向上抛掷一枚质量不均匀的硬币,求正面朝上的概率;(3)从1,2,3,…,100这100个整数中任意取出一个整数,求取得偶数的概率.解

(1)不是古典概型.因为圆面内有无限多个点,投出的那个点有无限多种结果,与古典概型定义中“样本空间的样本点个数是有限的”矛盾.(2)不是古典概型.因为硬币质量不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的可能性不相等,与古典概型中“每个样本点发生的可能性相等”矛盾.(3)是古典概型.因为在试验中所有样本点是有限个,而且每个整数被抽到的可能性相等.规律方法

1.一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型:(1)样本点个数有限,但非等可能.(2)样本点个数无限,但等可能.(3)样本点个数无限,也不等可能.变式训练1(2025山东济南高一期末)下列试验中一定是古典概型的是(

)A.在适宜的条件下,种下一粒大豆,观察它是否发芽B.不透明的袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球C.向一个圆面内随机地投一个点D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环,命中9环,…,命中0环B解析对于A,“发芽”或“不发芽”的概率一般不同,不满足等可能性,故A错误;对于B,从4球中任取一球,每个球被取出的可能性相等,故B正确;对于C,样本点有无限个,不满足有限性,故C错误;对于D,由于射击运动员向一靶心进行射击,命中10环,命中9环,…,命中0环的可能性一般不相等,故D错误.故选B.探究点二古典概型的概率计算角度1.简单的古典概型问题【例2】

(苏教版教材例题)用3种不同颜色给图中2个矩形随机涂色,每个矩形只涂1种颜色,求:(1)2个矩形颜色相同的概率;(2)2个矩形颜色不同的概率.解

(1)3种不同颜色分别记为1,2,3,样本点(1,3)表示“第一个矩形涂1号色,第二个矩形涂3号色”(余类推),则样本空间为Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}.记“2个矩形颜色相同”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3)}.规律方法

1.求解古典概型“四步法”2.列举出样本点的各种情况是核心,常用方法除列表法、树形图外还可以借用坐标系来表示二维或三维问题.变式训练2(北师大版教材习题)连续抛掷一枚均匀的骰子2次,试求下列事件的概率:(1)第一次掷出的点数恰好比第二次的大3;(2)第一次掷出的点数比第二次的大;(3)2次掷出的点数均为偶数.解

两次掷出的点数互不影响,可用列举法写出样本空间:Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共包含36个样本点,每个样本点出现的可能性相同.(1)设事件A=“第一次掷出的点数恰好比第二次的大3”,则A={(4,1),(5,2),(6,3)},共含有3个样本点,所以(2)设事件B=“第一次掷出的点数比第二次的大”,则B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共包含15个样本点,所以(3)设事件C=“2次掷出的点数均为偶数”,则C={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)},共包含9个样本点,角度2.古典概型中的“放回”与“不放回”问题【例3】

从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的3件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率;(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少?解

(1)每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个样本点组成,这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件A由4个样本点组成,(2)有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},共9个样本点.用B表示“恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.事件B由4个样本点组成,所以P(B)=.规律方法

关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点,解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的.变式训练3从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(

)D解析

根据题意,不妨用(x,y)表示两次抽取得到的样本点,其中x代表第一次抽取的数字,y代表第二次抽取的数字.故所有抽取的可能有如下25种:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5).满足抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的有如下10种:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),根据古典概型的概率计算公式可得,该事件的概率故选D.探究点三古典概型与统计相结合【例4】

某甜品公司开发了一款甜品,现邀请甲、乙两地部分顾客进行试吃,并收集顾客对该产品的意见以及评分,所得数据统计如图所示.(1)试通过计算比较甲、乙两地顾客评分平均数的大小(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若按照分层随机抽样的方法从甲地分数在[40,80)的顾客中抽取7人,再从这7人中随机抽取2人,求恰有1人的分数在[40,60)的概率.解

(1)甲地顾客评分的平均数为30×0.1+50×0.3+70×0.4+90×0.2=64;乙地顾客评分的平均数为30×0.3+50×0.2+70×0.4+90×0.1=56.故甲地顾客评分的平均数大于乙地.(2)依题意,分数在[40,60)的抽取3人,记为a,b,c,分数在[60,80)的抽取4人,记为A,B,C,D.则任取2人,所有的情况为(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,c),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(c,A),(c,B),(c,C),(c,D),(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共21种.其中满足条件的为(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(c,A),(c,B),(c,C),(c,D),共12种.故所求概率规律方法

概率问题常常与统计问题综合考查,在此类问题中,概率与频率的区别并不是十分明显,通常直接用题目中的频率代替概率进行计算.变式训练4已知2024年某地区有50名学生参加全国高中数学联赛,用他们取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求实数m的值并估计这50名学生的成绩的第70百分位数;(2)若成绩在100分及以上的试卷需要组委会抽样进行二次审阅,评审员在这50名学生的成绩中按照分层随机抽样从[100,110)和[110,120]内抽取3人的试卷进行审阅,已知A同学的成绩是105分,E同学的成绩是111分,求这两名同学的试卷同时被抽到的概率.解

(1)由题图可知,0.12+0.24+0.32+10m+0.08+0.04=1,解得m=0.02.设这50名学生的成绩的第70百分位数为a,由于前三个矩形面积0.12+0.24+0.32<0.7,前四个矩形面积0.12+0.24+0.32+0.2>0.7,故得0.12+0.24+0.32+(a-90)×0.02=0.7,解得a=91,即这50名学生成绩的第70百分位数约为91.(2)由题图知,成绩在[100,110)内的有50×0.08=4(人),成绩在[110,120]内的有50×0.04=2(人),根据分层随机抽样的原则,在[100,110)内抽2人,在[110,120]内抽1人,设A,B,C,D四名同学的成绩在[100,110),E,F两名同学的成绩在[110,120],根据分层随机抽样的原则有ABE,ABF,ACE,ACF,ADE,ADF,BCE,BCF,BDE,BDF,CDE,CDF,共12个样本本节要点归纳1.知识清单:(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.(3)古典概型与统计相结合.2.方法归纳:列举法、树状图法.3.常见误区:列举样本点时,要按照一定的顺序,力求不重不漏.学以致用·随堂检测促达标123451.等可能地从集合{1,2,3}的所有子集中任选一个,选到非空真子集的概率为(

)B解析

集合{1,2,3}的所有子集有:⌀,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共8个,它们等可能,选到非空真子集的事件A有:{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},共6个,所以选到非空真子集的概率为123452.如图所示的三角形上各有一个数字,若六个三角形上的数字之和为26,则称该图形是“和谐图形”.已知其中四个三角形上的数字之和为20,现从1,2,3,4,5中任取两个数字标在另外两个三角形上,则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为(

)B解析

由题意可知,若该图形为“和谐图形”,则另外两个三角形上的数字之和恰为26-20=6,从1,2,3,4,5中任取两个数字的样本点总数为10个,其中“两个数字之和为6”的样本点数为2个,则所求概率为1234512345

D

12345123454.三张卡片上分别写上字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词