福建龙岩市连城县第一中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学试题（含答案）

连城一中2025—2026学年下期高一年级月考1数学试卷满分:150分考试时间:120分钟一、选择题:共8小题,共40分.每小题只有一项是符合题目要求的.1.若OM=1,−2,ON=A.0,1B.2,−52.已知复数z满足1−i1+z=A.1B.2C.3D.43.已知a,b为单位向量，且3a−5b=7，则A.π3B.2π3C.π4.已知平面向量m=1,−2,n=6,8A.2,−4C.−355.设△ABC的面积为S,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形6.已知M为△ABC所在平面内的一点，3AB=2AMA.43AB+12AC7.如图,某区域地面有四个5G基站,分别为A,B,C,D.已知C,D两个基站建在河的南岸,距离为20 km,基站A,BA.106 kmB.303−8.已知平面向量a,b,e,且e=1.已知向量b与e所成的角为60∘,且b−te≥A.3+1B.23三、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.设e1,eA.e1+e2和e1−C.3e1−4e2和610.已知复数z1,zA.z1+z2=z1+C.z1⋅z2=z1⋅z211.在斜三角形ABC中,cosA=sinBA.角B为钝角B.sinC.若b=1,则a=tanAD.cos三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知i是虚数单位，则i513.△ABC中，AD为边BC的中线，AB=3，AC=2，∠BAC14.如图，在边长为1的正方形ABCD中，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则PA⋅PB四、解答题(本题共5小题，共77分)15.已知向量a=x,2,(1)求向量a,(2)若p=2b−a,16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a(1)求△ABC(2)求边长c及sinA17.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a(1)求角A的大小；(2)点M为线段BC的中点，且AM=1,a=218.我们把由平面内夹角成π3的两条数轴Ox,Oy构成的坐标系称为“广义坐标系”.如图1,e1,e2分别为Ox,Oy正方向上的单位向量.若向量OP=xe1+ye2,则把实数对x图1图2(1)求2a+(2)求向量a与b的夹角的余弦值；(3)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy′，若向量m在平面直角坐标系中的坐标为4,23,求向量19.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a(1)求C；(2)若c=4，求△(3)若c=3，且△ABC为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求的取值范围.1.C因为OM=所以MN=故选:C.2.A由1−i1+z=所以z=故选:A3.B因为3a−5b=7,所以又因为a,b为单位向量,所以a⋅b=−又因为0≤⟨a,b⟩≤故选:B.4.B因为m=1,−2,所以n在m方向上的投影向量坐标为m⋅故选:B.5.D因为AC⋅AB=2S则tanA=1,因为A∈0又sinC=2sinB由a2=b2+所以△ABC故选:D.6.C如图所示,由题意得AE=故选:C.7.A在△ACD中，∠CAD由正弦定理ACsin30∘=CDsin45∘在△BCD中,∠BCD=105∘由正弦定理BCsin90∘=CDsin45∘在△ACB中,由余弦定理A代入得AB2=102故选:A8.B平方去绝对值号,由b−te≥b−e,则b2−2tb⋅e化简可得t2令ft=Δ=b2−4b观察所求式子内部,两者相减可将a约掉,所以可用向量的三角不等式求解,即a+又2e则a+2e+a9.BC对于A,假设e1+e2∥e1−3e2,则∃λ∈R使得e1+e2故e1+对于B,因为e1+2e2=对于C,因为3e1−4e2对于D,假设e1+6e2∥e1+e2,则∃λ∈R使得e1+6e2=λe1+e2故选:BC.10.ACD设z1对于A,由z1+z2=而z1+z2=a+c−b对于B,举例z1=2+i,z2=1+i,满足z1对于C,由复数模的运算性质可知,z1z2=z1对于D,由z1=a+bi,则可得a2−b2<02ab=0,则a=故选:ACD11.ACD对于A,由cosA=sinB可得因A,B∈0,π,则π2+A即B=π2+A因△ABC为斜三角形，故B=π2+A，即角对于B,由A项已得角B为钝角,则cosB<0,因sinA>0,故sinA≠cosB,即B错误;对于C代入解得a=sinAcosA=tan对于D,由上分析可得:B=故cos=cosA−sinA+2又C=π2−2A>0,则则t∈0,1则cosA故当t=12时,cosA+cosB+cosC的最大值为故选:ACD.12.0根据虚数单位i的幂次的运算性质得:iiii故i故答案为:0.13.19如图,以△ABC边AB,AC为邻边做平行四边形因AD为边BC的中线,则由平行四边形性质知A,D,E在平行四边形ABEC中,BE=在△ABEAE所以AE=19,AD=114.0如图,取AB的中点E,PA⋅PB=PE+EAPE故答案为:015.(1)a(2)5(1)因为a=x,2,所以4x−解得x=所以a=(2)设向量p,q的夹角的大小为由题意可得,p=所以cosθ=p⋅q16.1(2)c(1)由cosC=18，且则sinC=所以S△(2)由c2=则c=又csinC=asin17.1(2)1(1)由2asinC=3c所以sinA因为A是锐角,所以A=(2)∵点M是BC的中点,且AM=∴AM=12AB即4=由余弦定理:a2即2=联立①②解得:bcbc的值为1.18.1(2)21(3)2(1)由题意得a=故2a故2a+b的“广义坐标”为(2)由题意得e1=故a=−2a2=a2=b2=b2=所以向量a与b的夹角的余弦值为cos⟨a(3)在平面直角坐标系中，e1=设m=xe1+ye2所以x1所以x+12y=故向量m的“广义坐标”为2,19.1C(2)8,(3)3−(1)由已知及正弦边角关系得sinAsinA因为sinA>0,所以sinA+所以cosC所以cosC2≠0,sinC2=1(2)方法一:由余弦定理c2=a2+b2−因为ab≤a+b22所以a+b2−16由三角形三边关系知a+b>c=4,所以所以△ABC周长的取值范围为8,方法二:由正弦定理asinA=