福建宁德市福鼎市第四中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

福鼎四中2025-2026学年第二学期第一次月考高一数学试卷第一部分(选择题共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.AB−A.2BDB.0C.BDD.2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，若AE=A.13a−23b3.已知平面内的非零向量a,b，则“a⋅b=abA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在△ABC中，若AB=1,ACA.30∘B.45∘5.在△ABC中，已知a2tanB=b2A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形6.小河的对岸有一棵树,设树底为O,树顶为C.如图,为了测量这棵树的高度,在河的另一侧选取A,B两点,使得A,B,O在同一水平面上,且A,B,O三点共线,AB=253−1米.若在A处测得树顶C的仰角为45∘A.403米B.353米C.303米D.7.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA•PBA.-2B.−32C.8.已知O为锐角△ABC的外心，AB=3，AC=23若AO=xAB+A.l2<l1<l二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.关于向量a,bA.若a=b,则a=bB.若aC.若a=0,则a=0D.若a10.下列结论正确的是()A.O为平面内一定点，如OA=3OB−2OC，则AB.非零向量a,b满足a⋅b>0,则aC.已知a=−6,8,bD.平面内△ABC与动点P满足AP=λABAB+ACACλ∈R11.如图，△ABC为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点,则下列说法正确的是(A.BOB.BAC.BP⋅BC的最大值为D.若BP=xBA+yBC,则第二部分(非选择题共92分)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知两个非零向量a,b不共线,若OA=2aB,C三点共线,则13.已知向量a与b的夹角是π4,且a=2,b=2,则向量14.已知对任意平面向量AB=x,y,把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P,已知平面内点A1,3，点四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量a=(1)求a−2(2)已知c=10，且2a+c⊥c，求向量16.已知向量a=(1)若a+2b//ka(2)若a−mb⊥b17.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=23，BC=2，(1)若PB=1，求PA(2)若∠APB=150∘18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a(1)求A；(2)若a=13，△ABC的面积为3，且b>c(3)在(2)的条件下，D为BC的中点，求中线AD的长.19.设Ox,Oy是平面内夹角成θ0∘<θ<180∘,θ≠90∘的两条数轴,e1,e2两分别为x轴,y轴正方向同向的单位向量.若向量(1)若θ=(i)求OA⋅(ii)是否存在Oy上一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形?若存在,求出C点坐标;若不存在,(2)若OA−tOB≥3对t∈R1.DAB−故选:D2.BDE=故选:B3.A因为a⋅b=ab若a⋅b=ab,则cos⟨所以a//b若a//b,例如⟨a,b⟩=综上所述:“a⋅b=ab”故选:A.4.C由余弦定理可得cosB=AB25.D∵在△ABC中，a2∴由正弦定理,得sin2又sinA∴sinAcosA=sinBcosB,即因为0<∴A=B或2A+2B=π,即∴△ABC故选:D6.D在△ABC中,∠A=45∘,∠ACB=∠OBC−∠A=60∘−45又因为sin15∘所以253−1×46在△BOC中，∠OBC=60∘，∠BOC所以OC=BC故选:D.7.B建立如图所示的坐标系,以BC中点为坐标原点,则A0设Px,y,则则PA∴当x=0,y=故选:B.8.D分别取AB,AC的中点为D,E,连接OD,∴AO∵AO∴AOAO⋅∵9x∴由①②③得cos∠BAC=根据余弦定理可得BC=∴BC>在△ABC中，由大边对大角得:∠∵OA=OB=OC∴OB∴l故选:D.9.BCD向量的长度相等,方向不同时也不是相等向量,A错误;向量相等，长度一定相等，B正确；长度为0的向量是零向量,C正确;相反向量一定是平行向量,D正确.10.ACD对于A,因OA=3OB−2OC,则OA−OB=2OB−OC,即BA=2CB,也即AB=2BC;因为对于B,因a⋅b=a⋅bcosθ因为a>0,b>0,所以cosθ>0而当θ=0时,a//b,此时夹角不是锐角,故对于C,因a=−6,8,则a=b=aa=−3对于D,因为ABAB是与AB同方向的单位向量,ACAC是与AC同向的单位向量,则以ABAB和ACAC对应线段为邻边的平行四边形是菱形,故分∠BAC又因AP=λABAB+ACACλ∈R,则点P的轨迹为∠11.AD对于A,BO=BC+CO=BC+12对于C,以B为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,B0,P则BP⋅BC=232+cosθ=3+2cosθ对于D,BPBP=xBA+=由−π3≤θ≤因此当θ=π6时,x+y=故选:AD12.5由已知可得AB=AC=因为A,B,C三点共线,所以存在实数λ则−a+t−1b=λ−3a+2故答案为:513.1由题意,a⋅则向量a在向量b上的投影向量为a⋅故答案为:1214.−由题,可得AB=−1,−6,把点B绕点A沿顺时针方向旋转π2后得到点P,即等同于点B绕点A沿逆时针方向旋转3π∴AP又A1,3,解得故答案为:−515.161(2)3π4(1)向量a=1,2,b所以a−(2)由c=10,2a+c⊥c由a=1,2,得a=而⟨a,c⟩∈0所以向量a与向量c的夹角3π416.1(2)m(1)由题意得，a+∵a解得k=−(2)由题意得，a−m∵a解得m=17.1(2)3(1)在Rt△PBC中,则cos∠PBC所以∠PBA在△PABP所以PA=(2)设∠PBA=θ，则∠PAB=30在△PAB中，因为ABsin∠所以PB=AB在Rt△PBC中,所以23sin30∘−所以tanθ=3418.1(2)b=(3)AD(1)因为角A,B,C的对边分别是a,根据正弦定理得sinAcosC+1所以sinB=sinA+C化简得12sinC=cosAsinC,又又0<A<π(2)由A=π3,S由余弦定理,得a2=b2+c2−2bccosA=b+c2−(3)由于a=13,b=在△ACD中，AC=A所以AD=19(1)(i)OA⋅OB==3(ii)y轴上不存在一点C,理由如下:假设y轴上存在一点C0,