人教高二数学导数的概念及其几何意义(2)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA068学科数学年级高二学期上课题导数的概念及其几何意义（2）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教学人员姓名单位授课教师王琦北京市第五中学指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：理解导数的几何意义，体会以直代曲的思想方法.教学重点：导数的几何意义.教学难点：理解导数的几何意义，体会以直代曲的思想方法..教学过程时间教学环节主要师生活动一、复习导数的概念，探究几何意义教师介绍高斯的故事.问题1你能写出函数在处的导数的计算公式并说出导数的意义吗？意图：复习导数的概念，为几何意义的引入作铺垫.数与形是数学研究中两个相辅相成的对象，那么问题2导数是否具有几何意义？追问1：平均变化率的几何意义是什么？意图：联系斜率公式理解平均变化率的几何意义就是割线的斜率.追问2：导数的几何意义应该如何理解？活动1：GGB软件演示点P从右侧和左侧逼近点P0的过程，感受当无限趋近于0时，点P沿着曲线无限趋近于点P0，割线P0P无限趋近于同一个确定的位置.割线的斜率也无限趋近于这个确定位置直线的斜率.二、定义曲线的切线问题3能否根据演示的过程给切线下个定义呢？追问1：初中对切线是如何定义的？意图：学生对初中定义印象深刻，自然而然会对两种定义方式进行比较，这里先引导学生回忆初中只定义了圆的切线，是从公共点个数的角度进行定义的.追问2：圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的，这种定义方式适用于任意曲线吗？追问3：通过逼近方式对切线作出的定义，是否适用于圆的切线呢？活动2：GGB软件演示逼近方式也可以得到圆的切线.意图：追问2、追问3和活动2通过比较两种定义方式的适用范围，体会新的定义方式更具有一般性.三、明确导数的几何意义问题4导数的几何意义是什么？意图：由导数和切线的定义，得出导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在x＝x0处切线的斜率k0.例1求曲线在点（1，－1）处的切线方程.意图：这是导数几何意义的直接应用，通过本例题，帮助学生掌握求曲线在切点处的切线的方法.四、揭示以直代曲思想方法问题5图中哪条直线最贴近点P0附近的曲线？活动3：GGB演示将点P0附近的曲线不断放大，观察发现点P0附近的曲线越来越接近于直线.因此，在点P0附近，曲线y＝f(x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.意图：揭示以直代曲思想方法.五、综合应用例2图中是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况.意图：回到本章开始的问题，用学习的导数知识解释运动变化中的规律.追问1：如何描述曲线h(t)在t＝t0，t1，t2附近的变化情况呢？追问2：曲线h(t)在t＝t1和t＝t2附近都是下降的，两个时刻的下降趋势是否有区别呢？意图：本题是以直代曲思想的应用.在用导数描述和解释运动变化情况的过程中，体会斜率的正负刻画了函数的增减，斜率的大小刻画了增减的快慢.例3图中是人体血管中药物浓度c＝f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象.根据图象，估计t＝0.2，0.4，0.6，0.8min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）.追问1：血管中药物浓度的瞬时变化率与函数的图象有什么关系呢？追问2：如何计算这条切线的斜率？我们可以利用图中的网格估计这条切线的斜率.在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率，他所以.所以，在t＝0.8时刻，药物浓度瞬时变化率约为－1.4.我们可以用同样的方法计算出另外3个时刻药物浓度瞬时变化率的估计值.意图：血管中药物浓度问题没有给出函数解析式，而是通过图象给出，使学生体会这种情况可以通过导数的几何意义，通过以直代曲的的思想，从图中读出更多的信息.而切线斜率的计算也可以进一步培养学生的估算能力.六、导函数的概念定义：从求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数（简称导数）.y＝f(x)的导函数有时也记作，即.七、小结与课后作业课堂小结：从知识、方法和思想层面小结本节课的收获.今天这节课，我们通过极限思想对切线作了一般的定义，并通过探究发现导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在x＝x0处切线的斜率.通过对曲线与其切线的观察，我们发现可以用切线近似代替切点附近的曲线，进而用切线的斜率近似刻画曲线的变化情况,这就是微积分中重要的思想方法——以直代曲.函数是描述客观世界运动变化的数学模型，导数是刻画函数值变化的