人教高二数学简单复合函数的导数-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA072学科数学年级高二学期一课题简单复合函数的导数教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教学人员姓名单位授课教师于洪伟北京景山学校指导教师雷晓莉东城区教师研修中心教学目标教学目标：掌握复合函数求导法则，会用复合函数求导法则求简单复合函数的导数。教学重点：运用复合函数求导法则求简单复合函数的导数的过程。教学难点：记忆复合函数求导法则的公式结构。教学过程时间教学环节主要师生活动1.回顾旧知2.新课讲授问题1导数的四则运算法则是什么？fff追问1：如何求函数y=ln现有方法无法求出它的导数.（1）用定义不能求出极限；（2）不是基本初等函数，没有求导公式；（3）不是基本初等函数的和、差、积、商，不能用导数的四则运算法则解决这个问题.追问2：函数y=ln设u=hx=2x-1(x>1所以y=fx=y=gu和u=h即：y=fx定义：一般地，对于两个函数y=gu和u=hx，如果通过中间变量u，y可以表示成那么称这个函数为函数y=gu和u=hx的复合函数，记作问题2如何求复合函数的导数？以函数y=sin猜想y=sin2x的导数与函数y=sin以yx'表示y对x的导数，yu'表示y对u的导数，ux可以先得到y=sinu，yu'=cos可以换个角度来求yxy=2[=2[=2cos追问1：观察yu'=cosu，uy=2=追问2：换个函数试试，还能发现类似的结论吗？以函数y=ln2x为例，研究其导数.函数可以看作y=lnu和u=以yx'表示y对x的导数，yu'表示y对u的导数，ux可以先得到y=lnu，u=2x的导数.yu'=1可以换个角度来求yxy=因为u=2x，所以结合yu'=1u，复合函数的求导法则一般地，对于由函数y=fu和u=gx复合而成的函数y也可以写成：fg问题3现在可以用复合函数的求导法则求函数y=ln函数y=ln(2x-1)可以看作函数y=lnu和u=2所以y注意，这里得到的2/u可以作为结果吗？显然是不合适的，还需要将中间变量u用函数u=2x-1换成x来表示.例1求下列函数的导数：（1）y=(3x+5)（2）y=e（3）y=ln（1）y=解：函数可以看作y=u3和根据复合函数的求导法则，有y=(=3=9(3x+5)（2）y=解：函数可以看作y=eu和根据复合函数的求导法则，有y=(==-2e（3）y=解：函数可以看作y=lnu和根据复合函数的求导法则，有y=追问1：你能总结求复合函数y=（1）观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；（2）引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算；（3）用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.追问2：求复合函数y=（1）计算过程要发挥中间变量u的作用，确保准确识别函数结构，选对求导公式；（2）最后结果写成关于x的函数，不再出现中间变量u.yf例2某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）与时间t（单位：s）之间的关系为y=18求函数y在t=3时的导数，并解释它的实际意义.问题4如何求“函数y在t=3时的导数”？可以先求函数y=18sin再将t=3代入导数的解析式，求出导数值.追问1：如何求函数y=18sin需要用到复合函数的求导法则.追问2：函数y=18sin⁡(2y=18sinu，解：函数y=18sin⁡(2π3根据复合函数的求导法则，有y=(18y=18=1=1y当t=3时，yt所以，弹簧振子在3s时的瞬时速度为追问3：函数y=18sin⁡(2函数可以化为y=-18cos也可以看作y=-18cos函数化为y=-18cos⁡2π3y=18小结：问题5我们学习了哪些知识内容？简单复合函数的导数运算法则：yf求复合函数的导数的一般步骤：（1）观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数；（2）引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算；（3）用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数.追问你有哪些收获？运用复合函数的