2025年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷

2025年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）（2025•鄄城县一模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（）A．﹣2 B．−13 C．2 2．（3分）（2025•鄄城县一模）敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025•鄄城县一模）2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分，也是目前世界上单管输量最大的长输天然气管道．将法380亿用科学记数法表示应为（）A．0.38×103 B．3.8×102 C．3.8×1010 D．38×1094．（3分）（2025•鄄城县一模）如图所示几何体的俯视图是（）A． B． C． D．5．（3分）（2025•鄄城县一模）不等式组x−3＜02(x+2)＞xA．﹣4＜x＜3 B．3＜x＜4 C．﹣3＜x＜4 D．﹣2＜x＜36．（3分）（2025•澧县一模）下列运算正确的是（）A．m2+m3＝m5 B．（mn2）3＝m3n6 C．m2n﹣mn＝m D．m4÷m﹣2＝m﹣27．（3分）（2025•鄄城县一模）有4张只有数字不同的卡片，上面分别写有2，3，4，5．从中随机抽取2张，所抽取卡片上的数字之和能够被3整除的概率是（）A．13 B．14 C．158．（3分）（2025•鄄城县一模）如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（）A．16° B．17° C．18° D．19°9．（3分）（2025•鄄城县一模）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞b，那么ac＞bc B．如果a＝b＝0，那么ab＝0 C．如果a＞b，那么a2＞b2 D．如果|a|＝|b|，那么a＝b10．（3分）（2025•鄄城县一模）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（）A．1 B．2 C．3 D．4一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。11．（3分）（2025•鄄城县一模）代数式x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（3分）（2025•鄄城县一模）若关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是．13．（3分）（2025•鄄城县一模）已知直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接PB．当△APB的面积等于4时，直线PB的表达式为．14．（3分）（2025•鄄城县一模）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，AC与DE相交于点F．若∠C＝40°，DE⊥AC，则∠DAC的大小为．15．（3分）（2025•鄄城县一模）在平面直角坐标系中，若a，b均为整数，对于点A（a，b），规定：当a为奇数时，将其减1后除以2作为点B的横坐标，当a为偶数时，将其除以2作为点B的横坐标；同时对b进行和a同样的处理作为点B的纵坐标．由点A到点B这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（0，﹣1），（0，0）中的一个．当a，b均为整数且|a|≥20，|b|≥20时，经过数次“归一变换”后最终变换为（﹣1，0）的（a，b）是．（写出一个满足题意的点即可）三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤。16．（8分）（2025•鄄城县一模）（1）计算：12−2tan60°+(π−3（2）先化简，再求值：(1x+2+17．（8分）（2025•鄄城县一模）如图1，AC＝2AB＝4．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点E．作射线AE．过点C作CD∥AB，交AE于点（1）求CD的长；（2）如图2，连接BD．分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．作直线PQ，交AB的延长线于点F．连接CF，交BD于点G．当∠BAC＝60°时，求18．（8分）（2025•鄄城县一模）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A（4，0），C（0，3）．（1）当反比例函数y=kx(x＞0)的图象和矩形OABC有交点时，k（2）如图，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与AB，BC分别交于点D，E①当k＝6时，求△ODE的面积；②连接AC，判断DE与AC是否平行？并说明理由．19．（9分）（2025•鄄城县一模）某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每个项目20分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息．信息一每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用x表示（x≥60），将满意度数据分成如下四组：第1组60≤x＜70，第2组70≤x＜80，第3组80≤x＜90，第4组90≤x≤100．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息．结合信息一解决下列问题：（1）将频数分布直方图补全，并判断这100个满意度分数的中位数位于第组；（2）在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是；（3）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80图分的人数；信息二100名游客对本市历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务打分的平均分和方差如表：项目统计量历史文化自然景观地域特色旅游产品旅游服务平均分18.317.616.115.116.8方差2.12.31.81.93.4（4）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考．20．（9分）（2025•鄄城县一模）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究．动手操作：第一步，画出等腰△ABC，使得AB＝AC＝3．第二步，作出△ABC关于AC对称的△AB′C．第三步，过点A作BC的平行线，交直线B′C于点D．第四步，分别以AB，AD为边作▱ABED．根据以上操作，甲、乙、丙三位同学各自作出了如图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题．（1）直接写出图1中∠BAC的度数；（2）图2、图3中均有△AB′D≌△DEC．请就图2给出证明；（3）图3中BC＝4．求出AD的长．21．（10分）（2025•鄄城县一模）如图，等腰Rt△ABC内接于⊙O，点D是线段OB上异于O，B的一点．连接CD并延长交⊙O于点E，点P在AB的延长线上，PD＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若BD＝3OD，求PBPE22．（10分）（2025•鄄城县一模）【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度．【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具．【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是AB，BC，CD，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：AB＝BC＝7.5km，CD＝5km，∠ABC＝106.4°，∠BCD＝126.8°．【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以AD为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）．（1）求A，C两点间的距离；（2）求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin73.6°≈0.96，cos73.6°≈0.28）23．（13分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax（1）当a＝1时，①求证：该抛物线的顶点不在第三象限；②若b为自然数，且该抛物线与x轴有两个不同交点（x1，0）和（x2，0）（x1＜x2），求x2﹣x1的值．（2）若b＜0，直线y＝ax+m与该抛物线有两个交点A，B，其坐标分别为A（0，2﹣m）和B（2，n）．当t≤x≤t+1时，求y=ax

2025年山东省菏泽市鄄城县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDCDABACDC一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）（2025•鄄城县一模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（）A．﹣2 B．−13 C．2 【考点】估算无理数的大小；绝对值；实数与数轴．【答案】B【分析】比较各项的绝对值，绝对值最小的即为距离最近．【解答】解：数轴上表示的点距离原点最近的是−1故选：B．2．（3分）（2025•鄄城县一模）敦煌莫高窟是世界优秀文化遗产．下列是莫高窟壁画中的部分图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【答案】D【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．故选：D．3．（3分）（2025•鄄城县一模）2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分，也是目前世界上单管输量最大的长输天然气管道．将法380亿用科学记数法表示应为（）A．0.38×103 B．3.8×102 C．3.8×1010 D．38×109【考点】科学记数法—表示较大的数．【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：380亿＝38000000000＝3.8×1010．故选：C．4．（3分）（2025•鄄城县一模）如图所示几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【答案】D【分析】几何体的俯视图即为从上往下看所看到的平面图形，据此判断即可．【解答】解：根据三视图的概念可知，几何体的俯视图是．故选：D．5．（3分）（2025•鄄城县一模）不等式组x−3＜02(x+2)＞xA．﹣4＜x＜3 B．3＜x＜4 C．﹣3＜x＜4 D．﹣2＜x＜3【考点】解一元一次不等式组．【答案】A【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．【解答】解：解不等式x﹣3＜0得x＜3，解不等式2（x+2）＞x得x＞﹣4，∴不等式组的解集为﹣4＜x＜3，故选：A．6．（3分）（2025•澧县一模）下列运算正确的是（）A．m2+m3＝m5 B．（mn2）3＝m3n6 C．m2n﹣mn＝m D．m4÷m﹣2＝m﹣2【考点】同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【答案】B【分析】分别利用合并同类项，幂的乘方，整数指数幂的运算对各选项进行判断即可．【解答】解：A．m2和m3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B．（mn2）3＝m3n6，故此选项符合题意；C．m2n和mn不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；D．m4÷m﹣2＝m6，故此选项不符合题意．故选：B．7．（3分）（2025•鄄城县一模）有4张只有数字不同的卡片，上面分别写有2，3，4，5．从中随机抽取2张，所抽取卡片上的数字之和能够被3整除的概率是（）A．13 B．14 C．15【考点】列表法与树状图法；数的整除．【答案】A【分析】先根据列表法确定所有等可能结果数、以及能被3整除的结果数，然后再运用概率公式求解即可．【解答】解：如下：23452——（2，3）（2，4）（2，5）3（3，2）——（3，4）（3，5）4（4，2）（4，3）——（4，5）5（5，2）（5，3）（5，4）——由表知，共有12种等可能结果，数字之和能够被3整除的有种4种结果，∴概率=4故选：A．8．（3分）（2025•鄄城县一模）如图，已知五边形ABCDE为正五边形，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，AE的延长线于点F，G．连接CG，DG，则∠CGD等于（）A．16° B．17° C．18° D．19°【考点】正多边形和圆；等腰三角形的性质；圆周角定理．【答案】C【分析】连接AC，AD，首先，由正五边形内角和公式求出内角∠BAE的度数，进而得到∠B和∠BAE的度数，然后，根据等腰三角形性质求出∠BAC和∠DAE的度数，求出∠CGD的度数，最后通过∠CGD=12∠CAD【解答】解：如图，连接AC，AD，∴∠CAD＝2∠CGD，∠CGD=1∵五边形ABCDE为正五边形，∠B=∠BAE=180°×(5−2)在等腰△ABC中，AB＝BC，∠BAC=180°−108°同理：∠EAD＝36°，∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠DAE＝36°，∴∠CGD=1故选：C．9．（3分）（2025•鄄城县一模）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞b，那么ac＞bc B．如果a＝b＝0，那么ab＝0 C．如果a＞b，那么a2＞b2 D．如果|a|＝|b|，那么a＝b【考点】命题与定理；绝对值；不等式的性质．【答案】D【分析】分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可．【解答】解：A．逆命题为：如果ac＞bc，那么a＞b是假命题，不符合题意；B．逆命题为：如果ab＝0，那么a＝b＝0是假命题，不符合题意；C．逆命题为：如果a2＞b2，那么a＞b是假命题，不符合题意；D．逆命题为：如果a＝b，那么|a|＝|b|是真命题，符合题意．故选：D．10．（3分）（2025•鄄城县一模）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二元一次方程的应用．【答案】C【分析】根据题意，设购买了n个篮球，购买了m个足球，根据题意，列出方程，分类讨论即可．【解答】解：根据题意，设购买了n个篮球，购买了m个足球，∴120n+150m＝2400，整理得：4n+5m＝80且n，m为正整数，当n＝5时，m=80−4×5当n＝10时，m=80−4×10当n＝15时，m=80−4×15综上所述，该社团共有3种购买方案．故选：C．一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。11．（3分）（2025•鄄城县一模）代数式x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2．【考点】二次根式有意义的条件．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．12．（3分）（2025•鄄城县一模）若关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是﹣3．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【答案】见试题解答内容【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可得到一个关于另一根与m的方程组，即可求解．【解答】解：∵方程的一个根是2，设另一根是α，∴2α＝﹣6，α＝﹣3；故答案为：﹣3．13．（3分）（2025•鄄城县一模）已知直线y＝﹣x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴正半轴上的一点，连接PB．当△APB的面积等于4时，直线PB的表达式为y=−13【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．【答案】见试题解答内容【分析】先求得A（2，0），B（0，2），设点P的坐标为（p，0）（p＞0），则AP＝|p﹣2|，再根据△APB的面积等于4求得p＝6，即P（6，0）；然后运用待定系数法求解即可．【解答】解：由条件可知A（2，0），B（0，2），设点P的坐标为（p，0）（p＞0），则AP＝|p﹣2|，∵△APB的面积等于4，∴12|p−2|×2=4，解得：∴P（6，0），设直线PB的解析式为y＝kx+b，则0=6k+bb=2解得：k=−1∴直线PB的表达式为y=−1故答案为：y=−114．（3分）（2025•鄄城县一模）如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转一定角度得到△ADE，使点D落在BC上，AC与DE相交于点F．若∠C＝40°，DE⊥AC，则∠DAC的大小为25°．【考点】旋转的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．【答案】见试题解答内容【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，∠E＝∠C＝40°、AB＝AD，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CAE＝50°，进而得到∠BAD＝∠CAE＝50°，然后根据等腰三角形的性质进而得∠ADB＝∠ABC＝65°，最后根据三角形外角的性质求解即可．【解答】解：由题意可得：∠BAC＝∠DAE，∠E＝∠C＝40°，AB＝AD，∵DE⊥AC，∴∠CAE＝90°﹣∠E＝50°，∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE＝50°，∵AB＝AD，∴∠ADB=∠ABC=180°−∠BAD∵∠ADB＝∠C+∠DAC，∴65°＝40°+∠DAC，解得：∠DAC＝25°．故答案为：25°．15．（3分）（2025•鄄城县一模）在平面直角坐标系中，若a，b均为整数，对于点A（a，b），规定：当a为奇数时，将其减1后除以2作为点B的横坐标，当a为偶数时，将其除以2作为点B的横坐标；同时对b进行和a同样的处理作为点B的纵坐标．由点A到点B这样的坐标变换称为一次“归一变换”．经过数次“归一变换”后，平面直角坐标系内所有横、纵坐标均为整数的点终将变换为（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（0，﹣1），（0，0）中的一个．当a，b均为整数且|a|≥20，|b|≥20时，经过数次“归一变换”后最终变换为（﹣1，0）的（a，b）是（﹣20，20）（答案不唯一）．（写出一个满足题意的点即可）【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形性质．【答案】见试题解答内容【分析】根据“归一变换”的定义求解即可．【解答】解：∵a，b均为整数且|a|≥20，|b|≥20，∴（a，b）可以为（20，20），（20，﹣20），（﹣20，20），（﹣20，﹣20），选取（﹣20，20），对（﹣20，20）进行“归一变换”可得：（﹣10，10），对（﹣10，10）进行“归一变换”可得：（﹣5，5），对（﹣5，5）进行“归一变换”可得：（﹣3，2），对（﹣3，2）进行“归一变换”可得：（﹣2，1），对（﹣2，1）进行“归一变换”可得：（﹣1，0），∴经过数次“归一变换”后最终变换为（﹣1，0）的（a，b）是（﹣20，20）（答案不唯一）．故答案为：（﹣20，20）（答案不唯一）．三、解答题：本题共8小题，共75分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤。16．（8分）（2025•鄄城县一模）（1）计算：12−2tan60°+(π−3（2）先化简，再求值：(1x+2+【考点】分式的化简求值；零指数幂；特殊角的三角函数值；实数的运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、零次幂、绝对值化简，然后再计算即可；（2）直接运用分式的混合运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式=2=23=3（2）原式=[=x−2+x+2=2x=2当x＝3时，原式=217．（8分）（2025•鄄城县一模）如图1，AC＝2AB＝4．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．分别以点M，N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC内交于点E．作射线AE．过点C作CD∥AB，交AE于点（1）求CD的长；（2）如图2，连接BD．分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．作直线PQ，交AB的延长线于点F．连接CF，交BD于点G．当∠BAC＝60°时，求【考点】作图—复杂作图；相似三角形的判定与性质；平行线的性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据角平分线和平行线证明DC＝AC即可；（2）先证明△AFC是等边三角形，然后求出BF的长，再证△BFG∽△DCG即可求出BGDG【解答】解：（1）由作图可知：AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．∵CD∥AB，∴∠ADC＝∠BAD．∴∠ADC＝∠CAD．∴CA＝CD．∵AC＝4，∴CD＝4．（2）由作图可知：PQ垂直平分AC，∴FA＝FC．∵∠BAC＝60°，∴△ACF为等边三角形．∴AF＝AC＝4．∵AC＝2AB，∴AB＝2．∴BF＝AF﹣AB＝4﹣2＝2．由（1）知，CD＝4，CD∥AB，∴∠BFG＝∠DCG，∠FBG＝∠CDG．∴△BFG∽△DCG．∴BGDG18．（8分）（2025•鄄城县一模）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A（4，0），C（0，3）．（1）当反比例函数y=kx(x＞0)的图象和矩形OABC有交点时，k（2）如图，反比例函数y=kx(x＞0)的图象与AB，BC分别交于点D，E①当k＝6时，求△ODE的面积；②连接AC，判断DE与AC是否平行？并说明理由．【考点】反比例函数综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由反比例函数的性质可得k＝xy，再根据反比例函数图矩形有交点，即0≤x≤4，0≤y≤3，进而得到x＝4，y＝3时，求出k有最大值即可；（2）①根据题意可得D(4，k4)、E(k3，3)；①如图：连接OD，OE．根据k＝6可得D(4，32)、E（2，3），即AD=32【解答】解：（1）k的最大值为12；理由如下：由反比例函数y=kx(x＞0)，得：k当反比例函数y=kx(x＞0)的图象和矩形OABC有交点时，得：0≤x∴当x＝4，y＝3时，k有最大值3×4＝12，故答案为：12；（2）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC为矩形，其中A（4，0），C（0，3），∴B（4，3），∴AB＝OC＝3，BC＝AO＝4，∵反比例函数y=kx的图象与AB，BC分别交于点D，∴D(4，k4)①如图1：连接OD，OE．∵k＝6，∴D(4，32)∴AD=32，CE＝2，∴S△ODE＝S矩形OABC﹣S△OCE﹣S△ODA﹣S△BED=3×4−1=12−3−3−3=9②DE与AC相互平行；理由如下：如图2，连接AC．设直线AC的表达式为y＝mx+n，将A（4，0），C（0，3）分别代入得：4m+n=0n=3解得：m=−3∴直线AC的表达式为y=−3设直线DE的表达式为y＝px+q，将D(4，k4)4p+q=k解得：p=−3∴直线DE的表达式为y=−3∵y=−3∴直线DE可以由直线AC经过平移得到．∴DE∥AC．19．（9分）（2025•鄄城县一模）某市旅游资源丰富，每年都有大量游客前来旅游．该市实验中学数学兴趣社团开展社会实践活动，在国庆节当天随机选取100名游客进行满意度调查．每名游客分别对该市的历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务五个项目打分，每个项目20分，共100分．将各项打分进行了整理，下面给出了部分信息．信息一每名游客对五个项目打分之和记为满意度分数，满意度分数用x表示（x≥60），将满意度数据分成如下四组：第1组60≤x＜70，第2组70≤x＜80，第3组80≤x＜90，第4组90≤x≤100．以下是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息．结合信息一解决下列问题：（1）将频数分布直方图补全，并判断这100个满意度分数的中位数位于第三组；（2）在扇形统计图中，第4组所对应的圆心角度数是72°；（3）据统计，当天本市游客人数达到6.8万．请估计这6.8万人中满意度分数不低于80图分的人数；信息二100名游客对本市历史文化、自然景观、地域特色、旅游产品、旅游服务打分的平均分和方差如表：项目统计量历史文化自然景观地域特色旅游产品旅游服务平均分18.317.616.115.116.8方差2.12.31.81.93.4（4）为了更好地服务游客，提升本市旅游形象，请结合信息二，写出合理建议供主管部门参考．【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；中位数；方差；用样本估计总体．【答案】（1）见解析；（2）72°；（3）3.536万人；（4）旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品以满足游客需求；旅游服务的满意度打分的方差大，所以服务质量良莠不齐，应加大监督力度，切实提升游客的体验感．【分析】（1）先用样本容量乘以第二组所占的百分比求出第二组的频数，然后再求出第四组的频数，再补全条形统计图即可；再根据中位数的定义即可确定其所在的组；（2）用360°乘以第四组所占的频率即可解答；（3）用样本估计整体即可解答；（4）根据平均数和方差进行分析即可解答．【解答】解：（1）第二组的频数为：100×36%＝36，第四组的频数为：100﹣12﹣36﹣32＝20，故补全频数分布直方图如下：由于有100个数据，则中位数为数据从大到小排列后的第50和51个数的平均数，又一、二两组的数量总和为12+36＝48＜50，一、二、三组数量之和为12+36+32＝80＞50，则这100个满意度分数的中位数位于第3组．故答案为：三．（2）360°×20故答案为：72°；（3）6.8×32+20答：不低于80分的人数为3.536万人．（4）旅游产品的平均分最低，应进一步开发旅游产品以满足游客需求；旅游服务的满意度打分的方差大，所以服务质量良莠不齐，应加大监督力度，切实提升游客的体验感．20．（9分）（2025•鄄城县一模）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究．动手操作：第一步，画出等腰△ABC，使得AB＝AC＝3．第二步，作出△ABC关于AC对称的△AB′C．第三步，过点A作BC的平行线，交直线B′C于点D．第四步，分别以AB，AD为边作▱ABED．根据以上操作，甲、乙、丙三位同学各自作出了如图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题．（1）直接写出图1中∠BAC的度数；（2）图2、图3中均有△AB′D≌△DEC．请就图2给出证明；（3）图3中BC＝4．求出AD的长．【考点】四边形综合题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据平行四边形的性质，则∠B+∠BAB′＝180°，∠B′AC＝∠ACB，根据对称的性质，等边对等角，则∠B′AC＝∠ACB＝∠ABC＝∠BAC，根据平行线的性质，即可；（2）根据平行四边形的性质，则AB＝DE，∠B+∠E＝180°，根据对称的性质，可得AB＝AB′，∠B＝∠AB′C，等量代换，则AB′＝DE，∠AB′C+∠E＝180°，最后根据全等三角形的判定定理即可证明；（3）过点A作AF⊥BC，垂足为点F，根据勾股定理，求出AF，根据平行四边形的性质，对称的性质，可得∠B＝∠B′，∠ACB＝∠ACB′，根据等边对等角，求出AD＝CD，根据矩形的判定和性质，可得四边形AFGD是矩形，根据勾股定理，即可求解．【解答】（1）解：由题意可得，四边形ABDC是平行四边形，∴BC∥AB′，AB∥B′C，∴∠B+∠BAB′＝180°，∠B′AC＝∠ACB，∵AB＝AC＝3，△ABC关于AC对称的△AB′C，∴∠ABC＝∠ACB，∠BAC＝∠B′AC，∴∠B′AC＝∠ACB＝∠ABC＝∠BAC，∴∠B+∠BAB′＝3∠BAC＝180°，∴∠BAC＝60°；（2）证明：∵四边形ABED是平行四边形，∴AB＝DE，∠B+∠E＝180°，由对称可得，AB＝AB′，∠B＝∠AB′C，∴AB′＝DE，∠AB′C+∠E＝180°，∵∠AB′C+∠AB′D＝180°，∴∠E＝∠AB′D，∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠DCE，在△AB′D和△DEC中，∠AB′D=∠EAB′=DE∴△AB′D≌△DEC（ASA）；（3）解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F，∵AB＝AC＝3，BC＝4，∴∠B＝∠ACB，BF＝FC＝2，∴AF=5由对称可得，∠B＝∠B′，∠ACB＝∠ACB′，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于点G，∴AF∥DG，∵AD∥EG，∴四边形AFGD是平行四边形，∴四边形AFGD是矩形，∴DG=AF=5设AD＝CD＝x，∴FG＝x，CG＝FG﹣FC＝x﹣2，∴CG2+DG2＝CD2，∴(x−2)2∴x=9即AD=921．（10分）（2025•鄄城县一模）如图，等腰Rt△ABC内接于⊙O，点D是线段OB上异于O，B的一点．连接CD并延长交⊙O于点E，点P在AB的延长线上，PD＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若BD＝3OD，求PBPE【考点】切线的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；垂径定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接OC，OE，由题意易得∠COB＝90°，∠OED＝∠OCD，则有∠PED＝∠ODC，然后可得OE⊥PE，进而问题可求证；（2）设OD＝a，则BD＝3OD＝3a，则有OE＝OB＝4a，然后根据勾股定理可得（PB+3a）2+（4a）2＝（PB+4a）2，则有PB=9a【解答】（1）证明：连接OC，OE．∵⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，O为AB的中点，∴OC＝OE，∠COB＝90°，∴∠OED＝∠OCD，∵PD＝PE，∴∠PED＝∠PDE，∵∠PDE＝∠ODC，∴∠PED＝∠ODC，∵∠OCD+∠ODC＝90°，∴∠OED+∠PED＝∠OCD+∠ODC＝90°，∴OE⊥PE，∴PE是⊙O的切线；（2）解：设OD＝a，则BD＝3OD＝3a，此时OE＝OB＝4a，∵△POE是直角三角形，∴PE2+OE2＝PO2，∵PE＝PD＝PB+BD，∴（PB+BD）2+OE2＝（PB+OB）2，即（PB+3a）2+（4a）2＝（PB+4a）2，解得PB=9a所以PE=9a所以PBPE22．（10分）（2025•鄄城县一模）【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度．【实践工具】测距仪、测角仪等测量工具．【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是AB，BC，CD，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：AB＝BC＝7.5km，CD＝5km，∠ABC＝106.4°，∠BCD＝126.8°．【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以AD为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）．（1）求A，C两点间的距离；（2）求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin73.6°≈0.96，cos73.6°≈0.28）【考点】解直角三角形