高一数学寒假讲义第九讲 三角函数性质及图象变换（解析版）

第九讲三角函数性质及图象变换【知识梳理】一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，．既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；对称轴，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.二、图象变换1.对函数,的图象的影响（左加右减）2.()对函数图象的影响3.()对的图象的影响4.以下为的图象经变换得到的图象注意：由到的变换：向左平移eq\f(φ,ω)个单位长度而非φ个单位长度．题型01解三角不等式及定义域问题【解题思路】用三角函数图象解三角不等式的步骤：①作出相应的正弦函数或余弦函数在上的图象(也可以是上的图象)；②在上或(上)写出适合三角不等式的解集；③根据诱导公式一写出定义域内的解集．【例1】在内函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数，其中有意义，则满足，其中，即，其中，解得，即函数的定义域为.故选：C.【例2】已知集合，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据正弦、余弦函数的性质求出集合、，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，可得，，所以，由，可得，，所以，所以.故选：B【变式1-1】已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据抽象函数定义域及对数函数定义域列出不等式组，解三角不等式可得解.【详解】因为函数的定义域是，所以函数有意义需满足，解得，故函数的定义域为，故选：B【变式1-2】不等式的解集为．【答案】【分析】可先求出，的解集，在将代替解出，则不等式的解集可求.【详解】画出时，的图象．

令，，解得或又的周期为，所以的解集为．用代替解出．可得则的解集为.故答案为：.【变式1-3】函数的定义域为．【答案】【分析】由函数解析式列出不等式组，再根据正切函数的图像及二次函数的图像解出不等式组，即可得出答案．【详解】由，得，，在数轴上表示如图所示，所以，故答案为：．题型02三角函数的周期问题和奇偶性【解题思路】三角函数的周期：①对形如或的周期为，对形如的周期为；②对形如或的周期为，对形如的周期为；【例3】下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.【详解】对选项A：，函数定义域为，，函数为偶函数，排除；对选项B：，函数定义域为，，函数为偶函数，排除；对选项C：，函数定义域为，，函数为偶函数，排除；对选项D：，函数定义域为，，函数为奇函数，，满足条件；故选：D.【例4】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3).【答案】(1)偶函数(2)奇函数(3)非奇非偶函数【分析】（1）（2）先求定义域，然后判断和的关系即可判断其奇偶性；（3）求出函数定义域，然后根据定义域是否关于原点对称即可作出判断.【详解】（1）的定义域为R，，因为，所以为偶函数.（2）由得，解得定义域为，关于原点对称，又，所以为奇函数.（3）由，即，解得，所以，定义域不关于原点对称，所以，该函数既不是奇函数也不是偶函数.【变式2-1】下列函数中，最小正周期是且是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件结合选项逐项验证，可得答案.【详解】对于选项A：的最小正周期为，且，即为偶函数，故A错误；对于选项B：的最小正周期为，且，即为偶函数，故B错误；对于选项C：的最小正周期为，且为奇函数，故C正确；对于选项D：的最小正周期为，且不恒成立，即不是奇函数，故D错误.故选：C.【变式2-2】若，，则.【答案】0【分析】根据的周期为3，且，即可求得的值.【详解】因为的周期，且，，，则，因为，所以.故答案为：0【变式2-3】判断下列函数的奇偶性：(1)(2)【答案】(1)偶函数(2)奇函数【分析】根据函数奇偶性的定义分析判断.【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，且，所以为偶函数.（2）因为的定义域为，关于原点对称，且，所以为奇函数.题型03求三角函数的单调区间和对称性【解题思路】在求形如的单调区间或对称中心（轴）时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）.注意点：①时,一般用诱导公式转化为后求解;②若,则单调性相反.【例5】函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间.【详解】令，可得．当时，函数单调递增．所以当时，单调递增．故在上单调递增．故选：A.【例6】（多选）函数的图象为M，则下列结论正确的是（

）A．图象M关于直线对称 B．图象M关于点对称C．在区间单增 D．图象M关于点对称【答案】AB【分析】采用代入验证，计算函数值的方法，可判断A，B，D；根据x的范围，计算出，结合正弦函数的单调性，可判断C.【详解】对于A，将代入中，得，即此时取到最大值，故图象M关于直线对称，A正确；对于B，将代入中，得，则图象M关于点对称，B正确；对于C，时，，由于在上单调递增，在上单调递减，即在上不单调，故在上单调递增，在上单调递减，故在区间上不单调，C错误；对于D，将代入中，得，则图象M不关于点对称，D错误；故选：AB【变式3-1】求函数的单调区间．【答案】递减区间为，无递增区间．【分析】先将函数化为，然后利用整体代入法即可求得单调区间.【详解】，由，得所以，函数的递减区间为，无增区间.【变式3-2】（多选）下列函数中，最小正周期为，且在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据给定条件，结合诱导公式及三角函数性质逐项分析判断即得.【详解】对于A，当时，，函数在上递增，A不是；对于B，的周期是，当时，单调递减，B是；对于C，当时，，在上递增，C不是；对于D，当时，，在上递减，且周期是，D是.故选：BD【变式3-3】（多选）关于函数，下列选项正确的有（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．函数在上单调递增 D．函数在上有三个零点【答案】AB【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由函数，可得，所以的图象关于点对称，所以A正确；对于B中，由，的图象关于直线对称，所以B正确；对于C中，由，可得，根据余弦函数的性质，可得函数在上先增后减，所以C不正确；对于D中，由，可得，令，可得或，解得或，所以函数在上有两个零点，所以D错误.故选：AB.题型04求三角函数的值域(最值)【解题思路】（1）形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值.（2）形如型,可利用换元思想,设,转化为二次函数求最值,的范围需要根据定义域来确定.（3）分式型的三角函数：分离常数法【例7】（1）函数，的值域为；（2）函数的最大值是.【答案】【分析】（1）由的范围可得的范围，结合余弦函数性质可求得结果；（2）令，将问题转化为关于的二次函数最大值的求解问题，结合的范围可求得结果.【详解】（1）当时，，，，即的值域为；（2），；令，则，，则当时，，即的最大值为.故答案为：；.【例8】求下列函数的值域：(1)，；(2)．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）根据余弦型函数的正负性、单调性进行求解即可.【详解】（1）∵，∴．令，易知在上单调递增，此时，∴．易知在上单调递减，此时，∴．∴函数，的值域为；（2）∵，且当时，，∴函数的值域为．【变式4-1】已知.(1)若，求在上的值域；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】利用同角三角函数的平方式整理函数解析式，再利用换元法化简函数解析式，结合正弦函数与二次函数的性质，可得答案.【详解】（1）由题意可知，令,当时，由在上单调递增，在上单调递减，则，令，由在上单调递增，在上单调递减，则，，所以.（2）由(1)可知：，令，则，令，由在上单调递增，在上单调递减，则.【变式4-2】已知为钝角，则的最大值为．【答案】【分析】先确定，然后利用基本不等式求最值.【详解】为钝角,,，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为.故答案为：.【变式4-3】求下列函数的最大值、最小值以及达到最大（小）值时x的值的集合：(1)；(2)．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】函数的最大值为，最小值为，再由整体角代换法求函数达到最值时x的值即可.【详解】（1）函数的最大值为，最小值为，当时，函数取最大值.由，解得，此时，x值的集合为；当时，函数取最小值.由，解得，此时，x值的集合为.（2）函数的最大值为，最小值为，当时，函数取最大值.由，解得，

此时，x值的集合为；当时，函数取最小值.由，解得，

此时，x值的集合为.题型05三角函数图象的识别【解题思路】识别图象的具体步骤：①判断函数的奇偶性；②根据图象的区别代点，看纵坐标的正负情况；③根据区别求单调性【例9】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的部分图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先求出定义域，求出，得到为奇函数，排除CD，在求出当时，，B错误，A正确.【详解】的定义域为R，且，故为奇函数，关于原点对称，CD错误；当时，，故，A正确，B错误；故选：A【例10】函数|在区间（，）内的图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分类讨论去绝对值符号，化简函数式结合正弦函数与正切函数的图象即可判定.【详解】当时，，∴，当时，，∴，由选项可判定B选项图象正确.故选：B【变式5-1】函数的大致图象为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可【详解】因为，，所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，所以排除A，C选项；又，所以排除B选项，故选：D．【变式5-2】函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，并判断时，函数值的正负，即可判断选项.【详解】，定义域为，关于原点对称，由，所以为奇函数，排除BD；当时，，因为为上减函数，为上的增函数，则为上的减函数，且当，，则当，，故，排除A.故选：C.【变式5-3】图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数图象关于原点对称及与x轴交点情况可排除B,D，再结合函数的值的正负排除C,答案可得.【详解】根据图象可看到函数为奇函数，并且与x轴交点不止一个，而是偶函数，只有唯一根，其图象与x轴交点只有一个，由此可排除B，D;当时，，由此可排除C;故选:A.题型06根据奇偶性和对称性求参数【解题思路】形如型，①若题意给出对称轴，则将其代入可得，即，②若题意给出对称中心，则将其代入可得，即【例11】若为奇函数，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据奇函数的定义可求得实数的值.【详解】对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为，因为函数为奇函数，则，即对任意的恒成立，所以，，所以，，解得，.故选：D.【例12】函数的图象关于直线对称，则在上的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据参数范围、对称轴求得，利用正弦型函数性质求最小值即可.【详解】由题意，则，又，所以，则，在上，，故，所以最小值为.故选：A【变式6-1】已知函数是偶函数，则的值为（

）A． B．1 C．1或 D．【答案】A【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解.【详解】因为函数是偶函数，所以，则，所以.故选：A.【变式6-2】若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为整体结合正弦型函数的性质求出结果.【详解】因为，且，则，若函数的图象关于直线对称，则，解得.故选：C.【变式6-3】已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根据函数的性质和条件列出关于的解析式即可.【详解】由题设知直线与点分别为函数图象的对称轴与对称中心，故，，于是（，），即，又，且，故的最小值是2；故选：A.题型07根据单调性求参数【解题思路】对于已知函数单调区间的某一部分确定参数的范围问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．【例13】已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】若在区间上单调递增，满足两条件：①区间的长度超过；②的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围.【详解】，∵函数在区间内单调递增，∴，∴，∵，∴，若在区间上单调递增，则，解得，当时，，又因为，∴.故选：A【例14】若函数在区间单调递减，且最小值为负值，则的值可以是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】分和两种情况讨论，结合余弦函数的单调性求出的范围，即可得解.【详解】当时，，由，得，因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，所以，解得，当时，由，得，因为函数在区间单调递减，且最小值为负值，所以，解得，综上所述.故选：A.【变式7-1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正弦函数的单调性可得，，求出的范围，再根据题意即可得到关于和的方程组，进而求解即可．【详解】依题意可得，，得，，则，解得，又，当时，得；当时，，矛盾，所以的取值范围是．故选：A．【变式7-2】已知函数（，）为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由为奇函数，可得，，由函数在上单调递减，结合正弦函数的图象与性质，列出不等式组求解即可.【详解】解:

因为为奇函数，，所以，所以.令，，，则，因为在上单调递减，所以，解得.故选：C.【变式7-3】已知函数在区间上单调递增,那么实数ω的取值范围是.【答案】【分析】化简函数的解析式，根据题中条件可得，，继而解得的值，进一步计算即可.【详解】因为，由且，知，因为函数在区间上单调递增,则,其中,所以其中,解得，其中,由，得，又，所以或，因为,所以当时,;当时,，所以实数ω的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键点睛是求出右边界的范围，再根据余弦函数的单调性得到不等式组，解出的范围，再对合理赋值即可.题型08根据值域(最值)求参数【解题思路】对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三【例15】已知函数在区间上的值域为，则.【答案】【分析】根据三角函数值域的知识求得.【详解】依题意，函数在区间上的值域为，由于，所以，此时，当时取得最小值，符合题意，所以.故答案为：【例16】已知函数有最大值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由当时，，根据时，函数值的范围不超过列不等式求解即可.【详解】因为当时，，要使有最大值，则时，函数值的范围不超过可得解得.故选：A.【变式8-1】已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦型函数的区间最值情况得，，进而有或，讨论结合已知恒成立确定最终的取值范围.【详解】由，则内不存在最值，即，则，，则或，由，则中恒成立，只需且，或；所以的取值范围是.故选：D【变式8-2】若函数，的值域为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别令和求得对应，结合正弦函数的图象讨论在或处取得，即可求解.【详解】令，解得：或，，令，解得：，，当，时，则，，此时的最小值为；当，时，则，，此时的最小值为；故选：C．【变式8-3】（多选）若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（

）A． B．1 C． D．【答案】BD【分析】根据正弦函数的性质，可得关于参数的不等式，求得的范围，从而得出结论.【详解】因为，所以，所以由题意得，Z，解得，Z,为负整数时，的范围时小于零的，与已知不符.时，；时，.因为，故A不正确；由题可知BD正确，C不正确.故选：BD．题型09由图象确定正(余)弦函数的解析式【解题思路】(1)如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求.（2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式.【例17】已知函数的一部分图象如图所示，其中，，，则．【答案】【分析】根据函数图象可得最值和周期，进而可求出，再利用待定系数法求出即可.【详解】根据图象可知，函数的最大值4和最小值0，得，解得，函数的最小正周期，即，当时取最大值4，即，，即，.故答案为：【例18】（多选）函数部分图象如下图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据函数图象确定A的值，利用可求出，判断A；判断的范围，并结合可求出，即可求得最小正周期，可判断B；将代入解析式求值，判断C；求出，代入解析式求值，判断D.【详解】由函数图像可知，，即，而，故，A正确，又，即，故，即，而结合图象知，故当时，，而当时，，均不符合题意；则，B错误；，C正确；结合图象可知，故，D错误，故选：AC【变式9-1】已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中的图象与轴的一个交点的横坐标为.(1)求这个函数的解析式，并写出它的单调区间；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)，递增区间是；递减区间是(2)最大值是，最小值是.【分析】（1）根据函数图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出,利用正弦函数的单调性即可求解；（2）根据正弦函数的性质由整体代换法求解.【详解】（1）由图，知，，，因为，，则，，由，可得，故的递增区间是；由，可得，故的递减区间是（2）当时，，当，即时，取得最大值为；当，即时，取得最大值为；在区间上的最大值是，最小值是.【变式9-2】（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（

）

A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小【答案】BD【分析】先根据函数图象求出函数解析式，结合选项逐个判定即可.【详解】由图可知，时，，时，，所以,;因为，所以或；因为时，，所以，，所以或，；由图可知周期满足，即，解得，所以，此时；解析式为，该简谐运动的初相为，周期为，A不正确，B正确；当时，，位移是，C不正确；令，当时，，结合的简图可得，在区间为减函数，D正确.故选：BD.【变式9-3】已知函数的部分图象如图，则在上的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据函数图像求得三角函数里的，写出函数解析式，从而找到在时的零点个数.【详解】设周期为，则，由图知，或，由图知在递减区间上成立，所以，，且，则，所以，即，因为，所以时，，则，由，或，所以在上有2个零点.故选：B题型10求图象变换前(后)的解析式【例19】将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用三角函数图象的平移变换知识，平移即可.【详解】结合题意：.故选：A.【例20】已知函数，函数图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，将图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出周期则得到，再根据平移压轴的原则即可得到答案.【详解】由题意得，，则，所以，则将图象上所有的点向左平移个单位长度变为，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为.故选：A.【变式10-1】（多选）将函数的图象上的每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称【答案】BC【分析】利用给定变换求出函数的解析式，再逐项分析判断作答.【详解】依题意可得，A，当时，，则不为对称轴，A错误；B，当时，，则为对称中心，B正确；C，当时，，则为对称轴，C正确；D，当时，，则不是对称中心，D错误；故选：BC【变式10-2】已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为．【答案】【分析】根据图象可知半个周期，求得，代入点的坐标结合已知可求得，再利用图象平移即可得出的解析式，进而求出.【详解】由图象可知的最小正周期为，解得，代入可得，解得，又，所以，故，左移个单位长度得，故．故答案为：【变式10-3】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，所得图象对应的解析式为．【答案】【分析】根据图象平移过程写出对应解析式.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，将所得函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象．故答案为：题型11描述图象的变换过程【例21】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】C【分析】先将变形为，由此可判断出结果.【详解】因为，所以的图象只需向右平移个单位长度即可得到的图象，故选：C.【例22】要得到函数的图象，可以将函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】A【分析】根据诱导公式化简可得，进而变换得出，即可得出答案.【详解】因为，且，所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.故选：A.【变式11-1】已知函数(1)求在区间上的最大值和最小值;(2)指出图象可由的图象经怎样的变换得到？并求在区间上的单调递减区间.【答案】(1)见详解,最大值为最小值为(2)见详解.【分析】(1)根据,得的范围,从而得到的值域,再代入即可.(2)根据结合三角函数图象的平移变换规律即可得到.先求得的单调递减区间,再对进行赋值,即可得到对应区间.【详解】（1）故所以在区间上的最大值为最小值为（2）的图象可由先向左平移个单位长度,再将图象上所有的点的横坐标变为原来的纵坐标变为原来的倍得到.令解得当时,当时,所以在区间上的单调递减区间为【变式11-2】要得到函数的图象，只需将函数的图象经过两次变换，则下列变换方法正确的是（

）A．先将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度B．先将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度C．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D．先将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）【答案】D【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，得出结论.【详解】将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象；或者先将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.故选：D.【变式11-3】已知函数的图象，问需要经过怎样的变换得到函数的图象，并且平移路程最短？【答案】向左平移个单位长度【分析】先利用诱导公式将和化成同名函数，再根据平移规则求得结果.【详解】易知所以可将的图象向右平移个单位长度可得.或者即也可将的图象向左平移个单位长度可得.显然，所以向左平移个单位长度路程最短，综上可知，平移路程最短的方法是：向左平移个单位长度．题型12图象变换及函数性质的综合【例23】将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图象变换得的解析式，则利用函数单调性列不等式即可求得的取值范围.【详解】函数的图像先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，令，，整理得，，由于函数在上单调递增，故，，解得，，所以，．故选：B．【例24】（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原米的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【答案】ABD【分析】根据函数图象可确定函数的表达式为，即可求解AB，根据函数图象的平移以及伸缩变换，即可求解CD.【详解】由图可知，，最小正周期，故A正确：由，知，因为，所以，所以，即，又，所以，对于B，当时，，所以，故B正确，对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C错误；对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，故D正确，故选：ABD.【变式12-1】（多选）将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数为，则关于的图象叙述正确的是（

）A．在有且只有一个零点 B．关于点对称C．在区间上单调递减 D．关于直线对称【答案】BC【分析】易知，根据三角函数图象平移规则可得，根据三角函数图象可得在有两个零点，关于点对称，在区间上单调递减，不是的对称轴，可得结论.【详解】由题意可得，则，对于A，令，可得，解得；所以在有两个零点，故A错误；对于B，将代入可得，所以关于点对称，即B正确；对于C，当时，可得，由正弦函数单调性可知在区间上单调递减，即C正确；对于D，将代入可得，没有取到最值，所以不是的对称轴，即D错误.故选：BC【变式12-2】（多选）已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数，下列正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递减D．函数在上有个零点【答案】AC【分析】根据周期及奇函数的性质求出，再利用正弦函数性质逐项判断即可.【详解】因为函数的最小正周期是，所以，则，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为，因为为奇函数，所以，即，因为，所以，，所以，对于A，，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；对于B，，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；对于C，当时，，函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故C正确；对于D，由，得，即，令，解得，又，所以或，所以函数在上有个零点，分别为、，故D错误.故选：AC.【变式12-3】（多选）已知，，给出下列结论：其中正确结论是（）A．若，，且，则B．存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称C．若在上恰有7个零点，则的取值范围为D．若在上单调递增，则的取值范围为【答案】BC【分析】根据正弦函数的图象变换及性质判断各选项即可.【详解】对于A，若，，且，则，故A错误；对于B，将的图象向左平移个单位长度后得到，若所得图象关于y轴对称，则，，即，，所以存在时满足条件，故B正确；对于C，由，得，若在上恰有7个零点，则，即，故C正确；对于D，由，得，若在上单调递增，则，即，故D错误.故选：BC.课后作业一、单选题1．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【分析】根据函数图象平移的规则直接判断.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象.故选：A2．函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据偶函数定义知为偶函数，且，结合选项，利用排除法求解.【详解】函数的定义域为R，且，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，所以选项A、B不满足；当时，，显然选项D不满足，结合选项只有C满足题意.故选：C3．函数在的值域为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等变换结合换元法，最后利用二次函数的值域求解即可.【详解】函数，令，，因为，所以，，对称轴为，图象开口向下，当时，取得最大值，，当时，取得最小值，，所以在的值域为故选：B4．已知函数其中，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．若，则的值为C．函数在区间上单调递减D．函数的图象关于点对称【答案】D【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论.【详解】由函数的部分图象知：，，得，所以，又，所以，所以，，又因为，所以，所以对于A：函数的最小正周期，故A项错误；对于B：，所以，得，所以，故B项错误；对于C：令，可得，所以在区间上单调递增，故C项错误；对于D：当时，得，所以函数关于点对称，故D项正确.故选：D.5．把函数的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是，则的解析式是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用图像的平移变换和周期变换的结论，根据结果反向变换即可得出结果.【详解】将上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到，再将上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，将上所有点向左平移个单位，得到，故选：A.6．关于函数，有下列四个命题．甲：；乙：；丙：在上单调递增；丁：对任意，总有．其中恰有一个是假命题，则该命题是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】先假设甲乙都正确，推出丙丁都是假命题，则由四个命题中中恰有一个是假命题，推出甲乙中恰一个假命题，再分类探究甲真乙假与甲假乙真两类情况是否满足题意即可.【详解】若甲、乙均为真命题，则．此时，故丙为假命题，，故丁也为假命题，不满足题意，故甲、乙中有一个是假命题；若乙是假命题，由甲为真命题知，，由丁为真命题知，则为函数的对称轴，，所以或，则或，这与在上单调递增矛盾，不满足题意；若甲是假命题，乙是真命题，取，，，令，由在区间上单调递增，则由复合函数的单调性可知，在上单调递增，丙命题为真命题；又，，丁命题也为真命题，故满足题意.故选：A．二、多选题7．已知函数恰有5个零点，则的值可能为（

）A．4 B．5 C． D．【答案】BC【分析】先利用余弦函数的图像性质求得的零点个数，再利用的零点个数列出关于的不等式，解之即可求得的取值范围，进而得到的值可能值.【详解】由，得.函数在上的零点个数为2，又因为函数恰有5个零点，所以函数在上的零点个数为3.由，得，则，解得.故选：BC8．对函数下列说法正确的是（

）A．任取，都有恒成立；B．对于一切恒成立；C．函数有3个零点；D．若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则；【答案】ACD【分析】由函数图像判断A；取判断B；由函数与函数的图像判断C，由函数与函数的图像结合对称性判断D.【详解】对于A，函数的图象如下图所示：由图可知，，则任取，都有，故A正确；对于B，当时，则，而由解析式知，B错误；对于C，，，由于，所以，所以，函数与函数的图象如下图所示，由图可知，两函数的交点有3个，即函数有3个零点，C正确.对于D，函数与函数的图象如下图所示，若关于x的方程有且只有两个不同的实根，则，由对称性可知，D正确；故选：ACD.9．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（

）A．B．C．函数在上单调递减D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为【答案】ACD【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项.【详解】令得，或，，由图可知：，，，所以，，所以，所以，故A选项正确，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B错误.当时，，因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），为偶函数得，，所以，，则的最小值为，故D正确.故选：ACD.三、填空题10．已知函数，若的最小正周期为，则；若的一