2026年高考数学终极冲刺专项03 空间向量与立体几何6大题型（大题专练）（原卷版）

专项03空间向量与立体几何

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【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测

【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式

【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分

根据近五年全国卷考情，空间位置关系、空间角或空间距离以及空间向量是必考主干，分值约15-27分．

命题趋势：

解答题：稳定考查空间位置关系的证明、空间向量法求解空间角或空间距离（常为第16至18题），核

心是利用空间向量解决空间角与空间距离问题以及空间位置关系的证明等综合问题．

2026年预测：解答题极可能仍为立体几何常规题，考查两平面夹角（二面角）或线面角的可能性较大．

备考核心：熟记空间角与空间距离公式，解答题注意强化空间向量法及空间位置有关系的几何证明的综

合训练，提升运算的准确率，小题注意几何法的灵活应用．

题型01空间几何中的线面角

析典例·建模型

1．（2026·四川成都·二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1CAA12AB2AC2BC4，BAA160.

(1)证明：直线A1B平面ABC．

(2)设P是棱CC1的中点，求AC与平面PA1B1所成角的正弦值．

2．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在四棱锥PABCD中，CD平面PAD，PAAD．

(1)证明：PA平面ABCD；

(2)若底面ABCD是正方形，APAB2，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成

的角为60°．

（ⅰ）求PF的长度；

（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．

研考点·通技法

1．垂线法求线面角（也称直接法）：先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，

过点A向平面做垂线，确定垂足O；连结斜足与垂足为斜线AB在面上的投影；投影BO与斜线AB

之间的夹角为线面角；把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解（可能利用余弦定理或者直角三角

形）．

2．公式法求线面角（也称等体积法）：用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用三角

形的正弦公式进行求解．公式为：，其中是斜线与平面所成的角，是垂线段的长，是斜线段的

ℎ

长．𝑠𝑖=��ℎ�

．向量法求线面角：设是直线的方向向量，是平面的法向量，直线与平面的夹角为则

3n1ln2.

nn

12．

sincosn1,n2

n1n2

破类题·提能力

16

1．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知圆锥的顶点为P，底面圆O的半径为2，体积为π．

3

(1)求圆锥的表面积；

(2)如图，设OA、OB是底面圆的半径且AOB是等腰直角三角形，M为线段AB的中点，求直线PM与

平面POB所成的角的正弦值．

2．（25-26高三上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PAB，PAC是

分别以PB,PC为斜边的等腰直角三角形，E是棱PD上的动点.

(1)证明：BDPC；

PE

(2)若PA与平面ACE所成角的大小为60，求的值.

ED

题型02空间几何中两平面的夹角

析典例·建模型

1．（2026·山东菏泽·一模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M、P分别为AA1，B1M的中点，点Q在AC1

上，且AQ3QC1.

(1)求证：PQ//平面A1B1C1；

(2)若AA1A1B1B1C13，A1C12，求平面B1QM与平面A1B1C1夹角的余弦值.

研考点·通技法

向量法求两平面夹角：若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则

n1,n2,,

nn

12，注意两平面夹角的范围是到

coscosn1,n2090.

n1n2

破类题·提能力

1．（2026·河北承德·一模）已知三棱锥P-ABC中，ABC90，ABBC2，D为AC中点，M为BD

中点，平面PBD平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．

(1)证明：ACPM；

(2)若PM2，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．

2．（2026·四川宜宾·一模）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，PAB为锐角三角形，PAAB2，

PBBC4，PBC90，E为棱PC的中点，平面PAD与平面PBC的交线为l，直线BE与l相交于

点Q．

(1)求线段BQ长度的最小值；

(2)若异面直线PB与QD所成角为60．

（ⅰ）求平面PCD与平面QCD夹角的余弦值；

（ⅱ）求三棱锥PADE的外接球的表面积．

题型03空间几何中的二面角

析典例·建模型

1．（25-26高三上·安徽六安·期末）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1底面ABCD为菱形，ABC120，AB2，

AA13，点M为棱DD1上靠近D1的三等分点，点N在AA1上且A1NA1A01，过点M、N、C

的平面与直线AB交于点P.

(1)求证：NP//MC；

2

(2)若，求三棱锥MDPC的外接球的表面积；

3

23

(3)若二面角NPCD的余弦值为，求的值.

7

研考点·通技法

1．几何法求二面角

（1）定义法（棱上一点双垂线法）：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于

棱的射线．

（2）三垂线法（面上一点双垂线法）：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂

线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角．

（3）垂面法（空间一点垂面法）：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成

的角就是二面角的平面角．

（4）射影面积法：已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为射影，

射影�

平面和平面所成的二面角的大小为，则.这个方法对于无棱二面角的求解很简便．

�

𝐶𝑖=�

．向量法求二面角：若分别为平面的法向量，为平面所成二面角的平面角，则

2n1,n2,,

nn

｜｜12．二面角的范围是到

coscosn1,n2.0180.

n1n2

破类题·提能力

1．（2026·辽宁辽阳·一模）在三棱锥PABC中，ABC和△APC均为等边三角形，AC2，点F为线段

PB的中点．

(1)证明：平面PBC平面ACF；

5

(2)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，求二面角PACB的余弦值．

8

1

2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在等腰梯形ABCD中，ABBCCDAD2，A60，

2

E是AD的中点.现将ABE沿BE翻折，点A翻折到点P的位置，使得二面角PBED的大小为120.

(1)求证：PCCD；

(2)若点G为△PBE的重心，求平面BCG与平面PCD所成二面角的正弦值.

题型04空间距离问题

析典例·建模型

1．（25-26高三上·山东淄博·期末）如图所示，四边形ABCD为平行四边形，四边形ABEF为直角梯形，BE//AF，

ABAF，平面ABCD平面ABEF.

(1)若P为DF的中点，证明：BF//平面ACP；

16

(2)若ABBEAF2,ACBCAB，直线AC与平面DEF所成角的正弦值为，求点C到EF

23

的距离.

2．（25-26高三下·浙江杭州·月考）如图，已知在四棱锥PABCD中，

AD//BC，ABBC，BC22，ADABPBPD2．

(1)证明：BDPA；

(2)若直线PA与平面ABCD所成角为30，其中BC的中点是E，DC的中点是M，求点A到平面PEM的

距离．

研考点·通技法

1．几何法求距离

（1）求点线距一般要作出这个“距离”，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.

（2）求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个“距离”，可根据条件求解，若不易作出

点面距，可借助于等体积法求解.

2．向量法求距离

(1)点线距：如图，先求出直线l的单位法向量n0，再求向量在法向量n0方向上的投影向量的长度｜·n0｜

即可.����

(2)点面距：若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意一点，则点P到直线

l的距离为d＝｜｜·｜.

22

2.点到平面的距离��−|���0

点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所

��

作投影向量的长度，即d＝｜·n0｜.

��

破类题·提能力

1．（24-25高三上·天津·月考）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD平面ABCD，

PDAD3，点E，F分别是棱PA，PC的中点.

(1)求证：PB平面EFD；

(2)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值；

(3)求F到直线PA的距离；

2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为CD，PA

的中点.

(1)证明：EF//平面PBC；

(2)若平面PAB平面ABCD，PAPB，AB2，BAD60，平面PAE与平面PAB夹角的余弦值为

431

，求点F到平面PBC的距离.

31

题型05空间几何中的折叠问题

析典例·建模型

π

1．（25-26高三上·广西河池·期末）如图，等腰梯形PBCD中，BC//PD，BAPD，AD2PA，APB，

4

ABBC，现将PAB沿AB折起得四棱锥PABCD，在四棱锥PABCD中，点E，F分别在PC，

CEBF

BD上，且2.

EPFD

(1)求证：EF//平面PAD；

(2)若二面角PABD为60，求直线EF与平面PAB所成角的余弦值.

研考点·通技法

1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论

证和计算，就是折叠问题.

2.折叠问题分析求解原则：

（1）折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；

（2）折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变

3将空间图形按一定要求展开就成为平面问题，当涉及几何体表面上两点间的距离问题时，通常需要将空

间图形展开转化为平面问题进行研究.

破类题·提能力

1

1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直角梯形ABCD中，AB//CD,ABBC,BCCDAB2,E为AB

2

的中点，以DE为折痕把ADE折起，使点A到点P的位置，且PC23．

(1)设平面PBC与平面PDE的交线为l，证明：BC//l；

(2)证明：PE平面BCDE；

(3)求二面角BPCD的余弦值．

2．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABAD，CHAB，E为BC中点，

将BCH沿CH折起，使B到P处．

(1)求证：PA//平面DEH；

(2)若平面PCH平面ADCH，CHPH1，CD2，PQPD01，且二面角PEHQ

的正弦值为25．

5

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求四棱锥QADCH外接球的表面积．

题型06空间几何中的动点问题

析典例·建模型

1．（2026·山东东营·一模）如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，ABACAP2，BP22，

2

BAC，E,F,G分别为棱PA,PB,PC上的点.

3

(1)若EF∥AB，FG∥BC，证明:EG∥AC；

π

(2)若E,F分别为棱PA,PB的中点，在棱PC上是否存在点G，使得平面EFG与平面ABC所成角为?

6

PG

若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

PC

研考点·通技法

在解决探索性问题中点的存在性时，经常需要设出点的坐标，而（x，y，z）可表示空间中的任一点，使

用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大.为了减少变量数量，用以下设法.

1.直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理——若

R，使得�//�⟹

2∃.�平∈面（二维）�上=的��点.：用两个变量可以表示出所求点的坐标.

3.依据：平面向量基本定理,若不共线，则平面上任意一个向量，均存在，yR，使得

破类题·提能力�,���∈�=��+��.

1．（25-26高三下·四川成都·开学考试）已知四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，在四边形中ABCD，

满足ABAD，ABAD3，CD2，CDA45．

(1)求证：平面PAB平面PAD；

(2)设ABAP，若线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理

由．

2．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，CACB，BAA160．

(1)证明：ABA1C；

310

(2)若ABCB2，AC6，在线段CC1上是否存在点P，使得二面角PA1B1C1的余弦值为？

110

CP

若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

CC1

（建议用时：80分钟）

刷模拟

1．（25-26高三上·广东深圳·月考）如图，在三棱锥PABC中，CA平面PAB，平面PAC平面ABC，

点D，E分别为棱AB，AC的中点，ABAC2,PA1.

(1)证明：PA平面ABC；

(2)点B关于平面PDE的对称点为M，求直线MB与平面PCD所成角的正弦值.

2．（25-26高三下·山东·月考）如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF平面ABCD，四边形ABCD为直

1

角梯形，四边形ABEF为平行四边形，AD//BC,ABBC,ABADBC2,AF2BF22．

2

(1)证明：CDBF；

(2)若点M是CE中点，求点M到平面BDE的距离．

3．（2026·湖南长沙·三模）如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC,PAC是边长为2的等边三

角形，AB22，BAC45．

(1)证明：BCPA；

5

(2)若线段PC上的点Q满足直线AP与直线BQ所成角的余弦值为，求点Q到直线AB的距离．

10

4．（2026·山东枣庄·一模）如图，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形，AA1AD4，

AA1底面ABCD，点P，Q分别在棱DD1，BC上．

(1)若AB1PQ，求证：点P是棱DD1的中点；

8

(2)若三棱锥ADPQ的体积是，求平面PBD与平面ABD夹角的余弦值．

3

5．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中AB2，ACBC5，D，E，F分别是

棱CC1，AB，B1C1的中点．

(1)求证：EF//平面ACC1A1；

11205

(2)若平面DEF与平面ACC1A1夹角的余弦值为，求AA1的长．

205

6．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，A、B、C为圆台OO1下底面圆周上三点，AC为直径且

AC4，E为上底面圆周上一点，F、H分别为线段BE、BC的中点，且满足：AEFH，平面ABE

平面ACE.

(1)求证：AB平面BCE；

(2)若ACB30，满足要求的点E有且只有一个，设三棱锥EABC外接球半径为R，圆台的高为h.

h

（i）求；

R

π

（ii）P为上底面圆周上一动点，当平面ACP与平面ACF夹角为时，求点P到平面ACF的距离.

4

1

7．（25-26高三上·宁夏·月考）如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB//CD，ABADDC2，将ABD

2

沿BD翻折，使平面ABD平面BCD.如图2，BD的中点为O.

(1)求证：AO平面BCD；

314

(2)若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？

14

若存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由.

8．（2026·广东汕头·模拟预测）如图．四棱锥PABCD的底面为正方形，平面PAB平面ABCD，

PAABPB2．设E为CP的中点．

(1)求平面PAB与平面ABE夹角的正切值；

(2)设F为线段PB上一点（含端点），求CF与平面ABE所成角的正弦值的范围；

(3)直接写出四棱锥PABCD的外接球表面积与体积（无需证明）．

9．（25-26高三上·山东青岛·期中）用一个平面截圆锥，若圆锥的轴与该平面所成角大于圆锥轴截面的半顶

角时，所得截口曲线是椭圆.在直角三角形ABC中，BC1，∠B90，A30，点D在线段AB上，

CD为C的平分线，直线CB与平面垂直，垂足为B.点E，DCE45，记点E的轨迹为曲线

W.

(1)说明：曲线W为椭圆；

(2)建立适当坐标系，求曲线W的方程；

(3)当四面体EABC体积最大时，求平面EAC与平面夹角的大小.

10．（25-26高三下·重庆·月考）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半

径为3，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a．设Oa表示以O为圆心，过B，C的圆，同

理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，球面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．

(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积（直接写出答案，无需证

明）；

(2)若平面三角形ABC为直角三角形，ACBC，设AOC1,BOC2,AOB3，则：

（i）求证：cos1cos2cos31；

ππ

（ii）延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为,，BEBD，0,1，

43

15

S为AC的中点，T为BC的中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，若sin，求平面AEC截

5

球O的面积的最大值．

刷真题

1．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥P