2026年高考数学终极冲刺压轴10 数列求和的3大核心题型（原卷版）

压轴10数列求和的3大核心题型

近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方

法求数列的和，难度中档．

题型01分组转化法求和的常见类型

技法指导

分组转化法求和的常见类型

1.（2025·山东潍坊二模）在公差不为零的等差数列an中，a11，且a1,a3,a13成等比数列，数列bn的前n

项和Sn满足Sn2bn2.

(1)求数列an和bn的通项公式；

2*

(2)设cnbnan，数列cn的前n项和Tn，若不等式Tnnnlog21a对任意nN恒成立，求实数a的

取值范围.

2.（2025·湖北黄冈·二模）记Sn为数列an的前n项和，已知a11，a22当n2时，Sn12Sn13Sn．

(1)求数列an的通项公式；

*

(2)若数列bn满足b13,bk1akbkkN，求数列bn的前n项和Tn．

题型02裂项相消法求和

技法指导

裂项相消法求和的步骤

3.【基础型】已知数列an满足a11，且an12an1an112an．

1

(1)证明：数列是等差数列；(2)求an的通项公式；

an

1

(3)设baa，数列b的前n项和为Tn，证明：T．

nnn1nn4

2n

n1

4．【根式型】记Sn,Tn分别为数列an,bn的前n项和，已知9Sn12an44，且bn．

2anan1

(1)求an的通项公式；

(2)证明：2Tn21．

5．【指数型】已知数列an满足a12，an12an1.

a1

n

(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.

anan1

6．记Sn为数列an的前n项和，已知3Sn4an3n．

a1

n

(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn．

anan1

题型03错位相减法求和

技法指导

利用错位相减法求和的基本流程

aa1

7.（2025·新课标1卷T16）设数列a满足a3，n1n

n1nn1n(n1)

(1)证明：nan为等差数列；

2Lm

(2)设f(x)a1xa2xamx，求f(2)．

*

8.（2025·陕西汉中·模拟预测）设正项数列an的前n项和为Sn，且anan14Sn1nN，a11．

(1)求数列an的通项公式；

an

(2)已知bn，求数列b的前n项和的取值范围．

2nn

1.（2024·全国甲卷T17）已知等比数列an的前n项和为Sn，且2Sn3an13.

(1)求an的通项公式；

(2)求数列Sn的前n项和.

*

2．（2025·重庆三模）已知Sn为数列an的前n项和，且满足Snn2an，nN.

(1)求证：数列an1是等比数列；

2n13

(2)若bn，记Tn为数列bn的前n项和，求满足不等式Tn的n的最大值.

anan114

3.（2024全国甲卷数学（理））记Sn为数列an的前n项和，且4Sn3an4．

(1)求an的通项公式；

n1

(2)设bn(1)nan，求数列bn的前n项和为Tn．

an1an1

4．已知各项都是正数的数列an，其前n项和为Sn，a11，且SS.

nn4

111

(1)求an的通项公式；(2)若bnanan1，求证：3.

b1b2b24

*

5.（2025·山东临沂二模）已知正项数列an的前n项和为Sn，对任意nN，点n,log3an在过原点且与直

2

线．xy20垂直的直线上．数列bn的前n项和为Tn，且Tnnn．

(1)求数列an的通项公式；

(2)证明：数列bn是等差数列；

bS

(3)若cnn，求数列c的前n项和．

n3n

6．（2026·浙江宁波·二模）已知数列an中，a10，2an1an2n3．

(1)令bnan2n1，求证：数列bn是等比数列；

(2)求数列an的前n项和Sn．

7．记Sn为数列an的前n项和，已知3Sn4an3n．

a1

n

(1)求an；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn．

anan1

SS1

8．（2026·河北保定·一模）已知数列a的前n项和为S，且a1，n1n.

nn1n1n2

(1)求Sn

n2n1

(2)若bn1，求数列bn的前n项和.

anan1

9．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a39,S430．

(1)求an的通项公式；

1

(2)求数列的前n项和；

Sn

11111

(3)证明：．

S1S2S4S2n2

13

10．（2025·江西宜春·模拟预测）已知数列a满足a，a，a3a4a.

n1222n2nn1

(1)证明：数列an1an为等比数列；

(2)求an的通项公式；

an11

(3)记bn2an1，数列的前n项和为Sn，证明：Sn.

bnbn1168

11．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数fx2x2x.

(1)若数列anfn，求数列an的前n项和Sn；

*

(2)已知函数fx在xn(nN)处的切线为直线ln，直线ln在y轴上的截距为bn，求数列bn的前n项和Tn.

*

12.（2025·天津·二模）已知等差数列an和等比数列bn满足：a1b11，bnN，a2a818，b2b481．

(1)求数列an和bn的通项公式；

n2

(2)求数列的前n项和Sn；

anan1

a