2026年高考数学终极冲刺压轴09 三角函数与解三角形中的创新与融合问题的3大核心题型（原卷版）

压轴09三角函数与解三角形中的创新与融合问题的3大核心题型

三角函数与解三角形问题在高考中一般难度不大，其创新性主要体现在以下几个方面：(1)把问题置于

新情境中；(2)新定义三角函数问题；(3)与其他知识的交汇命题.

题型01三角函数、解三角形及平面向量的交汇

技法指导

解三角形与三角函数、平面向量结合，利用正弦定理、余弦定理可以将向量的数量积、角度联系在一起，

构造角度的函数求最值问题.

1.已知O为坐标原点，对于函数fxasinxbcosx，称向量OMa,b为函数fx的相伴特征向量，同

时称函数fx为向量OM的相伴函数．

ππ

(1)记向量ON3,3的相伴函数为fx，若当fx3且x,时，求x的值；

33

ππ

(2)设gx3cosxcosxxR，试求函数gx的相伴特征向量OM，并求出与OM同向的

36

单位向量；

π

(3)已知OA0,1为函数hx的相伴特征向量，若在ABC中，AB2,cosCh，若点G为该ABC的

6

外心，求GCABCACB的最大值．

2.已知O为坐标原点，对于函数fxasinxbcosx，称向量OMa,b为函数fx的互生向量，同时称

函数fx为向量OM的互生函数．

π

(1)设函数fxcosxcosx，试求fx的互生向量OM；

2

π

(2)记向量ON3,1的互生函数为fx，求函数yf2x在x0,上的严格增区间；

2

(3)记OM2,0的互生函数为fx，若函数gxfx23cosxk在0,2π上有四个零点，求实数k的

取值范围．

题型02三角与数列的交汇

技法指导

解决三角函数与数列的交汇问题，一般要抓住一个主线，在解题过程中适时应用另外一种知识涉及的定

理、公式或性质.

1

1

3．（2026·浙江台州·二模）已知数列an满足a1，an1.

21an

(1)求a2024（只需写出数值，不需要证明）；

1ππ

(2)若数列an的通项可以表示成an3sinn03,,的形式，求，.

222

1

πππ*

4．（2026·江西南昌一模）数列an满足a1，an,，tanan1，nN.

622cosan

2

(1)证明：数列tanan为等差数列，并求数列tanan的通项公式；

1

(2)求正整数m，使得sinasinasina.

12m100

题型03三角函数、解三角形的新定义问题

技法指导

解决三角函数、解三角形新定义问题的思路

(1)找出新定义的几个要素及其所代表的意义；

(2)把新定义下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中；

(3)利用三角函数、解三角形的公式、性质解答问题.

5.（江苏省徐州市第三中学2025届高三上学期第三次质量检测）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，

并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等

xx

cececexex

得到“悬链线”方程，其中c为参数．当c1时，就是双曲余弦函数chx，类似地

y2

2

exex

双曲正弦函数shx，它们与正、余弦函数有许多类似的性质．

2

(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin2x2sinxcosx；②平方关系sin2xcos2x1；③求导公

'

sinxcosx,

式写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；

'

cosxsinx

(2)当x0时，双曲正弦函数yshx图象总在直线ykx的上方，求实数k的取值范围；

(3)若x1>0，x20，证明：chx2shx2x21chx1shx1sinx1x2sinx1x2cosx1．

6.三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人

们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当ABC内一点P满

足条件PABPBCPCA时，则称点P为ABC的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在ABC中，

角A,B,C所对边长分别为a,b,c，点P为ABC的布洛卡点，其布洛卡角为．

(1)若30．求证：

222

①abc43S△ABC（SABC为ABC的面积）；

②ABC为等边三角形．

(2)若A2，求证：sin2AsinBsinC．

AMBM51

1．点M将一条线段AB分为两段AM和MB，若，则称点M为线段AB的黄金分割点.

ABMA2

已知直线ya(1a1)与函数ysinx的图象相交，A,B,C为相邻的三个交点，则（）

A．当a0时，存在使点B为线段AC的黄金分割点

B．对于给定的常数，不存在a使点B为线段AC的黄金分割点

C．对于任意的a，存在使点B为线段AC的黄金分割点

D．对于任意的，存在a使点B为线段AC的黄金分割点

2．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数fxx也被广泛应用于生活，生产的各个领域，

5π5π

其中x表示不超过x的最大整数，如：3.653，1.272.若函数fksinsinkπkZ，

1212

则fk的值域为（）

A．1,0,1B．1,0C．0,1D．1,1

222

2sina1msina2msinakm

3．对集合a1,a2,,ak和常数m，把定义为集合

k

a,a,,a相对于m的“正弦方差"，则集合,,相对于m的“正弦方差”为（）

12k626

331

A．B．C．D．与m有关的值

222

4．（多选）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔·巴塔尼大约公元920左右给出了一个关于垂直高度为h的

hsin90

日晷及其投影长度s的公式：s，即等价于现在的shcot，我们称ycotx为余切函数，

sin

π

余切函数与正切函数关系密切.已知函数f(x)cot3x，则（）

3

2kπ4π

A．f(x)的定义域为xx,kZ

39

kπ5π

B．f(x)图象的对称中心为,0(kZ)

618

πkπ4πkπ

C．f(x)的单调递减区间为,kZ

9393

π7π

D．f(x)与g(x)tan3x的图象关于直线x对称

336

5．著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如yAsinx的正弦型函数之和来描述，其中频率最低

的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐

80802x

波．若对应于ysinnxsinnx的泛音是对应于ysin的基本音的一个谐波，则正整数n的

n2n25

所有可能取值之和为

1π

6．定义：余割csc.已知m为正实数，且mcsc2xtan2x15对任意的实数x,(xkπ,kZ)均

sin2

成立，则m的取值范围为．

1

7．古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的半径60等分，用圆的半径长的

60

作为单位来度量弦长.将圆心角所对的弦长记为crd.如图，在圆O中，60的圆心角所对的弦长恰好等于

圆O的半径，因此60的圆心角所对的弦长为60个单位，即crd6060.若为圆心角，

1

cos0180，则crd.

4

ππ

8．（2026·云南·模拟预测）已知函数fxsinx0,0，fx图象的一个对称中心为,0，

26

π

一条对称轴方程为x.

2

(1)求；

(2)若0100，求满足条件的值的和.

9．（2026·重庆·模拟预测）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC,acosA,ccosB成等差

数列.

(1)求A；

(2)若b2c，点D在BC上，满足BD2DC，求sinCAD.

10．（2025·江西景德镇·期中）A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），

APsinPAM

我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记(P,Q;M)；若点

AQsinMAQ

APsinPAM

M在线段PQ外，(P,Q;M).在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在

AQsinMAQ

射线BC上.

(1)若AD是角A的平分线，且b3c，由A点对BC施以视角运算，求(B,C;D)的值；

(2)若A60，a4，ABAD，由A点对BC施以视角运算，(B,C;D)4，求ABC的周长；

sinC

(3)若A120，AD4，由A点对BC施以视角运算，(B,C;D)，求b4c的最小值.

sinB

11．（2025·江苏连云港·期中）在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足acb（R，且1）

(1)若2，且3csinA4bsinC，求cosB的值；

AC1

(2)求证：tantan；

221

cosAcosCf

(3)是否存在函数f，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给

fcosAcosC

出一个满足条件的f，并证明，若不存在，请给出一个理由.

nn1L

12.（2025江西省萍乡二模）已知xR，n为正整数，对于函数fnxanxan1xa1xa0，若对任

2

意的，都有fncoscosn，则称fnx为n次切比雪夫函数．例如：因为cos2x2cosx1，所以

2

f2x2x1为二次切比雪夫函数．

(1)求f3x；

(2)证明：对任意正整数n，都有fn2x2xfn1xfnx；

1

若函数有一个绝对值不大于的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于．

(3)gxf6x1k1gx1

2

13.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为

xx

cececexex

，其中c为参数．当c1时，该表达式就是双曲余弦函数，记为coshx，悬链线的

y2

2

'

sinxcosx

原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；

'

cosxsinx

exex

②二倍角公式：cos2x2cos2x1；③平方关系