大一下线性代数课本习题答案-第2章习题答案

习题2.1

1.A32=6.

2.用行列式的定义计算下面的行列式.

(1)-35;(2)256;(3)-8;(4)29.

思考题2・2

I.若对方阵4进行•次对调变换得到则同=一画；若对方阵A进行一次倍乘变换（假

设第i行或第i列乘以数A）得到则H川；

若对方阵A进行一次倍加变换得到B、

M|A|=|B|.

2.|A|=0.

a.

3.（1）不正确。例如，设A=J7B=%，则

%生2%b22

%i+b八a\2十瓦2々12+%Al。已+小

\A+B\=4-

。21+4la22+b22出2+%%

Cl

%aia\2hM%\\42Aia\i

++4-=|A|+++

仇2公人22b2i

（2）不正确。设A的阶数为〃，则A|=（—1）〃同

12

（3）不正确。例如，设4=,则|川=0,但AHO.

4忸」=-1,国⑹|=上同的=1

5.性质2-2讲的是方阵A的第i行（列）的数与第i行（列）对应的代数余子式的乘积之和

等于A的行列式；性质2-7讲的是方阵A的第，行（列）的数与另一行（列）对应的代数余

子式的乘积之和等于0.

习题2-2

1.det(A)=[3q,。]+。2，-3。3|二一914,4+42，。3|=-9|tJpa2,a3|=-18.

q-c3q+e

2.|3。］_。2+仆，02+2仆'%|=一，，叼，。」二|34，。2，仆|=3［。］,。2，03［=6

C2-2C3

3.何,出,。|，4+可=何，。2，。1，4|十|。3，6，4也|=一,1，02，。3,4|十|4，。2也，蜀=〃一加

4.证：

(1)将第2列和第3列都加到第1歹IJ,得

a-bb-cc-a0b-cc-a

b-cc-aa-b—0c-aa-b=0.

c-aa-bb-c0a-bb-c

q+仇仇+Gq+a]々+Gq+qb、+Gq+q

(2)d+b,Zz,+Gc,+a,A+c-,C-,+凡+b、b-,+c,c,+a,

%+A4+C、C3+%。3瓦4-c3c\+%4伉+。3C3+%

G+46b\Clb\Gq%b】G

=ab+

c2+a222C、2b2c2a2=2a2b2c2

C3+%四AC3%C3%%4C3

(3)设A的阶数为〃，则〃为奇数.由A是反称矩阵，得A「=-A.两边取行列式，得

|Aq=-A|,|A|=(-ir|A|,|A|=-|A|,

故|A|=0.

5.先按行提公因式，在按列提公因式，得

a

%2bM2…叫”他iA42b2…alnbn

a21b2bla>2^2…4也〃岫a22b2-ab

=她…％••2nn•

••・•

a/h生油也…4瓦a“M册2b2…ambn

“2…％”

。21a

=星吱…阜22…a2n=b；b1.b：c

42…%

6.(1)解：先按行提公因式，在按列提公因式，得

-abacae-111

bd-cdde=abcdef1-11=4abedef

bfcf-ef11-1

10310020431004314

⑵199200395=-1200-5=100-12-5=20

30130060013000130

提高题2-2

=|^+//,a-y,/?+y,a+y|=|f+7，a-y,//4-y,2y|=2|^+J7，a,//,y|

=2(肉,a,fi,HMa,B，y|)=2(|A|+|B|)=6

2.隅=|q+a,+/，4+203+4^,4+3a,+6a3|=|a(4-a,+a5,a2+30^202+5a3|

=\a]+a2+a3,a2+3a3,-a3|=-|a)+a2,a2,a3|=-|apa2,a3|=-l

3.根据性质2-7,得A1+42+A*+4=1•4|+1•A2+1•A-+1•A*=0

4.(I)D=(-1).(-1)|-35+2-(-1)2+33+0+1(-1)4+34=-15.

a

(2)(-1)-(-1),+45+2•(—If+,a+0+l-(-l)4+44=0,6/=--.

2

5.(1)对第2行和第4行分别应用性质2-2和性质2・7,得

4(41+&2+&3)+3(A24+&5)=4

2(421+&+&3)+(424+%)=0

解得&[+A2+A23=-2.

(2)对第2行和第4行分别应用性质2-7,得

4(&+%2+八33)+3(&+AJ5)=0

2(A^)+A2+八33)+("乂+A、)=。

解得g+Ai2+A33=0.

思考题2-3

?32…123

1.2/;-/；表示第二行先乘以2,再用第二行减去第一行，=-

~12201

2.对行列式进行对调变换和倍乘变换时，需要在得出的行列式的前面添加负号和系数，对行

列式进行初等变换时，关心的是最后的数值;对矩阵进行初等变换时不需要添加负号和系数,

对矩阵进行初等变换时，关心的是用何种变换进行化简，最后化成何种形式。

[k+l=a

3.2和/需满足《，解方程组可求出攵和/.

\kl=b

习题2-3

1.⑴(―l)k〃！(2)(T)丁⑶1+(-1产中2•居

(4)abcde(5)(a占一c}d})(a2b2-c2d2)(6)-3

(7)20(8)31(9)-(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)

(10)(/?-a)(c-a)(d-d)(c-b)(d-b){d-c)

2.(l)(2«-l)(-ir，(2)1+4+%++%(3)+

/i(n-1)

(4)-2(H-2)!(5)n+1(6)(-1)^^+勿(。一份

(7)Y[(A-.-X,.)(8)(1+£■!■)《生勺(注：这里假设qq，，%都不等于0)

l<r<j<nf=lai

3.(1)先按第一行展开，再把1的余子式按第一列展开。

det(A)=：：:：=a1'—X"(—1)|+//=an-an~2=a'^(a2—1)

00…a

00…a0

1000

10…0a

(2)证：用归纳法证明。记该行列式为。”.

当〃=1时，£>[=x+q,结论成立。

JV—1c

2

当〃=2时，D、==x+a]x+a2,结论也成立。

a2x+q

假设结论对〃一1成立，即R=/I+%X”-2++*_2工+。,7,下面对〃的情况加以

证明。

x-10…00

0x-1...00

00x...00n]

=xD,i+an=x[x-+++a^x+%)十%

000...x-I

anan-\4-2…%X+G

=£'+。产+…

所以结论正确。

(3)先用第2至第〃行都减去第一行可化成箭形行列式。

王aa

ci-a00

a00

00

a

1+Z

Jl=l

000

=(i+2)n(Z-〃)

00i=i*=i

000

(…)〃11

(。一〃产

3-“6+1)

(4)=(-1尸

n-1(6/-ir'(Q-।

11am—i)”(…)”

〃("+1)n

=(-1)=11(-1)廉!=n⑶.

£二1£=1

思考题2-4

1.正确。因为|A6|=⑷用=网同=忸阂.

10

100

2.能。设4=,B=01,WJ|AB|=1,|BA|=O,|AB|^|BA|.

010

00

1000

001010000100

3.能。例如,=-l,A=