代数方程知识点及经典习题

代数方程学问点

一.一元二次方程

1、一元二次方程的一般形式［ax,bx+LO(a*0)］

2、一元二次方程的判定方法

(1)依据定义判定。［即①是整式方程②只有一个未知数③未知数的最高

次数是2］(2)依据一般形式判定。［即将整式方程进行去分母、去括号、

移项、合并同类项等变形后，假如能化为一-元二次方程的一般形式ax2

+bx+c=O(a*0)，那么它就是一元二次方程。］

二.因式分解

1、因式分解法的一般步骤：(1)将方程的右边化为零(2)将方程的左边

分解为两个一次因式的乘积(3)令每个因式等于零，得到两个一元一次

方程(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

2、一元二次方程解法的选择依次：先考虑能否用干脆升平方法和因式分

解法，不能用这两种特别方法时，再用公式法。

三.一元二次方程的根的判别式

1.一元二次方程的根的判别式的概念

2.一元二次方程的根的状况与判别式的关系

判别式定理和逆定理A>0。方程有两个不相等的实数根

0方程有两个相等的实数根

方程没有实数根

A>0。方程有两个实数根

3.一元二次方程根的判别式的应用

1）不解方程，判定方程根的状况

2）依据方程根的状况，确定方程系数中字母的取值范围。

3）应用判别式证明方程根的状况（无实根、有实根、有不相等实根、有

相等实根）

4）利用判别式解决一元二次方程的有关证明,四。

四.根与系数的关系

1一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）

假如方程ax?+bx+c=0（awO）的两个实数根是x?,那么xjx?二,

X|X?=---,

2韦达定理的逆定理

假如实数X],X?满意X|+x2=,Xjx2=,那么X1,X?是一元二

次方程ax2+bx+c=0的两个根.

3韦达定理的两个重耍推论

推论1：假如方程x2+px+q=O的两个根是Xj,x2,

那么X]+x2=,X|x2=,

推论2：以两个数x.x?为根的一元二次方程（二次项系数为1）是—

4根与系数的关系的应用

（1）验根

（2）由已知方程的一个根，求另一个根与未知系数.

（3）不解方程，求关于X1,X：的对称式的值.

2222

如：Xj+x2,Xjx,+XIx2,-,IX）—xj

x2

（4）已知方程的两根，求作这个一元二次方程.

（5）已知两数的和与积，求这两个数

（6）已知方程两个根满意某种关系，确定方程中字母的取值范围

（7）证明方程系数之间的特别关系

（8）解决其它问题，如探讨根的范围，判定三角形的形态等.

（9）根的符号的探讨

五.二次三项式的因式分解（用公式法）

1.二次三项式的因式分解公式ax2+bx+c=

2.因式分解的一般步骤：（1）用求根公式求出二次三项式ax2+bx+c对

应的方程ax?+bx+c=0的两个实数根X],x2；（2）将a、x1，x?的值代

入二次三项式的因式分解公式，写出分解式。

3.如何判定二次三项式在实数范围内能否因式分解：即当ANO时，能

在实数范围内分解因式；当A〈0时，不能在实数范围内分解因式

4•解分式方程的基本方法：去分母法；换元法；列分式方程解应用题

六.二元二次方程组的解法

解二元二次方程组的基本思想、方法。思想是“转化”即二元转化为

一元，将二次转化为一次。方法是先降次，再消元。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解

法：代入消元法；逆用韦达定理。

同步练习

一、一元二次方程

1.关于X的方程(a—5)4—4入-1=0有实数根，则3满意()

A.B.a>l且aW5C.且aW5D.aW5

2.假如关于x的一元二次方程f+px+E)的两根分别为种2,及二1，那么

P，。的值分别是

(A)-3,2(B)3,-2(C)2,-3(D)2,3

3.已知小，〃是方程d—2x—1=0的两根，且(7，/—]4机+。)(3〃2—6〃-7)=8,

则。的值等于()

A.-5B.5C.-9D.9

4.已知方程法+a=o有一个根是则下列代数式的值恒为常

数的是()

A.abB.—C.a+bD.a-b

b

5,关于工的一元二次方程f_〃a+2〃Ll=0的两个实数根分别是补上2,

且X；+石=7,则(X-々)2的值是。

A.1B.12C.13D.25

二、填空题

1.已知乂、也为方程f+3x+1=0的两实根，则XJ+8X2+20=.

2.设为、尼是一元二次方程/+4彳一3=0的两个根，

2乂（是2+5用-3）+a=2,则炉▲.

3.已知X=1是一元二次方程/+〃a+〃=0的一个根，则加2+2/〃〃+"2的

值为.

4.设阳，々是一元二次方程f—3x—2=0的两个实数根，贝丘2+3犬用+4的

值为.

5.若实数加满意"一Min+1=0,则m+/〃'=.

6.已知一元二次方程/_（百+1卜+百_i=o的两根为玉、々，则

二、因式分解

1.

2.3.——-b-=1（aH0）

x-ax+b

4.;5.

公2x—6/c、+x—6

6.------r+(x+3)-x"------

4-4A+X23-x

7.若关于x的方程有增根,求增根和k的值.

8.已知!」=3,求2〃+3"-3的值

aba-lab-b

9.若O<x<l,且的值

m+nm-n2mn

10.化简代数式，将m,n值代入求值

nr-n~ni-\-n；+“IQn-〃)

三、解答题

1.已知关于X的一元二次方程&r+公+1=0（〃。0）有两个相等的实数根,

求的值。

LXZ

2.已知关于x的一兀二次方程f+（2〃1）+〃2=0有两个实数根芭和x2.

（1）求实数加的取值范围；

（2）当x；-x；=O时，求〃7的值.

3.题甲：若关于x的一兀二次方程x2-2（2-k）x+k。+12=0有实数根p.

（1）求实效4的取值范围；

（2）设，求£的最小值.

4.已知关于x的一元二次方程2（1-///）x—/的两实数根为乂，近

（1）求/〃的取值范围；

（2）设/二冬+小，当y取得最小值时，求相应/〃的值，并求出最小

值.

2

5.关于x的一元二次方程x-X+〃-1=0有两实数根内、x2.

（1）求p的取值范围；（4分）

（2）若［2+再（1一项）］［2+%2（1-W）］=9,求P的值.（6分）

6.已矢口关于才的方程/一2/一3»+产一4攵一1=0.

（1）若这个方程有实数根，求A的取值范围；

（2）若这个方程有一个根为1,求左的值；

（3）若以方程/-2伏-3»+/一以-1=0的两个根为横坐标、纵坐标

的点恰在反比例函数的图象上，求满意条件的力的最小值.

7.在等腰AABC中，三边分别为〃、b、c,其中。=5,若关于x的方程

幺+(0+2)工+6-〃=0有两个相等的实数根，求aABC的周长.

三、二元二次方程组