弹簧-质量-阻尼模型

弹簧-质量-阻尼系统

1研究背景及意义

弹簧-质量-阻尼系统是一种比较普遍的机械振动系统.研究这种系统对于我们的生活与科技也是具故意义的，

生活中也随处订见这种系统，例如汽车缓冲器就是一种“以耗减运动能量的装置，是保证驾驶员行车安全的必

备装置.，再者在建造抗箧加固措施中引入阻尼器，改变结构的自振特性，增加结构阻尼，吸收地宸能量，降低

地震作用对建造物的影响。因此研究弹簧-质星-阻尼结构是很具有现实意义。

2弹簧-质量-阻尼模型的建立

数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其

中，微分方程是基本的数学模型，不管是机械的、液压的、电气的或者热力学的系统等都可以用微分方程来描

述。微分方程的解就是系统在输入作用下的输出响应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前

提0通常情况下，列写机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律，质量守恒定律等。

弹簧-质量-阻尼系统是最常见的机械振动系统。机械系统如图2.1所示,

/

/

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/

图2.1弹簧-质量-阻尼系统简图

其中〃匕，表示小车的质量，马表示缓冲器的粘滞磨擦系数，九表示弹簧的弹性系数，几⑴表示小车所受的

外力，是系统的输入即U,⑴=Fr(t),X,⑴表示小车的位移,

是系统的输出，即匕(D=X。)，1=1.2。设缓冲器的磨擦力与活塞的速度成正比，其中

"4=lkg,"i：=2kg,k]=&3=IOON/cn],k?=300N/cm,ci=c?=3N-s/cm>C2=6N,&/cnio

市图2.1,根据牛顿第二定律，，建立系统的动力学模型如卜.：

m两+(J+J)舄-C2X2+g+/：2>X!-kX2=Ft(t)

2(2-1)

mH；+(&+03)x2-c?Xi+(k?+k3)X2-kzXt=F2(t)(2-2)

iii[塌+(Ci+—C2X2+1k]+k2)，i—kg?=F](l)

CA

m2A2+,2+3)2—部+(k2+k3)x2-k2Xl=F2(t)

3建立状态空间表达式

令弓:土，入4=*2,"I=F：=尸"则原式可化为:

，姐+(4+IM-I2X4+(4+令).一k2X2="k(!)W2I4+(h+[冈-顷+仅2+kg-k2s

="2⑴

化简得:

X=也3+给—(L+JR+(L+S+M(23)

M2〃）+顷一（&+攵2卜2—（Z3+，2卜4+顷

(2-1)

in.

推理得:

0010■00,

000100

一传+幻）(L+4)匕X21

X=+0

呜M2

一代+虹）(E)0J-

(2•5)

——-——

，儿"%

-1000-工

V=一

_0100■q

小=1,〃〃=2间=攵=100,处=300代,=34=6

0「00

1001

代入数据得：A=B=c=

-4003006100

150一200~4.500.5

则系统的状态空间表达式为

4化为对角标准型

当系统矩阵人有n个不相等的特征根人(,一1,2.3...)时•相应的有n个不相等的特征向量

〃双=123…)，所以有矩阵A的特征矩阵M="饪仇…mJ根据矩阵论阡=线性变换得：r=Unz=7xnx=/\fz

4=AA/=力口成为，九2,……人)

Z=+M,BU=A'Z+B'UM~B

y=cz+£>,£/C'=CM

D=D

可以使用mallab进行对角标准型的运算，niallab作为一种数学运算工具，很大程度的方便了了我们的计算，对于这个弹

簧-质量-阻尼系统是一个四阶的状态空间表达式，所以可以用inailab简化计算。

U)求特征值与特征向量

A=[0010;0001;-40030096;150-2003-4.5]

B=[00;00;10;00.5]

C=ll000;0100]

[PJ]=e]g(A)

求得结果:

0.0007-0.040210.0007+0.040210.0401-0.069810.0401+0.06981

-0.0171+0.01571-0.0171-0.015710.0176-0.079210.0176+0.07921

0.86500.86500.6682+0.208410.6682-0.20841

-0.3442•0.36211■03442+0.362li0.70500.7050

0.3667+21.51831

0.3667-21.51831

001.8833+8.48641

001.8833-8.48641

(2)P矩阵求逆

PN=inv(P)求得结果:

PN=

3.4167+9.7803i-2.IO17-9.2399i0.3466♦0.23231-0.4703-0.10541

3.4167-9.78031-2.1017+9.239910.3466+0.23231.C.4703+0.10541

-3.3554+3.422413.7199+3.203210.2886・0.035310.5337-0.24091

-3.3554•3.4224i3.7199-3.203210.2886+O.O353i0.5337+0.2409i

(3)带入公式B=PNBC=CP

解得对角标准型为：

03667+21.5183100.3466-023231-0.2352-005271

0.3667+21.518310.3466十0.2323i-0.2352+0.05271

01.8833+8486410.2886-0035310.2669-012051

018833-8486410.2886+0O353i02669I-01205]

'0.0007-0.040210.0007+0.040210.0401-0.069810.0401+0.06981

-0.0171+0.01571-0.0171-0.015710.0176-0.0792i0.0176+0.07921

5求状态空间表达式的解

(1)求状态转移矩阵

A=T-A7*成〃广

其中，T为特征向量

-0.0007-0.040210.0007+0.04021O.(MOO.O69810.0401+0.0698J000

cser阳二

Al.0.0171*0.01571-0.0171-0.015710.0176-0.079210.0176*0.079210<rp00

086500.865006<5S2A0.6682-0.20841*00-S83W0T

■•

03442-03d2h•0.34424-0.362H070500.70500o0

4

状态转移矩阵为:

•5.5977-0.6477+0.000010.19990.4493

At-4.4097-0.00001-0.58l7+0.0000i0.2247+0.000010.5509+0.0D00i

e=

“2.5772十0.00001•29.8835-0.00001-2.4502-1.4700-0.00001

-7.2316+0.00001-42.7799-0.00001-0.7350-0.00001-1.7127-0.00001

3.4167+9.78031-2.1017-9.239910.3466-0.23231■0.4703-0.10541

3.4167.9.7803i-2.1017+9.239910.3466+0.2323i-0.4703+0.IO54i

-3.3554+3.422413.7199+3.203210.2886-O.O353i0.5337-0.24091

-3.3554-3.422413.7199-3.203210.2886+0.035310.5337+0.24091

5可控性与可观性

不同于经典控制理论，能控性和能观性，是一个具有实际意义的概念，经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出

特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出最便可以受控，且输出量总是可以被测晨的，于是不需要

能控能观性的提出。但是现代控制理论是建立在状态空间表达式描述系统的基础E的，状态方程描述输入u⑴引起状态

x(t)的变化过程，输出方程描述有状态变化引起的输出y⑴的变化。能控能观便是定性的描述输入u⑴时状态x(t)的控制

能力，输出y⑴对状态x⑴的反应能力，他们分别回答了

“输入能否控制状态的变化”--可控性

“状态的变化能否有输出反映出来”-----------可观性

此外在二程上常用状态变量作为反馈信息，诃是状态x⑴的值通常是难测的，往往需要从测量到的y⑴中估计出状态，如

果输出y⑴不能彻底反映出系统的状态x(t).那末就无法实现对状态的估计。

能控性定义：当系统用状态方程描述时，给定系统的任意初始状态，可以找到允许的输入量，在有限的时间内使系统

的所有状态达到任一终止状态，则称系统是彻底可控的。有状态方程X,(gxgu(t)其解为：”*侦。•)+£次如*力口如果有

限的时间内0内通过输入Mu⑴的作用把系统的所有状态引向状态x(H)[设x(⑴=0],则应有：

x(,i)=/&(0_)+r*2力〃(T)dr=0

即在给定x(0.)和A、B的条件下求可以使x⑴=x(tl)的u(t)。换言之:上述方程有解则系统能

控。

b*x(0_)+gd'2，Bu(r)dr=0=x(0_)=-£*<A,Bu(r)Jr

根据凯莱―哈米尔顿定理，e-At.eAt可写成有限级数:

x(0_)=・e~ABu(r)Jr=-£q(r)A'Bii(r)dr=-AA'B£c,(r)u(r)Jr

--j-0i-O

,w—I

令叫(G=gc“(FXi(r)m=>X(0_)=-£AB/jUJ

-i-O

写成矩阵形式X(0_)=_[BAB...AAB]

如果方程有解•，等式右边左侧矩阵应满秩=】\此时系统是可控的。

求可控性:

93

Q=[BAB人*同=：00().53-2.25

093-301163.5

0.53-2.25163.5-80.875

u=4满秩所以系统是可控的

可观性定义：当系统用状态方程描述时，给定控制后，如果系统的每一个初始状态x(O-)都可以在有限的时

间内通过系统师辅•中林'惟一族电血1玮百绍彻底可观。若只能确定部份初始状态，则称系统部份可观。

x(.)=广'(0]+[建1%11(以/I■仲=€巡)其解为

>•(/)=Cevx(0_)+C[£AAU-°Bu(r)c7r]

由于在i寸论能观性问题时，输入是给定的.上式右侧第二项是确知的，设u(t)=OoWl)=CcAlx(0人根据凯莱

一哈米尔顿定理，e-Ar.eAf4写成有限级数：

=co(01+c)(/)A+c,(OA;+-4-AAA=

>-0

H-l

y(r)=C[co(f)I+W)A+q(i)A'+...+j(r)A2]x(0.)=£")CAX0.)

*

写成矩阵形式y(，)=[co(Dj(r)Jo)],、x(o_)

CA,M,

4

如果方程有解，等式右侧中间侧矩阵应满秩。其中，秩=门(系统的阶数)

求可观性：

0

0

c

0

CA

0=i

CAM

-4003006

150-2006

满秩所以系统是可观的

6求系统的输入输出传递函数

对于两输入两输出的系统求得的传递函数是一个二阶的传递函数陈，其中包含四个传递函数匕⑴S)”、/曾、

*($)/“($)匕(时以($)

Tiaiisfeifunctionfrominput1tooutput...

sA2+4.5s+200

#1:-------------------------------------------------------

sA4•4.5sA3+541.5sA2-1800s+3.5e004

3s+15O

#2:

sA4-4.5sA3+541.5sA2•1800s+3.5e004

Tiaiisfeifunctionfrominput2tooutput...

3s+150

#1：…….....................................................-

sA4•4.5sA3+541.5sA2-1800s+3.5e004

0.5sA2-4.5s+200

#2:-------------------------------------------------------

sA4•4.5sA3+541.5sA2-1800s+3.5e004

矩阵函数阵:

sA2+4.5s+2003s+150

sA4-4.5s3+541.5sA2-l800s+35c004s'、4-4.5C+541.5L2-1SOOS+

3.5CO04

3s+150

sA4-45sA3+541.5sA2-l«00s+3.5e004

/4•4.5广3+541.5广2•捐00,+

7分析开环稳定性

楫定性定义是系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性。系统正常工作要求是系统在受到外界扰

动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢红到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继

续工作，且线性系统稳定性与输入作用无关。研究系统的稳定性对干研究系统能否正常工作具有很重要的意义，

稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是系统的重要特征。我们不仅要分析一个系统是否稳定还要解决

的问题便是怎样使一个系统稳定。经典控制理论稳定性判别方法有不少，例如代数判据，niquist判据，根轨迹

判据等。而现代控制理论时常用李雅普诺夫第二法求稳定性。

(1)利用特征根的方法

根据上述结果求得的特征根为0.3667+21.518310.3667+21.51S3I1.8833+

8.4864i1.8833-8.4864i，四个特征值全部都在砸标轴的右半平面，所以系统是不楣定的。

(2)利用利亚普诺夫第二法求解

心)=0.5(力一++X3+X4>

=XX+XzX2+X5X3+K

其中：

XrX.

xrx,

M=_400x+300名+9用+6K

M=15°X厂200芯+3尤厂4.5尤

A

=>\(.r)=-l99xX4-399XX3+3OOx,%3+9x3-+9VJX4+150x1X4-4.5x4

00-399150

0300-199

将其换成矩阵形式人工可以看出A不是正定的，所以系统不稳定。

0

-4.5

8利用状态反馈将系统的闭环极点配置到合适的值

状态反馈是将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输入相加.其和作为受斐系统的控

制输入。

原受控对象为经过状态反馈后得到的闭环系统为

闭环系统期望极点选取原则为以下几点：

1）n维控制系统有n个期望极点；

2）期望极点是物理上可实现的，为实数或者共辄复数而：

3）期望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响（离虚轴的位置），及与零点分布状况的关系。

4）离虚轴距离较近的主导极点收敛慢，文寸系统性能影响最大，远极点收敛快，对系统惟独极小的影响。

闭环极点0.3667+21.518310.3667-21.518311.8833+8.4S6411.8833•8.48641

配置状态反馈后，系统应稳定，所以期望极点应在虚轴左侧，所以期望闭环极点-I.100R64.5549111001-

64,55491-5.6499+25.4952-5.6499-25.4952得到极点配置矩阵

K=

L0e+003*

1.2556-0.03750.0157-0.0332

4

0.97182.89690.08390.004

验证极点配置结果是正确的：ans=

T.1001-64.5549iT.1001+61.5549i-5.6499-25.49521-5.6499

+25.4952i

求得开环传递函数阶跃响应曲线(没有经过状态反馈的)：

StcoResponse

Time(sec)

没有上升时间

经过状态反馈的传递函数：G>($)=—也一B

状态空间表达式为£[(A-BK).BXJ

Matlab解得闭环传递函数:

s"2+6.758s+1618

#1•IIIIII11III..............................................11IIII11

s"4+13.5s"3+4875s"2+4.86e001s+2.843e006

-38.95s-335.9

#2:

s4+13.5s*+1875su2+<86e001s+2.813e006

Transferfunctionfrominput2tooutput...

19.59s+168.7

日I:

4

s4+13.5s3+1875s2+4.86e001s+2.813e006

0.5s2+3.371s+827.8

#2;

s”4+13.5s*+4875sn2+4.86e001s+2.813e006

反馈后的阶跃响应：

阶跃响应上升时间是O•O34S,配置后系统最终稔定。

9设计全维状态观测器

不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入U和输

出y来估计系统状态。1变：全能观测

量，是一个物理可实现y的测便可以从可

量，可以惟一的确测量y

和u中把x间接重构出来：

全维渐进状态结构图：：

系统的原极点为0.3667+21.518310.3667+21.518311.8833+8.486411.8833•8.48641

期望极点应是原极点的2・5倍，并非越快越好。

期望极点为-1.4668+86.07321-1.4668-86.07321-7.5332+33.94561-7.5332-33.94561

4

17.551.1,

-52.65.()

L=

3199.91608.8

12232246.1

相应的全维观测器是:

X=(A-LC)x+Bu+Ly

17.551.10017.551.1

-52.65.000-52.65.0

v+//

-4003003199.91608.8103199.91608.8

150-200-4.512232246.100.5122.32246.1

17.551.1000-17.551.1

-52.65.0000-52J55.0

-4(X)3003199.91608.8001103199.91608.8)'

150-200-4.5122.32246.100|0.5122.32246.1

1

r17.551.1

-17.5-51.500

52.6-500-52.65.0

x+〃J-

-3599.9-1308.8103199.91608.8

27.7-2446.10-4.500.5[122,32246.1

-17.51-51.1310

52.62-4.98501

10带观测器的输出状态空间表达式：A=

-3600-130996

27.66-24463-4.5

100

17.5151.13010

-52.624.985100

C=D=0

32001609010

122.32246001

000

4

Out,3\\®.Z*3DQ«a

幻id,LI

分别得到输出和观测状态的传递函数:

TransferfiinctionfrominputMy1Htooutput...

17.51sA3+5899sA2+1.23eOO5s+7.911e006

vle.

sA4+18sA3+8664sA2+l.l52eOO5s+8.96e006-52.62sA3+359.1

sA2-6844s+4.369e005

y2_e

sA4+18sA3+8664sA2+1.152eOO5s+8.96e006

17.51sA3+5899sA2+1.23eOO5s+7.911e006

sA4+l8sA3+8664sA2+IJ52eOO5s+8.96206

-52.62sA3+359.1sA2-6844s+4.369e005

x2c.

sA4+18sA3+8664sA2+1.152eOO5s+8.96e006

3200s3+9.295e004sA2+7.698e006s+3.967e006

sA4+18sA3+8664sA2+1.152eOO5s+8.96206

122.3sA3+1.405e005sA2-8571s+5.737e007

sA4+18sA3+8664sA2+1.152eOO5s+8.96e006

4

TransferfiinctionfiommputHy2utooutput...

51.13sA3+1379sA2+2.945e004s+8.583cOO5

y1_c.-------------------------------------------

sA4+18sA3i-8664sA2+1.152cOO5s+S.96c006

4.985sA3+5001sA2+1.152e005s+8303e006

y2”---------------------------------------------------------------------------

sA4+18sA3+8664sA2+1,152eOO5s+8.96206

51.13s