选择性必修第三册教师用书第八章82一元线性回归模型及其应用

8.2一元线性回归模型及其应用

新版课程标准学业水平要求

：।.结合具体实例.r解•无线性mmi模

型的含义.广解模耀参数的统计意义.

1.「解•元线性刚।模型的含义.r解模型参数的统计意义.（数学抽象JE轼推理）

了解最小二乘原理,掌握一元线性网

2.常握最小二乘法•会求一-出线的方程•能根据经脸刚I方程进行预测.（数学抽象、数

以模澳参数的最小二乘估计方法•会

学运算）

使用相关的统计软件.

理解残差、决定系数的概念,会进行线性分析.（数学抽象、数据分析）

:2.针对实际问即•会用•元线性回中模3.mw।

:耀进行预测.

必备知识•素养奠基

L一元线性回归模型

一元线性回归模型的完整表达式为［厅卜之梵2其中丫称

为因变量或响应变量,X称为自变量或解释变量;a,b为模型的未知参

数，e是Y与bx+a之间的随机误差.

?思考

具有相关关系的两个变量,其样本点散布在某一条直线kbx+a的附

近，可以用一次函数y-bx+a来描述两个变量之间的关系吗？

提示：不能.

2.最小二乘法与经验回归方程

⑴最小二乘法

产欲+3称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公

式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二

乘法,求得的x,3叫做b,a的最小二乘估计.

⑵经验回归方程的系数计算公式

经验回归方程彳的计算公式3的计算公式

同（

广JAa——y6-

（3）经验回归方程的性质

①经验回归方程一定过点__（元边―；

②一次函数"%X+3的单调性由工的符号决定，函数递增的充要条件

是Q0;

③工的实际意义：当X增大一个单位时,J增大不个单位.

?思考

正相关、负相关与力的符号有何关系？

提示：Y与X正相关的充要条件是QO,Y与X负相关的充要条件是*0.

3.残差

⑴残差:对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验

回归方程得到的e称为预测值，观测值减去预测值称为残差.

（2）决定系数:R2=l[“yL》越接近1,表示回归的效果越好.

一，索养小渊—

1.思维辨析（对的打“J”，错的打“X”）

⑴经验回归方程一定过样本中的某一个点.（）

⑵选取一组数据中的部分点得到的经验回归方程与由整组数据得到

的经验回归方程是同一个方程.（）

⑶在经验回归模型中,R2越接近于1,表示解释变量和响应变量的线性

相关性越强.（）

⑷在阿两个变量的散点图时，响应变量在X轴上，解释变量在y轴

上.（）

提示：（1）X.经验回归方程一定过点（元y）,可能过样本中的某个或某

些点，也可能不过样本中的任意一个点.

⑵X.选取一组数据中的部分点得到的经验回归方程与由整组数据得

到的经验回归方程不一定是同一个方程.

（3）V.

（4）X.在画两个变量的散点图时，解释变量在x轴上，响应变量在v轴

上.

2.若某地财政收入x与支出Y满足经验回归方程度汰+3+巳（单位:亿

7C）（i=l,2,…），其中20.8,a=2,|ei|<0.5,如果今年该地区财政收入10

亿元，年支出预计不会超过（）

A.10亿元B.9亿元

C.10.5亿元D.9.5亿元

【解析】选C.户0.8X10+2+ei=10+ei,

因为|e」<0.5,所以9.5«<10.5.

3.若施肥量x（kg）与水稻产量Y（kg）的经验回归方程为产5x+250,当施

月巴量为

80kg时,预计水稻产量约为_______kg.

【解析】把x二80代入经验回归方程可得其预测值y二5X

80+250=650(kg).

答案：650

关键能力•素养形成

类型一求经验回归方程

【典例】某种产品的广告费用支出x与销售额Y(单位:百万元)之间有

如下的对应数据：

x/白力兀24568

Y/百万元3040605070

(1)画出散点图；

⑵求经验回归方程；

⑶试预测广告费用支出为10百万元时,销售额多大？

【思维•弓I】(1)按表中的数据在平面直角坐标系中描点即得散点图;

(2)由公式求出&Z,写出经验回归方程；

(3)利用经验回归方程分析.

【解析】(1)散点图如图所示：

>'/百万兀

70

60

50

40

30

20

10

012345678x/g■万元

⑵列出下表，并用科学计算器进行有关计算:

•

112345合计

Xi2456825

V、3040605070250

XiYi601603003005601380

Xi416253664145

5_

所以/=5,歹上=50,Exf=145,Zxy=1380.于是可得H

33t=l»=1

138O-5X5X5€一一会，「、「…广

-14Ss2xs=6.5,«=y-/3t=50-6.5X5=17.5.

所以所求的经验回归方程为＞=6.5x+17.5.

⑶根据上面求得的经验回归方程，当广告费用支出为10百万元

时，产6.5X10+17.5=82.5（6万元），

即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元.

【内化•悟】

求经验回归方程前应注意什么问题？

提示：对于性质不明确的两组数据，要先作散点图，从图中看它们有无

线性相关关系，有相关关系的求出的经验回归方程才有实际意义.

【类题•通】

求经验回归方程的步骤

⑴画散点图：由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相

关关系.

(2)求回归系数:若存在线性相关关系，则求回归系数.

(3)写方程:写出经验回归方程,并利用经验回归方程进行预测说明.

【习练•破】

某公司的生产部门调研发现，该公司第二,三季度的月用电量Y与月

份x线性相关，且数据统计如下：

但核对电费报表时发现一组数据统计有误.

(1)请指出哪组数据有误，并说明理由；

⑵在排除有误数据后，求月用电量与月份之间的经验回归方程产新+金

并预测统计有误那个月份的用电量.(结果精确到0.1)

【解析】(1)作散点图如图所示.因为用电量与月份之间线性相关，所以

散点图的样本点分布在经验回归直线附近比较窄的带状区域内，而点

(7,55)离其他点所在区域较远，故(7,55)这组数据有误.

y(千瓦时)

65

55・•

45・

35

25.

15・

53456789X

⑵排除(7,55)这一组有误数据后，计算得启6.4,齐30.2.

s

Ex(y(Sx>

"4------g9.98,

Ex?-5^

4=11

a=y-^c^-33.67,

所以经验回归方程为产9.98x-33.67,

当x=7时尸引36.2,

即7月份的用电量大约为36.2千瓦时.

类型二线性检验回归分析

【典例】某运动员训练次数与训练成绩之间的数据关系如表:

(2)求出经验回归方程；

(3)作出残差图；

⑷计算R1并说明运动员的训练次数对成绩的影响占百分之几.

【思维•弓I】根据题意先作散点图再求经验回归方程、残差及R；

【解析】（1）作出该运动员训练次数X与成绩Y的散点图，如图所示.由

散点图可知，它们之间具有相关关系.

88

(2)x=39.25,JF40.875,E号=12656,Zx.yFlS180,

!•1("1

Ex(y(~Bxy

所以行气------^1.0415,a=y-zx=-0.003875,

£x?ta2

I1

所以经验回归方程为产1.0415x-0.003875.

⑶残差分析：下面的表格列出了运动员训练次数和成绩的原始数据以

及相应的残差数据.

XYe

3030-1.2411

3334-0.3656

35370.5514

37390.4684

39421.3854

44460.1779

46480.0949

5051-1.0711

作残差图如图所示.

由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，说明选择的模型

比较合适.

⑷计算R2^0.9855,说明了该运动员的训练次数对成绩的影响占

98.55%.

【类题•通】

“W、残差图”在回归分析中的作用

（1）R2是用来刻画回归效果的，由R2=l-薪不可知R2越大，意味着残差

平方和越小,也就是说模型的拟合效果就越好.

⑵残差图也是用来刻画回归效果的，判断依据是：残差点比较均匀地

分布在水平带状区域中，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归

方程预报精度越高.

【习练•破】

为研究质量X（单位:g）对弹簧长度Y（单位:cm）的影响,对不同质量的

6个物体进行测量,数据如表所示：

X51015202530

Y7.258.128.959.9010.911.8

(1)作出散点图并求经验回归方程；

⑵求出R2并说明回归模型拟合的程度;

⑶进行残差分析.

【解析】(1)散点图如图.

Y

14

6・

4

2

0~5101520253035-V

X=^X(5+10+15+20+25+30)=17.5,

6

y=ix(7.25+8.1218.9519.90+10.9+11.8)以9.487,计算得》仁0.183,a

6

心6.285.

故所求经验回归方程为产6.285+0.183x.

⑵列出残差表为

丫「臭0.050.005-0.08-0.0450.040.025

y-y-2.237-1.367-0.5370.4131.4132.313

66

所以£(yi-Ji)2^0.01318,£(yi-y)-14.6783.

nW1fl

所以，R2=1_----------心0.9991,回归模型的拟合效果较好.

14.6783

(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认

在采集这个样本点的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正，

重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在狭窄

的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析

可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系.

类型三非线性经验回归问题

【典例】为了研究某种细菌随时间X的变化繁殖个数Y的变化，收集数

据如下：

时间x/天123456

繁殖个数Y612254995190

⑴将天数做解释变量,繁殖个数做响应变量，作出这些数据的散点图；

⑵描述解释变量与响应变量之间的关系.

【思维•引】先由散点图确定相应的函数模型，再通过对数变换将非线

性相关转化为线性相关的两个变量来求解.

【解析】（1）由表中数据作散点图如图所示.

个

200.

180卜

160卜

i4or

120卜

100卜.

801

60卜

401*

2。匕・•

123456x/天

（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数的图象的周围，

其中G和C2是待定系数.于是令Z=InY,则"欲+3（=Incbg）,因此变

换后的样本点应该分布在直线”以+3的周围，因此可以用经脸回归模型

来拟合Z与X的关系，则变换后的样本数据如表:

X123456

Z1.792.483.223.894.555.25

由表中数据得到经验回归方程2=0.69x+1.115.

因此细菌繁殖个数关于时间的非线性经验回归方程为v=e°-69x+1-115.

【内化•悟】

将非线性相关问题转化为线性相关问题的依据是什么？

提示：根据散点图确定.

【类题•通】

1.非线性经验回归问题的解题步骤

2.常见转化类型

⑴反比例函数y=a+勺可作变换t=i,得y=a+bt.

XX

⑵幕函数型y二ax'(a>数可作变换Y=lny,m=lna,t=lnx,则有Y=m+bt.

(3)指数型函数y=kabx(a>0且aWl,k>0)可作变换Y=lny,m=lnk,则

有:Y=m+

(blna)x.

【习练•破】

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费

X（单位:千元）对年销售量Y（单位:t）和年利润z（单位:千元）的影响.对

近8年的年宣传费Xi和年销售量.（i=1,2,…,8）数据作了初步处理,

得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量八

620

60()

580

56()

540

52()

500♦

3638404244464850525456

年宣传费/千元

占占（w「占(x「R(y占卜而（

xyW

w)2yi-y)

46566.

289.81.61469108.8

.638

表中Wi=w=-Ewi.

8i-l

（1）根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dQ哪一个适宜作为年销售量Y关

于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可,不必说明理由）

⑵根据（1）的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据⑵的结果

回答下列问题：

①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大？

附:对于一组数据Q,vJ,（U2,V2）,…，（Un,V）其回归直线加的斜率

和截距的最小二乘估计分别为

n

E（u（-u）（r（-p）_

-----------------------,&二了一阻.

昌仙旬2

【解析】（1）由散点图可以判断，尸c+dQ适宜作为年销售量Y关于年宣

传费x的回归方程类型.

⑵令W二G,先建立Y关于W的经验回归方程.

9

,十，三（w（-w）（y（-y）iQ8.c——

由于左^"S--------=----=68,加二563-68X6.8=100.6,

E^wpw）2L6

所以Y关于w的经验回归方程为产100.6+68w,

因此Y关于x的经验回归方程为产100.6+685/x.

⑶①由⑵知,当x=49时，年销售量Y的预报值2100.6+68749=576.6,

年利润z的预报值w576.6X0.2-49=66.32.

②根据⑵的结果知，年利润z的预报值

2=0.2（100.6+684）-x=-x+13.6>/x+20.12.

所以当代皇=6.8,

即x=46.24时，会取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

【力口练•固】

如表是某年美国旧轿车价格的调查资料.

观察表中的数据，试问平均价格与使用年数间存在什么样的关系？

【解析】设x表示骄车的使用年数,Y表示相应的平均价格，作出散点

图.

30

2x5x)

2o0o嚅

15

10

J5oo

oo

nI234567N9I0X

由散点图可以看出Y与x具有指数关系,

令Z=InY,变换得

X12345678910

Z7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318

作出数点图：

Z

8・

7-

6-••

5....................

0123456789H）x

由图可知各点基本上处于一直线附近，由表中数据可求出经验回归方

程：”8.166-0.298x.

因为旧车的平均价格与使用年数具有指数关系，所以其非线性经验回

归方程为产e.

课堂检测•素养达标

1.关于回归分析,下列说法