四边形及多边形2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章

四边形21.1.2多边形及其内角和学习目标

1.探索并掌握多边形内角和与外角和公式2.能运用多边形内角和与外角和公式解决

有关问题，提升推理能力多边形在生活中也很常见，观察下图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？类比三角形、四边形的概念，你能说出什么是多边形吗？

在平面内，由

n（n≥3）条线段

A1A2，A2A3，…，An－1An，AnA1

首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.A1A2A3A4A5An－1An多边形有几条边就叫作几边形.与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段

A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.边顶点对角线内角说明

：n(n≥3)边形共有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角，从一个顶点处可以引(n-3)条对角线.外角凸四边形凸七边形凸八边形与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.正三角形正方形正五边形正六边形探究1：类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？

从五边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于____×180°；233转化为三角形的内角和.从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于____×180°；344由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？A1A2A3A4A5An－1An

一般地，从

n

边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将

n

边形分为

个_____三角形，n

边形的内角和等于_____×180°.n

边形的内角和等于(n－2)×180°.正多边形的每个内角的度数等于(n－2)×180°n

(n－3)

n－2)(n－2)把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？方法图示方法1：如图所示，在n边形内任取一点P，连接

PA₁,PA₂,...,PAn，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角的度数，即得n边形的内角和为

n×180°-360°=(n-2)×180°.方法图示方法2：如图所示，在n边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得(n-1)个三角形，n

边形内角和等于这(n-1)个三角形的内角和减去在点P处的一个平角的度数，即得n边形的内角和为(n-1)×180°-180°=(n-2)×180°.这样就得出了多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°.

探究与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角、它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°外角和等于n×180°-(n-2)×180°=360°.在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.四边形的外角和等于360°.ABCD多边形的外角和等于

？探究2：你能根据四边形的外角和，说一说什么是多边形的外角和？A1A2A3A4A5An－1An多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______.n

边形的内角和与外角和的总和等于__________.n

边形的内角和等于_____________.n

边形的外角和的总等于邻补角n

×180°(n－2)×180°n×180°－(n－2)×180°=360°多边形的外角和等于360°.A1A2A3A4A5An－1An

从多边形的一个顶点

A

出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点

A，然后转向出发时的方向.

在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和.

由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.你还有其他方法帮助理解为什么多边形的外角和等于360°吗？思考：知道了多边形的外角和公式，那么回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个外角是多少度吗？为什么？

因为正多边形的每个外角相等，所以用外角和（360°）除以内角的个数（n）即可得到正多边形每个外角的度数.正多边形的每个外角的度数等于360°n这节课有什么收获呢？多边形及其内角和多边形的定义及有关概念多边形的内角和等于________________多边形的外角和等于_____.(n-2)×180°360°

图(1)是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图(2)是从图(1)冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形.已知∠3+∠4=18