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文档简介

第2章

空间向量与立体几何

2.3.1第2课时

空间向量的直角坐标表示平面向量的运算有哪些？平面向量运算的坐标是如何表示的？平面向量的线性运算的坐标表示它们能否推广到空间向量呢？

问题1：类比平面向量加减运算的坐标表示，思考空间向量加减运算该如何用坐标表示？（一）空间向量线性运算的坐标表示

两个向量和（或差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（或差），即①空间向量加、减运算的坐标表示：问题2:类比平面向量数乘运算的坐标表示，思考空间向量数乘运算该如何用坐标表示？

一个实数与向量乘积的坐标等于这个实数乘以向量相应的坐标,即②空间向量数乘运算的坐标表示：问题3：

类比两平面向量平行的坐标关系，思考两空间向量如果平行，那么它们的坐标存在什么样的关系？有了空间向量的坐标，我们就可以把空间向量运算转化为空间坐标的运算.③两空间向量平行的坐标关系：例1

已知

a＝(－1，－4，8)，b＝(3，10，－4)，求a＋b，a－b，3a．

例2

已知空间四点

A(－3，3，1)，B(3，－5，3)，C(10，0，10)，D(7，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形．

梯形的特点是什么？如何用向量的知识刻画呢？例3

如图，已知A

(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M在直线AB上，AM=λMB，λ为实数且λ≠－1，求点M的坐标．

例3

如图，已知A

(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M在直线AB上，AM=λMB，λ为实数且λ≠－1，求点M的坐标．

我们称点M为有向线段AB的定比分点．（二）空间向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标关系：平面向量的夹角公式：两平面向量垂直的充要条件：试一试：类比平面向量数量积运算的坐标表示，推导出空间向量数量积运算的坐标表示.①空间向量数量积运算的坐标表示：

两个向量的数量积等于这两个向量相应坐标乘积的和，即②空间向量的模的坐标表示：

③给定两空间向量的坐标，求它们夹角的余弦值：④两空间向量垂直的充要条件：空间向量数量积的坐标表示要点归纳例4

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为

DD1，BD，BB1的中点．

（1）求证：EF⊥

CF；（2）求EF与CG所成角的余弦值；（3）求CE的长．Oxyz

先建系，用点的坐标表示相应向量，再根据相关的坐标运算求解.例4

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为

DD1，BD，BB1的中点．

（1）求证：EF⊥

CF；Oxyz（2）求EF与

CG所成角的余弦值．例4

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为

DD1，BD，BB1的中点．

Oxyz例4

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为

DD1，BD，BB1的中点．

（3）求CE的长．Oxyz

C

D-3

本节课你学到了哪些知识与方法？1.知识清单：(1)空间向量的坐标运算.(2)空间向量坐标表示的应

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