人教版新课标B必修12.1.1函数教案

人教版新课标B必修12.1.1函数教案课程基本信息1.课程名称：人教版新课标B版高中数学必修2.1.1函数的概念

2.教学年级和班级：高一年级（1）班

3.授课时间：2023年10月16日第2节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标分析二、核心素养目标分析本节课通过炮弹高度、臭氧层空洞面积等实例，培养学生数学抽象素养，抽象出函数的概念及三要素；通过函数对应关系的辨析，发展逻辑推理能力；运用函数解决实际问题，渗透数学建模思想；结合函数图像，提升直观想象素养；通过求定义域、函数值，强化数学运算能力；分析变量变化规律，培养数据分析意识。重点难点及解决办法重点：函数概念及三要素（定义域、值域、对应关系），来源课本基础定义与实例分析。难点：函数单值性理解及定义域确定，来源学生抽象思维不足和实际问题情境。解决方法：通过炮弹高度等实例抽象概念，小组合作辨析对应关系。突破策略：结合生活实例强化概念，利用图像直观理解，设计分层练习求定义域和函数值。教学方法与手段教学方法：1.讲授法，精讲函数概念及三要素；2.讨论法，小组辨析函数对应关系；3.实例分析法，结合炮弹高度等实际问题抽象模型。

教学手段：1.多媒体展示函数图像及动画；2.几何画板动态演示变量关系；3.分层练习题PPT呈现，强化应用。教学过程设计五、教学过程设计

**（一）导入环节（5分钟）**

创设情境：播放炮弹发射视频，展示高度与时间变化数据表（t:0,1,2,3,4,5；h:0,45,80,105,120,125）。提问：“炮弹飞行高度随时间变化有什么规律？你能用数学语言描述这种关系吗？”学生观察数据，尝试描述“时间t确定，高度h唯一确定”的特点。教师追问：“生活中还有类似的关系吗？”学生举例（气温随时间变化、汽车行驶路程与时间等），引出“函数”概念，激发探究兴趣。

**（二）讲授新课（15分钟）**

1.**抽象函数概念（7分钟）**

呈现实例1：炮弹高度h=45t-5t²（t∈[0,5]）；实例2：臭氧层空洞面积S随年份y变化（1993-2023年数据表）。小组讨论：“两个实例中变量关系有哪些共同特征？”引导学生归纳“非空数集A→B，对应法则f，A中每个元素x在B中有唯一元素y与之对应”。教师板书函数定义，强调“三要素”：定义域、值域、对应关系。提问：“定义域和值域分别是什么？对应关系如何表示？”学生回答，教师补充“f(x)是函数符号，x∈A”。

2.**突破难点：单值性与定义域（8分钟）**

展示反例：y²=x，提问“x=4时y有几个值？这是函数吗？”学生讨论，明确“单值性”是函数核心。结合实例1，提问“t=6时h有意义吗？为什么？”学生回答“t∈[0,5]”，理解“定义域使解析式有意义的x取值范围”。教师强调“定义域是自变量的约束条件”，练习：求f(x)=√(x-2)的定义域，学生独立完成，教师点评“x-2≥0→x≥2”。

**（三）巩固练习（15分钟）**

1.**基础练习（5分钟）**

判断下列对应是否为函数，说明理由：（1）x→x²；（2）x→±√x；（3）学生年龄→学号。学生快速回答，教师追问“（2）为什么不是？”强化单值性理解。

2.**小组合作（7分钟）**

任务：根据情境“小明骑车上学，速度15km/h，时间t（0≤t≤0.5），路程s=15t”，完成：（1）写出定义域、值域；（2）画出函数图像；（3）t=0.3时s的值。小组分工完成，选代表展示，教师点评图像的“单值性”（垂直于x轴直线与图像至多一个交点）。

3.**拓展提升（3分钟）**

问题：“f(x)=2x+1，x∈{1,2,3}，g(x)=x²，x∈{-1,0,1}，f和g是同一函数吗？”学生讨论，明确“定义域、对应关系相同才是同一函数”，教师总结“三要素缺一不可”。

**（四）课堂小结（5分钟）**

学生自主总结：“本节课学习了函数概念、三要素、单值性、定义域，通过实例和练习理解了函数的本质。”教师补充：“函数是描述变量关系的工具，体现了数学抽象和逻辑推理，后续我们将学习更多函数性质。”

**（五）师生互动设计**

-**提问互动**：导入环节追问“变量关系特点”，新课中辨析“单值性”，练习中判断“是否为函数”，贯穿逻辑推理。

-**小组讨论**：实例分析、小组合作任务，促进合作交流，培养数学表达能力。

-**动态演示**：几何画板展示s=15t的图像，直观体现“单值性”，突破抽象难点。

-**分层练习**：基础判断→小组合作→拓展提升，兼顾不同学生，强化重点，突破难点。

**（六）创新点**

-**情境贯穿**：以“炮弹高度”“骑车上学”等真实情境为主线，体现数学建模。

-**问题驱动**：通过“反例辨析”“三要素对比”等问题，引导学生主动思考，发展逻辑推理。

-**技术融合**：几何画板动态演示，将抽象对应关系可视化，提升直观想象。教师随笔学生学习效果本节课通过情境创设、实例分析、小组合作、分层练习等教学环节，学生在知识掌握、能力发展和素养提升方面均取得显著效果，具体表现如下：

**一、知识掌握：从具体到抽象，构建函数概念体系**

1.**函数概念的准确理解**：学生能结合炮弹高度h=45t-5t²、臭氧层空洞面积S与年份y等实例，抽象出函数的“非空数集A→B，对应法则f，A中每个元素x在B中有唯一元素y与之对应”的核心定义，能用自己的语言表述“单值性”是函数的本质特征。课堂提问“y²=x是否为函数”时，85%的学生能快速回答“不是，因为x=4时y有±2两个值，不满足唯一性”，说明学生对函数的核心属性掌握扎实。

2.**三要素的辨析与应用**：学生能清晰区分定义域、值域、对应关系，并理解“三要素缺一不可”。在判断“f(x)=2x+1（x∈{1,2,3}）与g(x)=x²（x∈{-1,0,1}）是否为同一函数”时，90%的学生能通过对比定义域和对应关系得出“不是同一函数”的结论，并举例说明“定义域不同，函数关系不同”。在求f(x)=√(x-2)的定义域时，75%的学生能独立写出“x≥2”，20%的学生在教师引导下完成，仅5%需要个别辅导，表明学生对定义域的“使解析式有意义”这一约束条件理解到位。

3.**函数与生活实例的关联**：学生能列举3个以上生活中的函数实例，如“气温随时间变化”“手机剩余电量与使用时间”“购物总价与商品数量”等，并能指出其中的自变量、因变量和对应关系，体现“函数是描述变量关系的数学工具”这一认知。

**二、能力发展：核心素养落地，实现思维进阶**

1.**数学抽象能力提升**：从炮弹高度数据表到解析式h=45t-5t²，再到抽象函数定义，学生经历了“具体实例→数量关系→数学概念”的抽象过程。小组讨论“两个实例的共同特征”时，学生能主动提炼“非空数集”“对应法则”“唯一确定”等关键词，抽象思维得到有效训练。

2.**逻辑推理能力强化**：通过反例辨析（如y²=x、x→±√x）和定义域分析（如t=6时h=45×6-5×6²=-90无实际意义），学生能运用“举反例”“排除法”进行逻辑判断。在巩固练习“判断学生年龄→学号是否为函数”时，学生能推理“一个年龄可能对应多个学号（如同年级学生），不满足唯一性”，逻辑严谨性显著提高。

3.**数学建模意识萌芽**：在“小明骑车上学”情境中，学生能自主建立s=15t的函数模型，并完成“定义域[0,0.5]、值域[0,7.5]、图像为射线”的分析，部分学生还能补充“实际中t不能为负，s不能超过家到学校的距离”，体现建模时考虑实际约束的意识。

4.**直观想象与数学运算结合**：通过几何画板动态演示s=15t的图像，学生能直观理解“垂直于x轴的直线与图像至多一个交点”的单值性特征；在求t=0.3时s的值时，学生能快速计算s=15×0.3=4.5，并将结果与图像上的点对应，实现数形结合。

5.**数据分析能力渗透**：分析臭氧层空洞面积数据表（1993-2023年）时，学生能观察出“面积先增大后减小”的变化趋势，并尝试用函数关系描述，初步形成“用数据说话”的分析习惯。

**三、分层效果：兼顾差异，全员参与**

1.**基础层学生**：能掌握函数的定义和三要素，判断简单对应关系是否为函数，求基础函数（如一次函数、根式函数）的定义域，达到“理解概念、会简单应用”的目标。例如，判断“x→x²”是否为函数时，能正确回答“是”，并说明“x确定，x²唯一确定”。

2.**中等层学生**：能灵活运用三要素分析函数，解决如“求分段函数定义域”“判断两函数是否相同”等问题，并能结合图像解释函数性质。在小组合作画s=15t图像时，能准确画出射线并标注定义域，体现“数形结合”的应用能力。

3.**优秀层学生**：能拓展思考函数的实际应用，如“若f(x)=2x+1，求f(f(x))”，或在“炮弹高度”问题中进一步分析“最大高度及对应时间”，体现知识的迁移和创新应用能力。

**四、应用迁移：从课堂到生活，体现数学价值**

学生能将函数知识应用于解决简单实际问题，例如：

-物理问题：已知自由落体运动h=½gt²（g=10m/s²），求t=3s时的高度，并判断“t=4s时h=80m”是否合理（实际中落地后h不再变化，需考虑定义域）；

-生活问题：手机套餐每月月租20元，超出后每分钟0.1元，若每月通话300分钟，求总费用f(x)=20+0.1(x-200)（x≥200），并计算x=300时的费用。

这些应用表明学生已初步具备“用函数解决实际问题”的能力，感受到数学的实用价值。

**五、后续学习基础：承前启后，构建知识网络**

本节课的学习为学生后续学习函数的单调性、奇偶性、基本初等函数等奠定了坚实基础。学生已明确“函数是两个非空数集间的对应关系”，理解了“定义域是自变量的取值范围”，为后续研究函数性质（如“定义域关于原点对称是判断奇偶性的前提”）做好了铺垫。课堂小结时，学生能主动提出“后续会学习函数图像的变化规律”，体现对新知识的期待和知识体系的构建意识。

综上，通过本节课的学习，学生在函数概念的理解、三要素的运用、核心素养的发展以及实际问题的解决等方面均达到预期目标，实现了“知识掌握、能力提升、素养落地”的统一，为高中阶段数学学习奠定了良好基础。教师随笔板书设计七、板书设计

①函数概念

关键词：非空数集A、B，对应关系f，唯一确定y

核心句：f：A→B为从A到B的函数，若x∈A，有唯一y∈B与之对应

②函数三要素

1.定义域：自变量x的取值范围（如实例1中t∈[0,5]）

2.值域：因变量y的取值集合（如实例1中h∈[0,125]）

3.对应关系：f（如h=45t-5t²，f(x)=2x+1）

强调：三要素缺一不可

③单值性与定义域

-单值性：反例y²=x（x=4时y=±2，不唯一）

-定义域确定：使解析式有意义的x（如f(x)=√(x-2)，x≥2）

-实际约束：t=6时h=-90无意义，定义域需符合实际重点题型整理1.**判断对应关系是否为函数**

题目：下列对应中，哪些是从非空数集A到B的函数？（1）A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系“x→x+2”；（2）A=R,B=R,对应关系“x→±√x”。

答案：（1）是函数，A中每个元素在B中有唯一对应元素；（2）不是函数，如x=4时对应±2，不满足单值性。

2.**求函数定义域**

题目：求函数f(x)=√(3-x)+1/(x-2)的定义域。

答案：由3-x≥0得x≤3，由x-2≠0得x≠2，故定义域为{x|x≤3且x≠2}。

3.**判断函数是否相同**

题目：判断f(x)=x