北师大版初中数学七年级下册《简单的轴对称图形》第二课时教案

北师大版初中数学七年级下册《简单的轴对称图形》第二课时教案

一、教学分析

（一）教材分析

本课时选自北京师范大学出版社出版的义务教育教科书数学七年级下册第五章“生活中的轴对称”中的第三节“简单的轴对称图形”。本章节内容隶属于图形与几何领域，是学生在小学阶段初步感知轴对称现象的基础上，进行系统化、理论化学习的深化。第一课时已经引导学生探索了线段、角等基本图形的轴对称性质，为本课时奠定了知识基础。本课时聚焦于等腰三角形和等边三角形的轴对称性，旨在通过具体的几何图形，进一步揭示轴对称的核心概念——对称轴、对应点、对应线段、对应角之间的关系，并推导出等腰三角形“等边对等角”、“三线合一”以及等边三角形各内角为60度等重要性质。这些性质不仅是后续学习全等三角形、特殊四边形、圆等内容的基石，也是培养学生几何直观、推理能力、模型思想等数学核心素养的关键载体。教材编排遵循从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，引导学生自主建构知识体系，体现了新课标“做数学”的理念。

（二）学情分析

七年级下学期的学生正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。在知识储备上，他们已经掌握了三角形的内角和定理、三角形的分类、尺规作图基本方法，并对轴对称有了初步的感性认识，能够识别简单的轴对称图形并画出其对称轴。在认知特点上，学生具备了一定的观察、动手操作和归纳能力，但抽象逻辑思维和严谨的演绎推理能力尚在发展中。部分学生可能在从图形操作到性质抽象、从性质归纳到逻辑证明的跨越中存在困难。在情感态度上，他们对图形变换、图案设计等活动有浓厚的兴趣，但可能对纯粹的几何证明产生畏难情绪。因此，教学设计需充分利用学生已有的生活经验和操作技能，创设丰富的情境与活动，搭建从直观感知到理性思维的脚手架，激发探究欲望，并适时渗透推理的严谨性，促进思维品质的提升。

（三）教学理念与思路

本设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为导向，秉持“以学生发展为本”的核心教育理念。教学思路突出以下三点：一是“跨学科整合”，将数学中的轴对称与艺术设计、建筑美学、自然生物等领域的对称现象有机结合，拓宽学生视野，体会数学的广泛应用与文化价值；二是“探究式学习”，以问题链驱动，引导学生经历完整的数学探究过程——发现问题、提出猜想、动手验证、推理论证、应用拓展，真正成为学习的主体；三是“技术融合”，合理运用几何画板等动态软件，直观演示图形变换过程，突破思维难点，提升教学效率。整个设计力求体现数学知识的内在逻辑性、学生认知的建构性以及学习活动的生成性，致力于打造一堂既有数学深度又有思维广度的高品质课。

二、教学目标

基于教材分析与学情分析，依据数学核心素养的培育要求，确立本课时三维教学目标如下：

（一）知识与技能

1.通过折纸、测量、作图等操作，理解并掌握等腰三角形是轴对称图形，并能准确找出其对称轴。

2.探索并证明等腰三角形的性质定理：“等边对等角”（等腰三角形的两个底角相等）和“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。

3.探索并掌握等边三角形的轴对称性及其性质：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度。

4.能初步运用等腰三角形和等边三角形的性质解决简单的几何计算与证明问题。

（二）过程与方法

1.经历从现实生活抽象出轴对称图形，并通过观察、操作、猜想、验证、推理等活动探索图形性质的过程，积累数学活动经验，发展几何直观和空间观念。

2.在探索等腰三角形“三线合一”性质的过程中，体会用不同方法（操作、推理）验证数学结论的思维方式，初步感受转化与归纳的数学思想。

3.通过小组合作探究与交流，提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达与交流的能力。

（三）情感态度与价值观

1.在欣赏轴对称图案和探索图形性质的过程中，感受轴对称的对称美、和谐美，激发学习几何的兴趣和审美情趣。

2.通过了解轴对称在建筑、艺术、科技等领域的广泛应用，认识数学的应用价值和文化价值，增强学习数学的自信心和自豪感。

3.在合作探究与严谨推理中，养成独立思考、敢于质疑、合作交流、严谨求实的科学态度。

三、教学重点与难点

（一）教学重点

1.等腰三角形的轴对称性及其性质定理（“等边对等角”和“三线合一”）的探索与理解。

2.等边三角形的轴对称性及其性质的探索与理解。

（二）教学难点

1.等腰三角形“三线合一”性质的探索与理解，特别是这三条线段“互相重合”这一本质属性的抽象与表述。

2.从操作实验归纳猜想过渡到严格的逻辑推理证明性质定理，尤其是“三线合一”性质的证明思路的构建。

3.灵活运用等腰三角形和等边三角形的性质解决综合性问题。

四、教学准备

（一）教师准备

1.多媒体课件：包含丰富的轴对称生活图片（如建筑、艺术品、自然景物）、几何画板动态演示文件（用于展示等腰三角形折叠、等边三角形旋转对称等）、核心概念与性质的梳理图示、典型例题与变式训练题。

2.教具：等腰三角形和等边三角形的纸质模型若干（供演示和分发）、剪刀、直尺、圆规、量角器。

3.学习任务单：设计包含探究活动记录、猜想表格、证明框架、分层练习的学习任务单，提前印制。

（二）学生准备

1.复习回顾：轴对称图形的定义、性质；线段、角的轴对称性。

2.学具：每人准备长方形或等腰三角形彩纸、剪刀、直尺、圆规、量角器、铅笔。

3.分组：课前将学生分成4-6人异质小组，便于合作探究。

五、教学过程设计

（一）创设情境，温故知新（预计时间：8分钟）

活动一：对称之美，激趣导入

教师利用多媒体播放一组精心挑选的图片：北京天坛祈年殿的俯瞰图、京剧脸谱、蝴蝶翅膀、雪花晶体、汽车标志（如奔驰）、简单的剪纸图案。播放同时，配以舒缓的音乐。

教师提问：“观察这些来自不同领域的图片，它们共同给人带来怎样的视觉感受？这种美源于图形所具有的什么共同特征？”

学生观察、思考并自由发言。预期回答：和谐、平衡、美观；它们都是轴对称图形。

教师引导归纳：“是的，轴对称广泛存在于我们的生活之中，它塑造了美，也蕴含着深刻的数学规律。上节课我们探索了线段、角这些基本图形的轴对称性。今天，我们将走进更丰富的图形世界，探究三角形家族中的轴对称明星——等腰三角形和等边三角形。”

设计意图：通过跨学科的多模态素材（建筑、艺术、自然、工业设计），迅速吸引学生注意力，在审美体验中自然唤醒对轴对称的已有认知，明确本节课的研究对象与方向，体现数学与生活的紧密联系。

活动二：回顾奠基，明确目标

教师出示两个问题，引导学生快速回顾：

1.什么是轴对称图形？什么是对称轴？

2.线段和角是轴对称图形吗？如果是，它们的对称轴是什么？有什么性质？

学生口答，教师用课件关键词强化：重合、直线、垂直平分线、角平分线。

教师顺势引出课题并板书：“第五章第三节简单的轴对称图形（第二课时）——探究等腰三角形与等边三角形的奥秘”。

同时，教师清晰陈述本节课的学习目标（可投影），让学生明确学习任务。

设计意图：巩固旧知，建立新旧知识之间的联系，为探索新图形的性质提供方法论支撑（即从定义出发，通过找对称轴来研究性质）。明确目标使学生学习有的放矢。

（二）操作探究，建构新知（预计时间：25分钟）

本环节是教学的核心，分为两个递进层次：先探究等腰三角形，再探究等边三角形。

第一层次：探究等腰三角形的轴对称性及性质

活动三：动手制作，感知对称

教师指令：“请同学们利用手中的长方形彩纸，通过折叠，剪出一个等腰三角形。比一比，看谁剪得又快又标准。”

学生动手操作：将长方形纸对折，沿折痕一侧画一条斜线，剪下，展开即得一个等腰三角形。教师巡视指导。

教师提问：“你凭什么肯定你剪出的三角形是等腰三角形？请用你的方式验证。”

学生可能的方法：用刻度尺测量两边长度；沿刚才的折痕再对折三角形，观察两边是否重合。

教师追问：“如果沿着这条折痕对折，三角形的两部分能完全重合吗？这条折痕对于这个等腰三角形来说，意味着什么？”

学生通过折叠操作，直观感知并回答：能完全重合；这条折痕就是这个等腰三角形的对称轴。

师生共同归纳（板书）：等腰三角形是轴对称图形。等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边上的高所在的直线，或底边上的中线所在的直线）。教师强调“所在直线”，并指出折叠时折痕就是其中一条。

设计意图：让学生亲自动手创造研究对象，从源头理解等腰三角形的产生与轴对称的天然联系。操作验证的过程直观而深刻，为性质探索铺平道路。

活动四：合作探究，发现性质

每个小组分发一个统一规格的等腰三角形纸片（顶点标为A，底边两端点标为B、C）和学习任务单。

探究任务一：“等边对等角”猜想与验证。

教师引导：“请将你们手中的等腰三角形ABC沿对称轴AD折叠。观察重合的部分，关于边和角，你能发现哪些相等的量？请将发现记录在任务单上。”

学生操作、观察、讨论并记录。预期发现：AB与AC重合，所以AB=AC（已知）；∠B与∠C重合，所以∠B=∠C；BD与CD重合，所以BD=CD；∠BAD与∠CAD重合，所以∠BAD=∠CAD；折叠后AD与自身重合，且形成两个直角，所以AD⊥BC。

教师组织小组汇报发现，板书关键词：∠B=∠C，BD=CD，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC。

教师提问：“在这些发现中，有一个结论非常突出：等腰三角形的两个底角相等。这是我们通过操作观察得到的猜想。如何用更严谨的方法来证明这个结论呢？请回忆，证明两个角相等，我们学过哪些方法？”

学生思考回顾：量角器测量（操作性，不够一般化）、全等三角形对应角相等、等量代换等。

教师搭建脚手架：“要证明∠B=∠C，我们可以尝试将这两个角放到两个三角形中，证明它们所在的两个三角形全等。结合折叠的启示，我们如何通过添加辅助线来构造这样的两个三角形呢？”

学生受折叠启发，容易想到连接AD（如果之前未标注）。但AD有多重身份。

教师利用几何画板动态演示：在等腰三角形ABC中，作出底边BC上的中线AD。提问：“此时，△ABD和△ACD可能全等吗？已知哪些条件？”

学生分析：已知AB=AC（定义），BD=CD（中线定义），AD=AD（公共边）。根据“边边边”（SSS）判定定理，可得△ABD≌△ACD。

教师板书规范证明过程。

证明后，教师引导学生读出结论：“全等三角形的对应角相等，所以∠B=∠C。”由此，通过推理验证了猜想，得到定理（板书）：等腰三角形的两个底角相等。（简述为“等边对等角”）

教师进一步阐释定理的几何语言：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C。

设计意图：从操作发现的猜想，自然过渡到逻辑证明的必要性。引导学生借鉴操作经验构建证明思路，体会数学的严谨性。证明过程由师生共同完成，侧重思路分析，规范书写。

探究任务二：“三线合一”猜想与探索。

教师指向之前的发现列表：“除了‘等边对等角’，我们还发现了BD=CD（即AD是中线）、∠BAD=∠CAD（即AD是角平分线）、AD⊥BC（即AD是高线）。这三条线段AD，在等腰三角形中，具有怎样的特殊关系？”

学生观察思考，尝试表述：它们好像是同一条线段？这条线段同时具备三种身份。

教师用几何画板进行验证：在等腰三角形中，拖动顶点，始终保持AB=AC，动态显示中线、角平分线、高线。学生观察发现，它们始终重合。

教师归纳（板书）：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（简述为“三线合一”）

教师强调：“‘互相重合’意味着：只要其中一条线段出现，它就同时具备另外两种身份。这是等腰三角形一个非常强大且独特的性质。”

教师提问：“‘三线合一’这个结论，我们能否也进行证明呢？事实上，刚才证明‘等边对等角’时所用的全等三角形（△ABD≌△ACD），已经为我们证明了其中一部分。请从全等出发，看看能推出哪些重合关系。”

学生从全等条件出发分析：由△ABD≌△ACD，可得BD=CD（所以AD是中线），∠BAD=∠CAD（所以AD是角平分线），∠ADB=∠ADC。又因为∠ADB+∠ADC=180°，所以∠ADB=∠ADC=90°，故AD⊥BC（所以AD是高线）。

教师总结证明思路，并指出：“‘三线合一’实际上包含了三个结论，它们都可以由我们构造的全等三角形得到。在应用时，需要根据已知条件灵活选择。”

教师组织学生用几何语言练习表述“三线合一”的三种应用形式（在△ABC中，AB=AC）：

1.∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD。

2.∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。

3.∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD。

设计意图：将“三线合一”这一难点进行拆解，通过动态演示强化直观感知，并引导学生从已证的全等三角形中逻辑推导出所有重合关系，实现从观察到推理的升华。几何语言的转换练习有助于学生准确理解和应用该性质。

第二层次：探究等边三角形的轴对称性及性质

活动五：类比迁移，探索特殊

教师提问：“如果一个三角形不仅是等腰三角形，而且它的三条边都相等，那么它是什么三角形？它是否是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴情况与等腰三角形有何不同？”

学生回答：等边三角形。猜想它也是轴对称图形。

教师指令：“请同学们利用手边的工具（圆规、直尺）在任务单上画一个等边三角形ABC，然后尝试用折叠（思想）或推理的方法来研究它的轴对称性和性质。”

学生动手画图（可复习尺规作等边三角形的方法），并思考探究。

教师组织交流：

1.轴对称性：引导学生思考，除了像等腰三角形那样沿一条中线（高、角平分线）折叠，还有其他折法吗？学生通过尝试或思考发现，等边三角形有三条对称轴，分别是每条边上的中线（高、角平分线）所在的直线。教师用几何画板动态演示三条对称轴，并展示折叠动画。

2.性质探究：

（1）边的关系：AB=BC=CA（定义）。

（2）角的关系：教师提问：“既然等边三角形是特殊的等腰三角形，那么它的三个角之间有什么关系？”学生应用“等边对等角”：由AB=AC得∠B=∠C；由AB=BC得∠A=∠C。故∠A=∠B=∠C。再结合三角形内角和定理，可得每个角等于60度。

师生共同归纳（板书）：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°。

教师补充：“反之，三个角都相等的三角形是等边三角形吗？有两个角是60°的三角形呢？我们下节课再深入探讨。”为后续学习埋下伏笔。

设计意图：运用类比迁移的数学思想方法，引导学生将等腰三角形的探索经验应用于等边三角形，自主发现其特殊性质。强调等边三角形与等腰三角形的从属关系，完善知识结构。

（三）剖析辨析，深化理解（预计时间：10分钟）

活动六：概念辨析，巩固内化

教师设计一组辨析判断题，通过提问抢答或小组竞赛形式进行，针对易错点进行强化。

1.等腰三角形的对称轴是底边上的中线。（强调：是底边上的中线所在的直线）

2.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线三线重合。（正确）

3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（为下节课铺垫，可简单说明）

4.等边三角形不是轴对称图形，因为它的对称轴太多。（错误，对称轴数量多不影响其是轴对称图形）

5.等腰三角形的两个底角都是锐角。（引导学生利用三角形内角和与“等边对等角”证明）

设计意图：通过辨析，澄清模糊认识，精确把握概念与性质的关键词句，深化对轴对称图形定义及等腰（等边）三角形性质的理解。

（四）范例精讲，初步应用（预计时间：12分钟）

活动七：典例分析，领悟用法

教师出示例题，采用讲练结合、思维外显的方式。

例1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各内角的度数。

教师引导学生：

1.“题目中有多个等腰三角形，你能找出吗？”（△ABC，△BCD，△ABD）

2.“设未知角∠A=x，如何利用‘等边对等角’和三角形内角和定理，用含x的式子表示其他角？”

3.学生尝试，教师板书解题过程。关键在于发现∠ABC=∠C=∠BDC=2x，从而在△ABC中列出方程x+2x+2x=180°。

4.解方程得x=36°，故∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。

5.反思：本题综合运用了等腰三角形性质、方程思想和三角形内角和定理。

例2：已知：如图，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：△ADE是等边三角形。

教师引导学生分析：

6.“要证△ADE是等边三角形，目前有哪些途径？”（证三边相等或三角相等）

7.“结合已知条件DE//BC和△ABC是等边三角形，能推出哪些角相等？”

8.学生口述证明思路：由等边△ABC得∠A=∠B=∠C=60°。由DE//BC，得∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°。所以△ADE中，∠A=∠ADE=∠AED=60°，故△ADE是等边三角形。

9.教师板书关键步骤，强调推理依据。

设计意图：选择具有代表性的例题，示范如何分析条件、联想性质、构建解题思路。例1突出方程思想在几何计算中的应用，例2突出等边三角形的判定思路（利用角），并融合平行线性质，体现知识综合。

（五）分层练习，巩固提升（预计时间：10分钟）

活动八：当堂训练，反馈矫正

学生在学习任务单上完成分层练习。教师巡视，个别辅导，收集共性问题。

A组（基础巩固）：

1.填空：

（1）等腰直角三角形的底角等于______度。

（2）等边三角形有______条对称轴。

（3）在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B=______。

2.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高。若BC=8cm，∠BAC=110°，求BD的长及∠BAD的度数。

B组（能力提升）：

3.如图，点D、E在△ABC的边BC上，且AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。

4.已知等边△ABC的边长为6，求它任意一条高线的长度。

C组（拓展延伸）：

5.探究：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求这个等腰三角形顶角的度数。（提示：考虑锐角三角形和钝角三角形两种情况）

设计意图：设计由易到难、层次分明的练习，满足不同学生的学习需求。基础题确保所有学生掌握核心知识；提升题训练综合应用和简单推理；拓展题引导学生分类讨论，发展思维深度。当堂练习有助于及时反馈学习效果。

（六）课堂小结，体系建构（预计时间：5分钟）

活动九：反思梳理，凝练升华

教师引导学生从多维度进行总结，而非简单复述知识点。

1.知识网络：今天我们重点探究了哪两种图形的轴对称性？它们分别有哪些重要性质？请用思维导图或表格形式梳理。（师生共同完善板书或投影知识结构图）

2.思想方法：在探索这些性质的过程中，我们主要运用了哪些数学思想方法？（操作实验、从特殊到一般、类比迁移、方程思想、转化思想等）

3.学习体验：你印象最深的探究环节是什么？在合作学习中你有哪些收获？还有哪些疑惑？

教师做最后总结：“轴对称是连接数学与美的桥梁。等腰三角形和等边三角形因其和谐的对称性，在数学世界中占据着独特的地位。它们的性质是我们解决几何问题的有力工具。希望同学们不仅能记住这些性质，更能体会探索过程中的思考与方法。”

设计意图：引导学生从知识、方法、体验三个层面进行反思总结，促进知识的系统化存储和元认知能力的提升。教师的总结提升课程格调，将知识学习延伸到数学文化和方法论层面。

六、板书设计

板书设计力求突出重点，脉络清晰，美观规范，体现生成过程。

左边主板书：

第五章第三节简单的轴对称图形（第二课时）

一、等腰